數(shù)學(xué)建模C題論文

1、2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： C 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置

2、報名號的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 2010 年 9 月 10 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2010高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：輸油管的布置摘要“輸油管的布置”數(shù)學(xué)建模的目的是設(shè)計最優(yōu)化的路線，建立一條費用最省的輸油管線路，但是不同于普遍的最短路徑問題，該題需要考慮多

3、種情況，例如，城區(qū)和郊區(qū)費用的不同，采用共用管線和非公用管線價格的不同等等。我們基于最短路徑模型，對于題目實際情況進行研究和分析，對三個問題都設(shè)計了合適的數(shù)學(xué)模型做出了相應(yīng)的解答和處理。問題一：此問只需考慮兩個加油站和鐵路之間位置的關(guān)系，根據(jù)位置的不同設(shè)計相應(yīng)的模型，我們基于光的傳播原理，設(shè)計了一種改進的最短路徑模型，在不考慮共用管線價格差異的情況下，只考慮如何設(shè)計最短的路線，因此只需一個未知變量便可以列出最短路徑函數(shù)；在考慮到共用管線價格差異的情況下，則需要建立2個未知變量，如果帶入已知常量，可以解出變量的值。問題二：此問給出了兩個加油站的具體位置，并且增加了城區(qū)和郊區(qū)的特殊情況，我們進一步

4、改進數(shù)學(xué)模型，將輸油管路線橫跨兩個不同的區(qū)域考慮為光在兩種不同介質(zhì)中傳播的情況，輸油管在城區(qū)和郊區(qū)的鋪設(shè)將不會是直線方式，我們將其考慮為光在不同介質(zhì)中傳播發(fā)生了折射。在郊區(qū)的路線依然可以采用問題一的改進最短路徑模型，基于該模型，我們只需設(shè)計2個變量就可以列出最低費用函數(shù)，利用Matlab和VC+ 都可以解出最小值，并且我們經(jīng)過多次驗證和求解，將路徑精度控制到米，費用精度控制到元。問題三：該問的解答方法和問題二類似，但是由于A管線、B管線、共用管線三者的價格均不一樣，我們利用問題二中設(shè)計的數(shù)學(xué)模型，以鐵路為橫坐標(biāo)，城郊交匯為縱坐標(biāo)建立坐標(biāo)軸，增加了一個變量，建立了最低費用函數(shù)，并且利用VC+解出

5、了最低費用和路徑坐標(biāo)。關(guān)鍵字： 改進的最短路徑 光的傳播 Matlab 數(shù)學(xué)模型輸油管的布置一、問題的重述某油田計劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時在鐵路線上增建一個車站，用來運送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設(shè)計院希望建立管線建設(shè)費用最省的一般數(shù)學(xué)模型與方法。利用模型分析管線布置和管線費用的情況，具體問題如下：1. 針對兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出你的設(shè)計方案。在方案設(shè)計時，若有共用管線，應(yīng)考慮共用管線費用與非共用管線費用相同或不同的情形。2. 設(shè)計院目前需對一更為復(fù)雜的情形進行具體的設(shè)計。兩煉油廠的具體位置由附圖所示，其中A廠位于郊區(qū)（圖中的I區(qū)域）

6、，B廠位于城區(qū)（圖中的II區(qū)域），兩個區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示。圖中各字母表示的距離（單位：千米）分別為a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。 若所有管線的鋪設(shè)費用均為每千米7.2萬元。 鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用，為對此項附加費用進行估計，聘請三家工程咨詢公司（其中公司一具有甲級資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級資質(zhì)）進行了估算。估算結(jié)果如下表所示：工程咨詢公司公司一公司二公司三 附加費用（萬元/千米）212420請為設(shè)計院給出管線布置方案及相應(yīng)的費用。3. 在該實際問題中，為進一步節(jié)省費用，可以根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油管。這時的管線鋪設(shè)費用將分

7、別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬元，輸送B廠成品油的每千米6.0萬元，共用管線費用為每千米7.2萬元，拆遷等附加費用同上。請給出管線最佳布置方案及相應(yīng)的費用。二、模型假設(shè)1、管道均以直線段鋪設(shè)，不考慮地形影響。2、不考慮管道的接頭處費用。3、不考慮施工之中的意外情況，所有工作均可順利進行。4、共用管線的價格如果和非公用管線不一致，則共用管線價格大于任意一條非公用管線價格，小于兩條非公用管線價格之和。三、符號說明h：共用管道的高度（問題一中b）h1:共用管道高度h2:管線與分界線的交點到B廠與鐵路平行線的距離w：方案的經(jīng)費a：A廠到鐵路的距離b：B廠到鐵路的距離c:A廠到城郊分界線的距離l:

8、A、B兩廠之間的鐵路長度x：A廠離共用管道的距離（問題一中的c）y：共用管道的高度（問題一中的c）m：共用管道的費用（問題一）n：非共用管道費用（問題一）y1：為o點的縱坐標(biāo)y2：為o1點的縱坐標(biāo)x1：為o點的橫坐標(biāo)x2：為o1點的橫坐標(biāo)L: 為管線總長度（問題一中的b）四、問題分析問題一：要考慮有和沒有共用管線，還要考慮共用管線與非共用管線費用相同和不同兩種情況。同時還要考慮兩個工廠是否在鐵路的同一側(cè)，如果兩個工廠在鐵路的同一側(cè)那么一定沒有共用管線。 不在鐵路的同一側(cè)那么就要考慮有和沒有共用管線這個問題。計算共用管線的長度時，用光學(xué)原理，把一個工廠當(dāng)作光源發(fā)射一束光經(jīng)過一個平面的反射通過另一

9、個工廠，這樣能夠保證路線最短。這個平面與鐵路的距離即為共用管線的長度。同時與這個平面的交點就是兩廠的管線的交點。當(dāng)共用管線與非共用管線費用不相同時可以通過建立方程組來解答。當(dāng)共用管線與非共用管線費用不相同時要建立方程組來計算其最小費用從而來確定方案的可行性，共用管線與非共用管線長度作為變量來控制總費用，那么我們就可以列出一個方程組，從而在變量的約束條件下可以確定最小費用。問題二：把這個問題分兩部分來考慮，即市區(qū)和郊區(qū)分兩個部分，火車站建立在郊區(qū)費用要小得多，郊區(qū)共用管線與非共用管線的費用相同所以可以用最短路徑的方法來考慮，同時又要求費用最小，可以解出最低費用及對應(yīng)的鋪設(shè)線路。問題三：通過建立坐

10、標(biāo)系設(shè)兩個點的坐標(biāo)，同時也是表達管線的長度，然后再與各自的費用之積確定總的費用，從而算出兩點的坐標(biāo)值。即確定了管線的路線。五、模型的建立與求解5.1關(guān)于問題1的模型建立與求解對于管線布置的分析，分為兩種情況：1. 兩廠分別在鐵路的兩側(cè)如下圖： 那么連接兩廠A、B與鐵路的交點C即為火車站的位置。2. 當(dāng)兩廠位于鐵路的同一側(cè)時,此時要分有公用管線與沒有公用管線兩種情況。a.當(dāng)沒有公用管線時，此時找出兩廠與鐵路交點連線的最近路線即可，如圖：過鐵路作A廠的對稱點A，連接AB與鐵路交于一點C，該點C即為火車站的位置。b.當(dāng)有共用管線時又要分為共線管線費用與非共線管線費用相同與不同兩種情況：當(dāng)共線管線與非

11、共線管線相同時，費用為m萬元/千米如圖所示：假設(shè)共線管線的長度為h，A廠到鐵路的距離為a，B廠到鐵路的距離為b，則總的管線長度為： 則總費用： c.當(dāng)共線管線與非共線管線不同時，共用管線費用為m萬元/千米 ，非共用管線費用為n萬元/千米，如圖所示：總費用為：其中實際的費用可以根據(jù)已知道的常量a、b、l再結(jié)合x、y的取值范圍可以得出最小費用。 5.2關(guān)于問題2的模型建立與求解因為在城區(qū)和郊區(qū)鐵路管線的費用相同，但城區(qū)要增加拆遷和工程補償?shù)荣M用，因此城區(qū)和郊區(qū)要分為兩部分來考慮。我們考慮三家咨詢公司給出的三個方案，我們考慮到甲級資質(zhì)和乙級資質(zhì)的評估準(zhǔn)確性，首先排除掉公司二的預(yù)算，對于公司一和公司三

12、的預(yù)算，我們將分別求出最小費用，考察兩者的差別。1假設(shè)共用管線在郊區(qū)把該模型看作是一束光從B點發(fā)射在分界處G點發(fā)生了折射，把左邊的問題看作是最短路徑問題，如圖所示：設(shè)共用管線的長度為h1，G點到O2B的距離為h2。在區(qū)域中即BG段每千米的費用為：20+7.2=27.2萬元。由以上分析數(shù)據(jù)可得如下關(guān)系式：總費用： W1（最?。? （式1）參數(shù)的取值范圍： （式2）參數(shù)的取值范圍： （式3）利用Matlab將式（1）（2）（3）聯(lián)立關(guān)系式繪圖：用Microsoft Visual C+ 6.0解:W1(最小)= 275.13404萬元運行結(jié)果：在這種情況下采用公司一的預(yù)算，只需要在上式中將27.2增

13、加為28.2即可，計算得到總費用：280.177831萬元運行結(jié)果：2假設(shè)共用管線在城區(qū)同理，如圖所示：由以上分析數(shù)據(jù)可得如下關(guān)系式：總費用：W2（最小）=（式1）參數(shù)的取值范圍： （式2）參數(shù)的取值范圍： （式3）用Microsoft Visual C+ 6.0解得W2（最小）= 355.25587運行結(jié)果：顯然W1（最?。?lt;W2（最?。┓桨敢毁M用少于方案二，因此舍掉這種方案。最終求得的結(jié)果為，如果采用一咨詢公司的估算價格，則最終費用為275.134304萬元，如果采用三咨詢公司的估算價格，則最終費用為280.177831萬元，考慮到公司一具有高級資質(zhì)，因此我們采用公司一的價格方案，將

14、最終預(yù)算設(shè)為280.177831萬元，但是實際鋪設(shè)管道的價格有可能在兩種估算價格之間。5.3關(guān)于問題3的模型建立與求解1、O點為B管線與分界線的交點，O1點為A管與B管的交點，如下圖建立坐標(biāo)軸，采用公司三的估算費用，總費用等于各段路線的長度與各段費用的積為：坐標(biāo)法解答，A01，OO1，OB，如圖：O(x1，y1),O1(x2，y2)由以上分析數(shù)據(jù)可得如下關(guān)系式：A廠到管道交接點O1的長度：AO1= （式1）管道交點O1到B廠與城郊分界線交點O的長度：OO1= （式2）B廠到交點O的長度：OB= （式3）鐵路站點O2到交叉管道O1的長度：O1O2= （式4）參數(shù)的取值范圍： （式5） 參數(shù)的取值

15、范圍： （式6）參數(shù)的取值范圍： （式7）總費用： 由以上式子利用Microsoft Visual C+ 6.0軟件求得最小經(jīng)費：W3（最小值）= 244.386494萬元。 運行結(jié)果： 在同種情況下，用公司一的預(yù)算費的總費用：運行結(jié)果：當(dāng)火車站建在市區(qū)費用太高同二題中的方案二故不選用那種方案。因此類似于問題二，我們采取公司一的估算價格，最終預(yù)算為249.468791萬元。但是公司三的價格也具有一定參考性，實際鋪設(shè)管道價格應(yīng)為244.386494萬元到249.468791萬元之間。六、模型的評價與應(yīng)用從實際的生活出發(fā)輸油管道是石油生產(chǎn)過程中的重要環(huán)節(jié)，是石油工業(yè)的動脈。在石油的生產(chǎn)過程中，至始

16、至終都離不開輸油管道。我們可以把石油的生產(chǎn)過程簡單的表示為：  dO;vcgvb 油 計量站 井聯(lián)合站 轉(zhuǎn)油站 礦場油庫 煉油廠 用戶 M.P(/FS9 從油井出來的油氣通過管道輸送到計量站，經(jīng)過計量后又由管道輸送往聯(lián)合站，在聯(lián)合站生產(chǎn)出合格的原油，合格原油通過管道和轉(zhuǎn)油站輸?shù)降V場油庫或外輸?shù)焦艿朗渍?，通過長輸原油管道輸?shù)綗捰蛷S加工精練，生產(chǎn)出各種產(chǎn)品，通過成品油管道或鐵路、公路、水路將各種產(chǎn)品送往用戶，其中成品油管道就需要用到管道的布置設(shè)計。qetP93N_* 優(yōu)點：模型使問題由復(fù)雜變簡單，方便運輸，提高輸油效率，規(guī)劃線路。管線布置和規(guī)劃及相應(yīng)的費用減到最小，在

17、不同的環(huán)境下用這種環(huán)境中的最優(yōu)模型，方便快捷，節(jié)約開支，使實際問題更加精確。同時對于題目的三個問題都設(shè)計了合適的模型，并且當(dāng)給出具體數(shù)值的時候能夠給出足夠精確的解，具有一定的普遍性。OOokhZd其四：其四 e # 5BPI缺點：該模型在提出的時候?qū)⒉糠忠蛩貨]有考慮進來，例如管線接頭處的費用，以及工作工程中的一些意外情況等等，使得該模型在實際應(yīng)用中會缺少精確性。 應(yīng)用：模型在實際運用中，不僅僅可以用在成品油運輸管布置，還可運用到原油輸送和污水處理，電線電纜的布置還有公路鐵路的修建等一些列的線路布置問題。b8rp8'  r_b8,I6 Rx7QlA; 七、參考文獻【1

18、】 趙靜 但琦 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗第三版 22-29頁，178-194頁 高等教育出版社 2008年1月【2】 曹戈 MATLAB教程及實訓(xùn) 37-60頁 機械工業(yè)出版社 2008年5月【3】 鄔學(xué)軍 周凱數(shù)學(xué)建模競賽輔導(dǎo)教程 73-96頁 浙江大學(xué)出版社 2009年1月附錄：問題2程序1、按照公司三的評估總費用為：#include<stdio.h>#include<math.h>void main() double h1,h2,w;double a,b;double min = 10000;for(h1=0;h1<=8;h1+=0.001)for(h2=0;h2

19、<=8;h2+=0.001)if(h1+h2>8)continue;w=27.2*sqrt(25+h2*h2)+(sqrt(5-h1+8-h1-h2)*(5-h1+8-h1-h2)+225)+h1)*7.2;if(min>w)min=w;a=h1;b=h2;printf("%f n",min);printf("%f %f n",a,b);運行結(jié)果：2、按照公司一評估總費用為： 問題3程序：1、按照公司三評估總費用為：#include"stdio.h"#include"math.h"main() double x2,y2,y1,w,a,b,c,min=1000; for(x2=-15;x2<=0;x2+=1)for(y1=0;y1<=8;y1+=1)for(y2=0;