三角函數最值問題的幾種常見解法

1、三角函數最值問題的幾種常見解法三角函數是重要的數學運算工具，三角函數最值問題是三角函數中的基本內容，也是高中數學中經常涉及的問題。這部分內容是一個難點，它對三角函數的恒等變形能力及綜合應用要求較高。解決這一類問題的基本途徑，同求解其他函數最值一樣，一方面應充分利用三角函數自身的特殊性（如有界性等），另一方面還要注意將求解三角函數最值問題轉化為求一些我們所熟知的函數（二次函數等）最值問題。下面就介紹幾種常見的求三角函數最值的方法：一 配方法若函數表達式中只含有正弦函數或余弦函數，且它們次數是2時，一般就需要通過配方或換元將給定的函數化歸為二次函數的最值問題來處理。例1 函數的最小值為（ ）.A

2、2 B . 0 C . D . 6分析本題可通過公式將函數表達式化為，因含有cosx的二次式，可換元，令cosx=t，則配方，得, 當t=1時,即cosx=1時，,選B.練習： 求函數y=5sinx+cos2x的最值分 析 ：觀察三角函數名和角，其中一個為正弦，一個為余弦，角分別是單角和倍角，所以先化簡，使三角函數的名和角達到統一。二 引入輔助角法例3已知函數當函數y取得最大值時，求自變量x的集合。分析 此類問題為的三角函數求最值問題，它可通過降次化簡整理為型求解。解： 三 利用三角函數的有界性在三角函數中，正弦函數與余弦函數具有一個最基本也是最重要的特征有界性，利用正弦函數與余弦函數的有界性

3、是求解三角函數最值的最基本方法。 例4求函數的值域分析 此為型的三角函數求最值問題，分子、分母的三角函數同名、同角，這類三角函數一般先化為部分分式，再利用三角函數的有界性去解?；蛘咭部上扔梅唇夥ǎ儆萌呛瘮档挠薪缧匀ソ?。解法一：原函數變形為，可直接得到：或解法一：原函數變形為或 例5 （2003年高考題）已知函數，求函數f(x)的最小正周期和最大值。分析 在本題的函數表達式中，既含有正弦函數，又有余弦函數，并且含有它們的二次式，故需設法通過降次化二次為一次式，再化為只含有正弦函數或余弦函數的表達式。解：f(x)的最小正周期為，最大值為。四 引入參數法（換元法）對于表達式中同時含有sinx+c

4、osx，與sinxcosx的函數，運用關系式 一般都可采用換元法轉化為t的二次函數去求最值，但必須要注意換元后新變量的取值范圍。例6 求函數y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值。分析解：令sinx+cosx=t，則，其中當五 利用基本不等式法利用基本不等式求函數的最值，要合理的拆添項，湊常數，同時要注意等號成立的條件，否則會陷入誤區(qū)。例7 求函數的最值。解：=當且僅當即時，等號成立，故。六 利用函數在區(qū)間內的單調性例8 已知，求函數的最小值。分析 此題為型三角函數求最值問題，當sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，適合用函數在區(qū)間內的單調性來求解。設，在（0，1

5、）上為減函數，當t=1時，。七 數形結合由于，所以從圖形考慮，點(cosx,sinx)在單位圓上，這樣對一類既含有正弦函數，又含有余弦函數的三角函數的最值問題可考慮用幾何方法求得。例9 求函數的最小值。分析 法一：將表達式改寫成y可看成連接兩點A(2,0)與點(cosx,sinx)的直線的斜率。由于點(cosx,sinx)的軌跡是單位圓的上半圓（如圖），所以求y的最小值就是在這個半圓上求一點，使得相應的直線斜率最小。設過點A的切線與半圓相切與點B,則可求得所以y的最小值為（此時）.法二：該題也可利用關系式asinx+bcosx=（即引入輔助角法）和有界性來求解。八 判別式法例10 求函數的最值。分析 同一變量分子、分母最高次數齊次，常用判別式法和常數分離法。解：時此時一元二次方程總有實數解由y=3，tanx=-1，由九 分類討論法含參數的三角函數的值域問題，需要對參數進行討論。例 11 設，用a表示f(x)的最大值M(a).解：令sinx=t,則（1） 當，即在0，1上遞增， （2） 當即時，在0，1上先增后