工程數(shù)學(xué)-線性代數(shù)第五版答案第四章

1、第四章向量組的線性相關(guān)性1.已知向量組TTTA :ai 乂0 1 2 3) a =3 0 .1 2) a(2 . 3 0 . 1) B b1 =(2 1 1 2)T b2 =(0 -2 1 1)T b3 =(4 4 1 3)T證明B組能由A組線性表示.但A組不能由B組線性表示，證明由(A, B)03 220 4f1031-2410 31-2 4r03220421 01 101-6-15-732 11 3丿02_8-17-9f1031_ 241031-24、01_ 6-15 -7r01-6-15-700205-15 250041-350041-35丿00000A組線性表示,知R(A) :R(A

2、B) =3 .所以B組能由由211、24口01 0-2 4：1 1 3丿 00-2111 0 000 一2-100丿知R(B)毛，因?yàn)镽(BF-R(B A).所以A組不能由B組線性表示2,已知向量組A :aUO .1 .1)T .a2=(1 . 1 P)T；B :bg1 . 0.1)T .6氓1 .2 .1)T .b3氓3 _2.7)T.證明A組與B組等價(jià)證明由r-1 1 3 0 rrr-1 1 3 0 rrr-1 1 3 0 r(B,A) =0 2 2 1 1022110 2 2 1 111-110；10 2 2 11丿 0 0 0 0 0；知R(B)=R(B .A) =2，顯然在 A中有二

3、階非零子式.故R(A)_2 又R(A)沖(B.A)=2 .所以R(A)=2.從而R(A)祝(B)載(A B).因此A組與B組等價(jià).3 .已知 R(a1 a2 .S3)=2 R(a2 a .a* =3 .證明(1) a1能由a2 ,a3線性表示a4不能由a 1 a2 a3線性表示，證明 (1)由R( a2a3a4)=3知a2 a3 a4線性無(wú)關(guān)故a2a3也線性無(wú)關(guān)又由R(a1a2a3)=2知a1.a2,a3線性相關(guān).故ai能由a2 a3線性表示，假如a4能由aia2a3線性表示.則因?yàn)閍i能由a2a3線性表示.故a4能由a2a3線性表示.從而a2.a3 ,S4線性相關(guān).矛盾，因此a4不能由ai

4、a2 a3線性表示，4 ,判定下列向量組是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)：(_1 .3 .1)丁.(2 .1 .0)丁 .(1 .4.1)丁；(2 3 .0)T .(二.4 . 0)T .(0 .0.2)二解(1)以所給向量為列向量的矩陣記為A.因?yàn)?j-1A=31所以R(A) =2小于向量的個(gè)數(shù).從而所給向量組線性相關(guān)(2)以所給向量為列向量的矩陣記為B，因?yàn)?-10|B|=3 4 0 = 22云 0 .0 0 2所以R(B)弋等于向量的個(gè)數(shù).從而所給向量組線性相無(wú)關(guān)5,問(wèn)a取什么值時(shí)下列向量組線性相關(guān)？a 1 #a .1 .1)T a2=(1 .a 3)t 念=(1 上.a)T ,解以所給向量為列向

5、量的矩陣記為A .由a 112| A|= 1 a -1 =(a-2)(a+1) =01 -1a知.當(dāng)a=-1、2時(shí)R(A) ：3 .此時(shí)向量組線性相關(guān).6，設(shè)a 1 a2線性無(wú)關(guān),a1 b a2 b線性相關(guān).求向量b用a1 a2線性表示的表示式，解 因?yàn)閍1 b a2 b線性相關(guān).故存在不全為零的數(shù) m . -2使，1(a1 b)亠;2( a2 b) =0 .則(1 2)匕=11耳2&2因a1 a2線性無(wú)關(guān)故 2 ，不然，由上式得1 a-= 0； ： 1 2=0。矛盾。 1 2由此得 b = -a1 -a212127，設(shè)a 1 a2線性相關(guān)b1 b2也線性相關(guān).問(wèn)a6 a2 b2是否一定線性相

6、關(guān)？試舉例說(shuō)明之解不一定例如.當(dāng) a1=(1 2)T, a22 ,4)T, b1p1 ,1)丁,沖0 .0)T 時(shí)有ai4bi*1 .2)丁北 1朋.1)1 a2g2 .4)丁十0 Q=(2 . 4幾而ai bi aib2的對(duì)應(yīng)分量不成比例.是線性無(wú)關(guān)的，8 ,舉例說(shuō)明下列各命題是錯(cuò)誤的：(1) 若向量組ai a2 am是線性相關(guān)的.則ai可由a2 - am線性表示,解 設(shè)ai:ei =(i0 .0 - - - 0)a23=7m =0.則aia2am線性相關(guān).但ai不能由a2- - am線性表示(2) 若有不全為0的數(shù)，i .，2.，m使.iai ，mam：.ibi，mbm=0成立.則ai a

7、2 .am線性相關(guān)，bi b2 bm亦線性相關(guān)，解 有不全為零的數(shù)，i.，2.m使.- iai mam ri bi mbm =0 .原式可化為i(ai bi)亠 u mam -bm) =0 .取ai金-bia2 w - 4am=em- bm.其中ei- - - em為單位坐標(biāo)向量.則上式成立.而ai a 2 am和bi b2 bm均線性無(wú)關(guān)，(3) 若只有當(dāng)，i2.，m全為0時(shí).等式.：,iai mam ;：,ibi mbm乂才能成立.則ai a2 am線性無(wú)關(guān)，bi bbm亦線性無(wú)關(guān)，解由于只有當(dāng)M-m全為0時(shí).等式由iaimam：hibi mbm =0成立.所以只有當(dāng)全為0時(shí).等式i(ai

8、 bl?.2(a2 b2)亠亠;m(am bm) =0成立，因此ai bi a2 b am bm線性無(wú)關(guān)，取ai=a2=m=0.取bi,.：；.：bm為線性無(wú)關(guān)組.則它們滿足以上條件.但aia:.am線性相關(guān)，若aia2am線性相關(guān),bibbm亦線性相關(guān).則有不全為0的數(shù)i2，m使 iai Fam =0 .Aibi，mbm =0同時(shí)成立 解a(i .0)T 3(2 .0)T .biN0 .3)T 4氓0 .4)T . ia!-.-2a2 =0 ： i -2 2 .iSI n|SnXibi+A2b2 =0 二人i=-(3/4) /2,=i =2=0 .與題設(shè)矛盾 ，9,設(shè)bi=a ia2 .b2

9、=a2勺3 .b3=a3勺4血厶4 .證明向量組 bi ,b2 ,b3 ,b4線性相關(guān)，證明由已知條件得bi 七2 b3 七4 =0 .向量組bi b2 b3 b4線性相關(guān)，i0，設(shè)bi =aib2 =ai22br =ai22ar.且向量組aia2ar線性無(wú)關(guān).證明向量組bib2.br線性無(wú)關(guān),證明已知的r個(gè)等式可以寫(xiě)成(b，鳥(niǎo)廠，0)=佝，a?, aj1110 112525上式記為B=AK ,因?yàn)閨K|=1-0 K可逆.所以R(B)=R(A)h.從而向量組 .鳥(niǎo).0線性無(wú)關(guān)，11，求下列向量組的秩，并求一個(gè)最大無(wú)關(guān)組：(1) a1 #1 .2 .二.4)T 02=9 .100 .10 .4)

10、T 聲#-2.2 .-8)丁 ；解由1 92 100 -1 10-8丿1098219 -32-210-2000丿25知R(a1 a2 .a3)=2，因?yàn)橄蛄縜1與a2的分量不成比例.故a1 .a2線性無(wú)關(guān).所以a1 .a2是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組(2応丁=(1 .2 .1 .3) .a 2J4 3 .巧.-6).日3丁=(1 亠4盧)解由XXXXXX2 1315 6-02525知R(ai盤(pán)a3 ) =R(a 1.a2a3) =2，因?yàn)橄蛄縜 1與a2的分量不成比例故a 1.a2線性無(wú)關(guān)所以a 1.a2是 個(gè)最大無(wú)關(guān)組.12 .利用初等行變換求下列矩陣的列向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組：25 31 17 437

11、5 94 53 13275 94 54 134 25 32 20 48 丿記A =佝，a2, a3,內(nèi)）=25757531 1794 5394 5432 2043 B -3r1132 z13448丿r3 -3r125 310 11723343355丿25所以3-1,32, a3是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.a408 - a258、5-12a3.10203-1 3_11解記A=(a , 32 ,爲(wèi)，Q=)1221、(ra-2r111221、10010 0215-10215-10103-1203-13r4 -F10_ 2-1-51001-111104T00_ 22-2丿0000a3.所以 a1,a2,a3是一

12、個(gè)最大無(wú)關(guān)組 ，a4 = ai 3a2 -a3. a5 二-a213，設(shè)向量組(a.3 .1)T .(2 .b.3)T.(1 .2 .1)T.(2 .3 .1)T的秩為2 .求a b .解設(shè) a1毛a .3 .1)T.a2=(2.b. 3)T.a(1_2 .1)T .a(2.3 .1)T,因?yàn)? 2 a 1 1(a3, a4, a1, a2)= 2 3 3 b 0 1J 1 1 3丿 0 11a T1 b-60和01 a-1 2 - a-3b-5而 R(a1 a2 a3 a4) =2 .所以 a=2 b=5 .14，設(shè)a1 a - - -an是一組n維向量.已知n維單位坐標(biāo)向量e1 e2 .e

13、n能由它們線性表示.證明a 1. a2 an線性無(wú)關(guān)證 因?yàn)閑1 e2,.：”；：en能由a1 a2,.：:an線性表示.所以R( e1 .e - en) -R( a1 a 2 a n).而R(e1e2en)刃R(a1& an) _n.所以R(a1a2 an) =n.從而a1.a2 an線性無(wú)關(guān)15，設(shè)a1 &.an是一組n維向量，證明它們線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是：任一 n維向量都可由它們線性表示證明 必要性：設(shè)a為任一 n維向量，因?yàn)閍i a2”；.an線性無(wú)關(guān).而a 1 a2”an a是n個(gè)n維向 量.是線性相關(guān)的.所以a能由a 1 a2 an線性表示.且表示式是唯一的，充分性：已知任一

14、n維向量都可由a 1 a2宀.線性表示.故單位坐標(biāo)向量組eie2. .en能由a 1a2,-an線性表示.于是有n :R(e1 e2 . 島)乞R(a1 a2 .a n) n .即R(a1 a2 .an) =n .所以a 1 a2 .a線性無(wú)關(guān).16，設(shè)向量組a 1 a - -am線性相關(guān).且a-0 .證明存在某個(gè)向量 ak (2二k_m).使ak能由a 1 a2 .ak 線性表示，證明 因?yàn)閍1 a2 .Vm線性相關(guān).所以存在不全為零的數(shù)，1.，2.m.使.1a1 亠;2a 2.mSm =0 ”而且2.3.m不全為零這是因?yàn)槿缛舨蝗粍t-1a 1=0.由a0知1T.矛盾按足標(biāo)從大到小考察 上式

15、中系數(shù))，設(shè)其第一個(gè)不為零的數(shù)為 k，使k = ：0 ,/k 1 hk 2= =，m=0 .于是1a 1：&2a2 kak=0ak=-(1/ ,:.k)( /.1a/,2a2，k_iak_i).即ak能由a 1 a2- a k j.線性表示.17，設(shè)向量組B b1 b能由向量組A a1“as線性表示為(b1 .br) =(a1 as)K .其中K為s r矩陣.且A組線性無(wú)關(guān)，證明B組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是矩陣K的秩R(K)斗.證明 令 B=(b1 .br) A 1s).則有 B =AK ,必要性：設(shè)向量組B線性無(wú)關(guān)，由向量組B線性無(wú)關(guān)及矩陣秩的性質(zhì).有r=R(B) =R(AK) min R(

16、A) R(K) 1R(K).及R(K)汕in r .s寸.因此R(K)千.充分性：因?yàn)镽(K)彳要證B組線性無(wú)關(guān)。由于Bx = 0= AKx =0= Kx =0= x = 0從而b1 .br線性無(wú)關(guān)=a+ a+ 0(23n=a+ a+ ot13n=o( +a+ a+ 0(2118，設(shè)P n 123證明向量組：1 .：2與向量組：12 n等價(jià)證明將已知關(guān)系寫(xiě)成(j，S n) = Cl, ： 2,0 1110 1,：n)1101111U10將上式記為B=AK.因?yàn)? 11110 11|K|= 1 1 0 1 = (-1嚴(yán)(n_1)心1110所以K可逆.故有A=BK，由B*K和AK可知向量組:n與向

17、量組- -n可相互線性表示，因此向量組：1 . ：2 rn與向量組?。?：n等價(jià)19，已知3階矩陣A與3維列向量x滿足A3x =3Ax -A2x .且向量組x .Ax A2x線性無(wú)關(guān)2(1)記 P =(x .Ax Ax).求 3 階矩陣 B .使 APB解因?yàn)?AP=A(x Ax A2x)23=(Ax A x A x)2 2斗Ax A2x . 3Ax 從2x)0 0 0 =(x, Ax, A2x) 10 3.0 1 T 丿9 0 0、所以B = 1 0 3,0 1 T 丿(2) 求A| .解P的列向量組線性無(wú)關(guān)，貝U 啲秩為3,故| P|。則 可逆 則 A = PBP 4,故 | A F| B

18、 | = 0。20，求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 ：N -8% 10x3 2X4 = 0(1) 2為 4x2 5x3 - x 03為 8x2 6x3 - 2x4 = 0解對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換.有廣1-8102 r040A =2 45-1 01-3/4-1/4.Q 86-2丿0000丿于是得= 4x3X2=(3/4)X3+(1/4)x 取(X3 X4)(4 0)T .得(X1 .X2)T=( 6 3)T ； 取(X3 X4)(0 4)T .得(XI .X2)(0 .1)T , 因此方程組的基礎(chǔ)解系為首=二6.3.4.0)丁百=0 .1 .0.4)二2兇-3x2 -2x3 x4 = 03為5

19、x2 4滄- 2冷=08x 7x2 6x3 - 3x = 0解對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換.有2 -3-2 1 r1 0 2/19 1/19)A =3 54 -20 1 14/19 -7/198 76 -3丿0 0 0 0 于是得；=-(2/19)x + (1/19)x4、x2 = (14/19)滄十(7/19)x4 取(X3 X4)T19 . 0)T .得(X1 .X2)T%-2 .14)T ； 取(X3 X4)T0 .19)T .得(X1 .X2)T%1 . 7)T ,因此方程組的基礎(chǔ)解系為tH-2.14.19. 0)TE=(1 .7.0 .19)1(3)nX1 (n 書(shū)X2 2Xn 丄 Xn

20、=0.解原方程組即為Xn X1 -(n -1)X2 -2Xn _1 .取 X1 =1 X2=X3= =Xn 4=0 .得 Xn -n -取 X2 =1 X1 =X3=X4 = =Xn4 =0 .得 Xn -(n1) 一-n 1 -* * * t取 Xn 4=1 X1 =X2 =Xn 2 =0 .得 Xn -2因此方程組的基礎(chǔ)解系為備1 .0 0 .r0r)T .=(0 .1 0 . .0 .t+1)t .30 0. 0,和”21 設(shè)2R(B) 2一213 ,求-個(gè)42矩陣B,使AB -5 2 8解 設(shè)B=(b!,b2)，因R B =2.故b1,b2線性無(wú)關(guān)。又A(bj, p) = (Abj,

21、Ab2)=0，得 Abj =0, Ab2 = 0。顯然B的兩個(gè)列向量應(yīng)是方程組 Ax =0的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，因?yàn)?(2 -2 1 31 0 -1/81/8 ;19 -5 2 8丿 0 1 -5/8 -11/8廠故R(A) =2，于是Ax =0的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù) 為4 - R(A) =2而方程組Ax =0的任意兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量均為 個(gè)基礎(chǔ)解系 記為b|,b2。它的一個(gè)基礎(chǔ)解系，于是下面我們求出 Ax = 0的一所以與方程組 Ax =0同解方程組為嚴(yán)=(1/8區(qū)-(1/8“4防(5/8)x3 + (11/8)x4 取(X3 燉丁毛8 .0)T .得(X1 .X2)T=(1 .5)T

22、 ；取(X3 燉丁0 .8)T .得(X1 .X2)TN .11)1方程組AB =0的基礎(chǔ)解系為1 -15 118 0b1#1 .5 .8 0)T.11 .0 .8)T .因此所求矩陣為B =22 .求一個(gè)齊次線性方程組，使它的基礎(chǔ)解系為E 氓0 .1 .2 . 3)T 左氓3. 2.1 . 0)T ,解顯然原方程組的通解為1嚴(yán)1 l+k22 12 1,即彳1 |3.2丿3k2 x2 = k2k2 X3 = 2kk2 X4 = 3K(k1 .kz R).消去k k2得此即所求的齊次線性方程組.23，設(shè)四元齊次線性方程組X+x2 = 0x -xx3 = 0I12 c II13 cKX4 = 0j

23、X2_Xb + x4 = 0求：(1)方程I與II的基礎(chǔ)解系(2) I與II的公共解,ii -X=_X4K = X4取(X3 Z4)(1 .0)T .得(X1 .X2)TM0 .0)T ； 取(X3 X4)T=(0 .1)T .得(X1 .X2)T=(L .1)1 因此方程I的基礎(chǔ)解系為=(0 .0 .1 .0)1$=(一 .1 .0 .1)T,解由方程I得/ = X4IX2=X3_X4取(X3 /4)(1 .0)T .得(X1 .X2)T=(0 .1)丁 ； 取(X3 .X4)T=(0 .1/ .得(X1 .X2)T=(7 . )T , 因此方程II的基礎(chǔ)解系為玄瑋0 .1 .1 .0)丁.

24、$瑋7 廠1.0 .1)1(2) I與II的公共解就是方程由方程ii得x1x2 = 0x2 -= 0iii ：2 vx1 - x2念=0x X3X4 = 0的解，因?yàn)榉匠探Miii(1100、1 1010-1r1-11001 -1 1 丿的系數(shù)矩陣1 0 0 1 0 0 0 000101-2 -0丿所以與方程組iii同解的方程組為xt_X4X2 = x4X3 = 2X4取X4 .得(X1 X2 X3)T* V 1 2)T .方程組III的基礎(chǔ)解系為3.1 2 .1)丁 ,因此I與II的公共解為x.1 .2 .1)T cR ,24，設(shè)n階矩陣A滿足A2蟲(chóng)E為n階單位矩陣，證明R(A) R(A-E)

25、=n .證明 因?yàn)锳(A-E)蟲(chóng)2從爭(zhēng)鼻=0 .由矩陣的秩的性質(zhì) 8知，R(A) R(A_E)蟲(chóng)， 又R(A-E)眾(E*).可知R(A) R(A -E) =R(A) R(Eha)_R(A E/)=R(E)二n .由此 R(A) R(A-E).25，設(shè)A為n階矩陣(n_2) A*為A的伴隨陣.證明n當(dāng) R(A) = nR(A*)二 1 當(dāng) R(A)二 n-10當(dāng) R(A)蘭 n-2證明 (1)當(dāng)R(A)w時(shí).|A|九.故有AA*|#|A|E|*|詢 JA忖.所以R(A*)刃.(2)當(dāng)R(A)才-1時(shí).由矩陣秩的定義 A中至少有一個(gè)n -1階子式不為零，也即 A*中至少有一個(gè) 元素不為零，故R(

26、A*)_1。另一方面，因 R(A)=n-1有|A|=0.由AA* WA|E=0 .由矩陣的秩的性質(zhì)8，R(A) R A* -n .把R(A) =n T代入上式得R(A)乞1。綜合兩方面有 R(A ) =1(3) 當(dāng)R(A) in -2時(shí)由矩陣的秩的定義知 A的所有n - 1階子式即A的任一元素均為零，故A* .從而 R(A*) =0 .26，求下列非齊次方程組的一個(gè)解及對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系：片 x2 =5(1) 2為 x2 x3 2x4 =1(5x1 + 3x2 + 2x3 + 2x4 = 3解對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換.有i oB= 2 1 1白3 210-8 -1 0 13 0 1

27、2與所給方程組同解的方程為= _ X3 _ 8X2 二 X313x=2當(dāng)X3=0時(shí).得所給方程組的一個(gè)解 n-8 .13 0 . 2)T ,與對(duì)應(yīng)的齊次方程組同解的方程為X2X3X4=0當(dāng)X3T時(shí).得對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系匕=.1 .1 .0)1X!-5x2 2卷 - 3x4 = 11（2）5x1 3x2 6x3 - x4 = -12x1 4x2 2x3 & = -6解對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換.有廣 1 -5 2-3 11 r勺 0 9/7 -1/2 1 B =5 36-1-1 0 1 -1/7 1/2 -22 4 2 1 -6丿0 0 0 0 0 丿與所給方程組同解的方程為幾=一(9/7

28、風(fēng) + (1/2)冷 + 1x2=(1/7)X3-(1/2)X4-2 -當(dāng)Xa=X4=0時(shí).得所給方程組的一個(gè)解y .-2. o.o)T,與對(duì)應(yīng)的齊次方程組同解的方程為；X1=(9/7)X3+(1/2)X4/2=(1/7風(fēng)一(1/2以4”分別取(X3 X4)T=(1 .0)丁 .(0 .1)T .得對(duì)應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系一T 一T3=(-9 .1 .7.0).匕1 一 .0.2).且27，設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3 .已知1.2. 3是它的三個(gè)解向量坯2 .3 .4 .5)+=(1 .2 .3 .4)T .求該方程組的通解解 記Ax =b，由于方程組中未知數(shù)的個(gè)數(shù)是 4.系數(shù)

29、矩陣的秩為 R(A)=3 .所以對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)解向量.因此Ax =0的任何一個(gè)非零解均為其一個(gè)基礎(chǔ)解系。由=21-(2，3)=(3,4,5,6)，A =0，知為Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.故Ax=b的通解x=k(3 4 5 6)T (2 3 4 5)T .(kWR),28，設(shè)有向量組 A :ay a 2 ,10)T a2.1 5)T a 3二.1 4)T .及 b=(1 貝_1)T .問(wèn) 為何值時(shí)(1) 向量b不能由向量組A線性表示(2) 向量b能由向量組A線性表示.且表示式唯一 向量b能由向量組A線性表示.且表示式不唯一.并求一般表示式解(a3, a2, a1, b)=-

30、1-2 a1、C1-2a11 1 2P0-11 +aP+1,45 10-1；04 +a-巧(1)當(dāng)：.=-4 0時(shí).R(A)-R(A .b).此時(shí)向量b不能由向量組A線性表示.當(dāng).二*4時(shí)R(A) =R(A b)=3 .此時(shí)向量組a1 a2 a3線性無(wú)關(guān).而向量組a 1 a2 & b線性相關(guān).故向量b能由向量組A線性表示.且表示式唯一當(dāng)：.=4 .1=0時(shí).R(A)采(A b)=2 .此時(shí)向量b能由向量組A線性表示.且表示式不唯一當(dāng)：.二4 .1=0 時(shí)(a3,a2,a 1,b) =11 -(a1 b1 a2 b an bn)V1 .35，試證：由 a1=(0.1 .1)T .a2=(1 .0.1)T . a(1 .1 .0)T 所生成的向量空間就是R3證明設(shè) A千a1 a2 _a3).由|0 1 1 .I A|1 0 1 =-2H01 1 0知R(A)=3 .故a1 .a2 a3線性無(wú)關(guān).所以a 1