思維特訓(xùn)(三)　最短路徑的探究

1、.思維特訓(xùn)三最短途徑的探究方法點(diǎn)津 ·有關(guān)實(shí)際問題中的最短途徑問題，通常進(jìn)展構(gòu)建與轉(zhuǎn)化，再根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短進(jìn)展分析與求解典題精練 ·類型一有關(guān)平面內(nèi)的最短途徑問題關(guān)于平面內(nèi)的最短途徑問題，我們有下面幾個相應(yīng)的結(jié)論：1在連接兩點(diǎn)的所有線中，線段最短兩點(diǎn)之間，線段最短；2關(guān)于線段和最短的問題，往往把幾條線段轉(zhuǎn)化成一條線段，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短或者“三角形兩邊之和大于第三邊加以證明，關(guān)鍵是找出相關(guān)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)化“折為“直1：如圖3TX1，ABC為等邊三角形，高AH10 cm，P為AH上一動點(diǎn)，D為AB的中點(diǎn)，那么PDPB的最小值為_ cm.圖3TX12如圖3

2、TX2所示，四邊形ABCD是正方形，AB6，ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點(diǎn)P，使PDPE的值最小，那么這個最小值為_ 圖3TX23如圖3TX3所示，牧童在A處放牛，其家在B處，A，B到河岸的間隔 分別為AC400米，BD200米，CD800米，牧童從A處把牛牽到河邊飲水后回家，在何處飲水所走總路程最短？最短路程是多少？ 圖3TX34如圖3TX4所示，A，B兩塊試驗(yàn)田相距200 m，C為水源地，AC160 m，BC120 m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種修筑水渠的方案甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A，B；乙方案：過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑

3、一條水渠到AB所在直線上的H處，再從H分別向A，B進(jìn)展修筑1請判斷ABC的形狀要求寫出推理過程；2兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請通過計算說明 圖3TX4類型二幾何體上的最短途徑問題解決立體圖形中任意兩點(diǎn)間的最短路程問題，應(yīng)充分運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，或?qū)⑶孓D(zhuǎn)化為平面，從而把問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)“兩點(diǎn)之間，線段最短的間隔 問題，構(gòu)造出直角三角形后，運(yùn)用勾股定理即可求解5如圖3TX5，一只螞蟻從正方體的底面點(diǎn)A處沿著外表爬行到上底面的點(diǎn)B處，它爬行的最短道路是注：點(diǎn)P是SR的中點(diǎn) 圖3TX5AAPB BAQB CARB DASB6如圖3TX6，有一個圓柱形大玻璃杯，它的底面

4、直徑為16 cm，高為18 cm，一只小蟲從底部點(diǎn)A處沿外表爬到與點(diǎn)A相對的上底面的點(diǎn)B處，那么小蟲所爬的最短途徑長約是取3 圖3TX6A20 cm B30 cm C40 cm D50 cm7如圖3TX7，長方體的底面邊長分別為2 cm和4 cm，高為5 cm，假設(shè)一只螞蟻從點(diǎn)P開場經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達(dá)點(diǎn)Q，那么螞蟻爬行的最短途徑長為_ cm.圖3TX78.2019·唐河縣期末如圖3TX8是一個棱長為3 cm的正方體，把所有的面均分成3×3 個小正方形，其邊長都為1 cm.假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2 cm，那么它從下底面點(diǎn)A沿外表爬行至側(cè)面的點(diǎn)B，最少要用_秒鐘圖3TX89

5、如圖3TX9是一個長方體，它的長、寬、高分別為5 cm，3 cm，4 cm.在頂點(diǎn)A處有一只螞蟻，它想吃到與頂點(diǎn)A相對的頂點(diǎn)B處的食物螞蟻沿長方體外表爬行的速度是0.8 cm/s，那么螞蟻能否在11 s內(nèi)獲取到食物？ 圖3TX910.如圖3TX10，長方體的底面是邊長為1 cm的正方形，高為3 cm.1假如用一根細(xì)線從點(diǎn)A開場經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，請計算細(xì)線最短需要多少；2假如從點(diǎn)A開場經(jīng)過4個側(cè)面纏繞2圈到達(dá)點(diǎn)B，請計算所用細(xì)線最短長度的平方值 圖3TX1011如圖3TX11是成都動物園大鳥籠百鳥苑，苑內(nèi)一條參觀道圍繞中間直徑為20 m，高為10 m的立柱形成架空參觀廊橋，視野開闊，

6、可與鳥類近間隔 接觸，同時也節(jié)約了占地面積已修成的這條參觀道繞立柱一周，最高離地面10 m，總長70 m，每米造價約為1萬元假設(shè)請你來當(dāng)參觀道的設(shè)計師，仍然繞圓柱一周，最高離地面10 m，每米的造價不變，你能設(shè)計出一種最省錢的方案嗎？懇求出最低造價是多少萬元結(jié)果取整數(shù)圖3TX11詳解詳析1102.63導(dǎo)學(xué)號：34972332解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)A，連接AB交CD于點(diǎn)M，那么在點(diǎn)M處飲水所走總路程最短，最短路程為AB的長過點(diǎn)A作AHBD交其延長線于點(diǎn)H，在RtAHB中，因?yàn)锳HCD800米，BHBDDHBDACBDAC200400600米，由勾股定理，得AB2AH2BH28002

7、60021000000，故AB1000米，所以最短路程為1000米4導(dǎo)學(xué)號：34972333解：1ABC是直角三角形理由如下：因?yàn)锳C2BC21602120240000，AB2201940000，所以AC2BC2AB2，所以ABC是直角三角形2甲方案所修的水渠較短理由如下：因?yàn)锳BC是直角三角形，所以ABC的面積為AB·CHAC·BC，所以CH96m因?yàn)锳CBC160120280m，CHAHBHCHAB96200296m，所以ACBCCHAHBH，所以甲方案所修的水渠較短5A解析 要求正方體中兩點(diǎn)之間的最短途徑，最直接的作法，就是將正方體展開，然后利用“兩點(diǎn)之間，線段最短解

8、答應(yīng)選A.6導(dǎo)學(xué)號：34972334B解析 圓柱的側(cè)面展開圖如圖，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短就可以得知AB最短由題意，得AC3×16÷224cm，在RtABC中，由勾股定理，得AB30 cm. 解決此類問題，一般方法是先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形，再確定兩點(diǎn)之間的最短途徑此題將圓柱的側(cè)面展開，構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵713解析 這個長方體的側(cè)面展開圖如下圖，連接PQ，那么PP12 cm，QP5 cm，由勾股定理得PQ2169，所以PQ13 cm，所以螞蟻爬行的最短途徑長為13 cm.8導(dǎo)學(xué)號：349723352.5解析 因?yàn)榕佬型緩讲晃ㄒ?，故分情況分別計算，進(jìn)展比較

9、，再從各個道路中確定最短的道路1展開前面和右面，由勾股定理得AB229；2展開底面和右面，由勾股定理得AB225.所以AB225時途徑最短，最短途徑長為5 cm，用時最少為5÷22.5秒9導(dǎo)學(xué)號：34972336解：長方體兩個面的展開圖如下圖，圖：A1B123245290；圖：A2B224235280；圖：A3B325234274.因此，最短途徑為A3B3.因?yàn)?.8×118.8cm，8.8277.44>74，所以螞蟻能在11 s內(nèi)獲取到食物10導(dǎo)學(xué)號：34972338解析 1把長方體的側(cè)面沿AB邊剪開，再利用勾股定理進(jìn)展解答即可；2假如從點(diǎn)A開場經(jīng)過4個側(cè)面纏繞2圈到達(dá)點(diǎn)B，所用細(xì)線的最短長度就是兩條直角邊長分別是8和3的直角三角形的斜邊長，再利用勾股定理解決問題解：1如圖，將長方體的側(cè)面展開，連接AB，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短，得AB2423225，故AB5cm即細(xì)線最短需要5 cm.2假如從點(diǎn)A開場經(jīng)過4個側(cè)面纏繞2圈到達(dá)點(diǎn)B，所用細(xì)線的最短長度就是兩條直角邊長分別是8和3的直角三角形的斜邊長，根據(jù)勾股定理可知所用細(xì)線最短長度的平方823273. 此題考察的是平面展開最短道路問題，根據(jù)題