數(shù)學2.3數(shù)學歸納法新人教A版選修2-2

1、.12.3 2.3 數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法.2問題提出問題提出 1. 1.歸納推理的基本特征是什么？歸納推理的基本特征是什么？由個別事實概括出一般結論由個別事實概括出一般結論. . 2. 2.綜合法，分析法和反證法的基本思綜合法，分析法和反證法的基本思想分別是什么？想分別是什么？綜合法：綜合法：由已知推可知，逐步推出未知由已知推可知，逐步推出未知. . 分析法：分析法：由未知探需知，逐步推向已知由未知探需知，逐步推向已知. . 反證法：反證法：假設結論不成立，推出矛盾得假設結論不成立，推出矛盾得 證明證明. . .3 3. 3.歸納推理能幫助我們發(fā)現(xiàn)一般結論，歸納推理能幫助我們發(fā)現(xiàn)一般結論，但得

2、出的結論不一定正確，即使正確也但得出的結論不一定正確，即使正確也需要經(jīng)過嚴格的證明才能肯定其真實性需要經(jīng)過嚴格的證明才能肯定其真實性. . 綜合法，分析法和反證法雖可證明某些綜合法，分析法和反證法雖可證明某些結論，但都有其局限性，因此，我們非結論，但都有其局限性，因此，我們非常需要一個與歸納推理相匹配的證明方常需要一個與歸納推理相匹配的證明方法，使之成為無與倫比的法，使之成為無與倫比的“黃金搭檔黃金搭檔”. .4.5探究（一）：探究（一）：數(shù)學歸納法的感性認識數(shù)學歸納法的感性認識 思考思考1 1：某人想排隊進展覽館參觀，不知某人想排隊進展覽館參觀，不知自己能否進得去，于是問組織者，答曰；自己能

3、否進得去，于是問組織者，答曰；只要你前一個人能進去，你就能進去只要你前一個人能進去，你就能進去. .那那么此人能進去參觀嗎？若每個排隊的人么此人能進去參觀嗎？若每個排隊的人都能進去參觀，需要什么條件？都能進去參觀，需要什么條件？（1 1）第一個人進去；）第一個人進去； （2 2）若前一個人進去，則后一個人也能）若前一個人進去，則后一個人也能 進去進去. . .6思考思考2 2：有若干塊骨牌豎直擺放，若將它有若干塊骨牌豎直擺放，若將它們全部推倒，有什么辦法？一般地，多們全部推倒，有什么辦法？一般地，多米諾骨牌游戲的原理是什么？米諾骨牌游戲的原理是什么？（1 1）推倒第一塊骨牌；）推倒第一塊骨牌；

4、 （2 2）前一塊骨牌倒下時）前一塊骨牌倒下時能碰倒后一塊骨牌能碰倒后一塊骨牌. .多米諾骨牌.flv世界上最牛的多米諾骨牌.flv多米諾骨牌 臺球傻眼 .mp4本田多米諾經(jīng)典廣告.mp4.7思考思考3 3：某人姓王，其子子孫孫都姓王嗎？某人姓王，其子子孫孫都姓王嗎？某家族所有男人世代都姓王的條件是什某家族所有男人世代都姓王的條件是什么？么？ （1 1）始祖姓王；）始祖姓王； （2 2）子隨父姓）子隨父姓. . （第（第1 1代姓王）代姓王）（如果第（如果第k k代姓代姓T T，則第，則第k+1k+1代也姓代也姓T T）.8思考思考4 4：已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 滿足滿足: : （nnN*

5、），那么該數(shù)列），那么該數(shù)列的各項能確定嗎？上述遞推關系只說明的各項能確定嗎？上述遞推關系只說明什么問題？若確定數(shù)列中的每一項，還什么問題？若確定數(shù)列中的每一項，還需增加什么條件？需增加什么條件？ 11nnnaaa+=+由第由第k k項可推出第項可推出第k k1 1項項. . 給出第給出第1 1項；項；（1 1）（2 2）.9探究（二）：探究（二）：數(shù)學歸納法的基本原理數(shù)學歸納法的基本原理 111kak+=+思考思考1 1：已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 滿足滿足（nnN*），假設當），假設當n nk k時，時， ，則當則當n nk k1 1時，時，a ak k1 1等于什么？等于什么？若假設若假

6、設 ，則，則a ak k1 1等于什么？等于什么？11nnnaaa+=+1kak=221kak=-1221kak+=+.10思考思考2 2：若給出若給出a a1 11 1，則數(shù)列，則數(shù)列aan n 的通的通項公式是什么？若給出項公式是什么？若給出a a1 12 2，則數(shù)列，則數(shù)列aan n 的通項公式是什么？如何理解你的的通項公式是什么？如何理解你的結論？結論？ 1nan=221nan=-思考思考3 3：已知數(shù)列已知數(shù)列 an n 滿足滿足a1 11 1，an+1n+12 2an n3 3，利用上述思想如何證明數(shù)列，利用上述思想如何證明數(shù)列 an n 的通項公式是的通項公式是an n2 2n+

7、1n+1-3-3？.11思考思考4 4：利用上述思想如何證明：對任利用上述思想如何證明：對任意意nnN*都有等式都有等式2 24 46 62n2nn(nn(n1)1)成立？成立？ 思考思考5 5：上述證明方法叫做上述證明方法叫做數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法，一般地，用數(shù)學歸納法證明一個與正整一般地，用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)數(shù)n n有關的命題，其證明步驟如何？有關的命題，其證明步驟如何？（1 1）證明當）證明當n n取第一個值取第一個值n n0 0(n(n0 0NN*) )時時命題成立；命題成立；（2 2）假設當）假設當n nk(knk(kn0 0，kNkN*) )時命題時命題成立，證明當成立，證明

8、當n nk k1 1時命題也成立時命題也成立. . .12思考思考6 6：數(shù)學歸納法由兩個步驟組成，其數(shù)學歸納法由兩個步驟組成，其中第一步是中第一步是歸納奠基歸納奠基，第二步是，第二步是歸納遞歸納遞推推，完成這兩個步驟的證明，實質上解，完成這兩個步驟的證明，實質上解決了什么問題？決了什么問題？逐一驗證命題對從逐一驗證命題對從n n0 0開始的所有正整數(shù)開始的所有正整數(shù)n n都成立都成立. .13理論遷移理論遷移 例例1.1.用數(shù)學歸納法證明：用數(shù)學歸納法證明： 222(1)(21)126n nnn+=L(nN(nN*). ). .14 例例2.2.已知數(shù)列：已知數(shù)列：試猜想其前試猜想其前n n

9、項和項和S Sn n的表達式，并數(shù)學歸的表達式，并數(shù)學歸納法證明納法證明. .1111,14 47 710(32)(31)nn創(chuàng)+LL31nnSn=+.15小結作業(yè)小結作業(yè) 1. 1.數(shù)學歸納法的實質是建立一個無窮數(shù)學歸納法的實質是建立一個無窮遞推機制，從而間接地驗證了命題對從遞推機制，從而間接地驗證了命題對從n0n0開始的所有正整數(shù)開始的所有正整數(shù)n n都成立，它能證明都成立，它能證明許多與正整數(shù)有關的命題，但與正整數(shù)許多與正整數(shù)有關的命題，但與正整數(shù)有關的命題不一定要用數(shù)學歸納法證明，有關的命題不一定要用數(shù)學歸納法證明，有些命題用數(shù)學歸納法也難以證明有些命題用數(shù)學歸納法也難以證明. .16 2. 2.歸納推理能發(fā)現(xiàn)結論，數(shù)學歸納歸納推理能發(fā)現(xiàn)結論，數(shù)學歸納法能證明結論，二者強強聯(lián)合，優(yōu)勢互法能證明結論，二者強強聯(lián)合，優(yōu)勢互補，在解決與正整數(shù)有關的問題時，具補，在解決與正整數(shù)有關的問題時，具有強大的功能作用有強大的功能作用. .但在數(shù)學歸納法的實但在數(shù)學歸納法的實施過程中，還