數(shù)碼相機(jī)定位數(shù)學(xué)建模

1、高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： A 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的

2、話）： 20002028 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?中南大學(xué) 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 2008 年 9 月 22 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：數(shù)碼相機(jī)定位摘 要對(duì)于問題一，我們建立了兩個(gè)模型，求當(dāng)坐標(biāo)系原點(diǎn)取在該相機(jī)的光學(xué)中心時(shí)，靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo)。一個(gè)是橢圓最小二乘法擬合模型（模型一），這個(gè)模型中我們利用了網(wǎng)格紙選點(diǎn)算法和matlab軟件函數(shù)取點(diǎn)算法兩種算法，這兩個(gè)算法均是通過從像平面中選取六個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值，代入利用最小二乘法建立的方程組（9）式中，求得了擬合橢圓方程的參數(shù)，然

3、后通過式（2）、式（3）的轉(zhuǎn)換公式得到橢圓中心的坐標(biāo)；另一個(gè)模型是直線逼近模型(模型二)，將相片轉(zhuǎn)換為tiff格式后直接調(diào)用軟件matlab6.0中的imread函數(shù)，取得相片中的若干個(gè)橢圓區(qū)域，然后分別在不同區(qū)域內(nèi)用兩條水平線和兩條豎直線去與橢圓相切，求出相切交點(diǎn)的坐標(biāo)，由橢圓對(duì)稱性可知，兩條過對(duì)稱切點(diǎn)的直線會(huì)交于橢圓中心，則橢圓的中心坐標(biāo)可以表示成.問題二是在問題一的基礎(chǔ)上進(jìn)行求解，將相關(guān)數(shù)據(jù)代入模型中得出了橢圓最小二乘法擬合模型和直線逼近模型的解，結(jié)果分別見表4和表9。問題三，在模型一和模型二中，由于包含誤差較大樣本點(diǎn)在內(nèi)的所有樣本點(diǎn)都參與運(yùn)算，所以會(huì)對(duì)橢圓擬合的最后結(jié)果產(chǎn)生偏差。針對(duì)這

4、種情況，采用隨機(jī)理論的思想，先隨機(jī)選取6個(gè)點(diǎn)擬合橢圓，然后計(jì)算與此橢圓匹配的所有樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)。重復(fù)此過程一定次數(shù)（一般選取100200次），匹配樣本點(diǎn)多的橢圓即為最優(yōu)橢圓，由此構(gòu)造了一種快速準(zhǔn)確剔除誤差較大樣本點(diǎn)的改進(jìn)橢圓擬合隨機(jī)化算法，并通過實(shí)例驗(yàn)證了算法的精度和穩(wěn)定性，其中精度檢驗(yàn)時(shí)最大誤差為0.73%，穩(wěn)定性檢驗(yàn)時(shí)最大誤差為3.7%，說(shuō)明模型能夠有效地處理包含有較大比例誤差點(diǎn)的樣本空間，擬合出具有高精度的橢圓，并且該算法的速度能夠滿足實(shí)時(shí)性的要求。問題四屬于雙目定位問題范疇，可由常規(guī)的攝像機(jī)標(biāo)定問題進(jìn)行反推求解，常規(guī)的攝像機(jī)標(biāo)定問題是將像素坐標(biāo)系信息（如相片）轉(zhuǎn)換到世界坐標(biāo)系信息（如實(shí)物）

5、的三維坐標(biāo)，而這里是將世界坐標(biāo)系信息（靶標(biāo)上的圓心）向像素坐標(biāo)系信息轉(zhuǎn)換，從而測(cè)定兩部固定的數(shù)碼相機(jī)的相對(duì)位置。我們通過已知的實(shí)物和相片信息然后利用空間坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換公式求解得到由旋轉(zhuǎn)距陣和自由平移向量組成的兩部相機(jī)的外部參數(shù)矩陣，進(jìn)而得到兩部數(shù)碼相機(jī)的光心坐標(biāo)變換模型（見式（29），由此即得兩相機(jī)的相對(duì)位置。關(guān)鍵詞：最小二乘法、圖像網(wǎng)格處理、取色器、標(biāo)定、旋轉(zhuǎn)距陣一 問題重述數(shù)碼相機(jī)定位在交通監(jiān)管（電子警察）等方面有廣泛的應(yīng)用。所謂數(shù)碼相機(jī)定位是指用數(shù)碼相機(jī)攝制物體的相片確定物體表面某些特征點(diǎn)的位置。最常用的定位方法是雙目定位，即用兩部相機(jī)來(lái)定位。對(duì)物體上一個(gè)特征點(diǎn)，用兩部固定于不同位置的相機(jī)攝

6、得物體的像，分別獲得該點(diǎn)在兩部相機(jī)像平面上的坐標(biāo)。只要知道兩部相機(jī)精確的相對(duì)位置，就可用幾何的方法得到該特征點(diǎn)在固定一部相機(jī)的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，即確定了特征點(diǎn)的位置。于是對(duì)雙目定位，精確地確定兩部相機(jī)的相對(duì)位置就是關(guān)鍵，這一過程稱為系統(tǒng)標(biāo)定。標(biāo)定的一種做法是：在一塊平板上畫若干個(gè)點(diǎn)， 同時(shí)用這兩部相機(jī)照相，分別得到這些點(diǎn)在它們像平面上的像點(diǎn)，利用這兩組像點(diǎn)的幾何關(guān)系就可以得到這兩部相機(jī)的相對(duì)位置。然而，無(wú)論在物平面或像平面上我們都無(wú)法直接得到?jīng)]有幾何尺寸的“點(diǎn)”。實(shí)際的做法是在物平面上畫若干個(gè)圓（稱為靶標(biāo)），它們的圓心就是幾何的點(diǎn)了。而它們的像一般會(huì)變形，如圖1所示，所以必須從靶標(biāo)上的這些圓的像

7、中把圓心的像精確地找到，標(biāo)定就可實(shí)現(xiàn)。 我們?cè)O(shè)計(jì)靶標(biāo)如下，取1個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，分別以四個(gè)頂點(diǎn)（對(duì)應(yīng)為A、C、D、E）為圓心，為半徑作圓。以AC邊上距離A點(diǎn)處的B為圓心，為半圓，如圖2所示。圖 2 靶標(biāo)示意圖用一位置固定的數(shù)碼相機(jī)攝得其像，如圖3所示。圖3 靶標(biāo)的像要求：（1） 建立數(shù)學(xué)模型和算法以確定靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo), 這里坐標(biāo)系原點(diǎn)取在該相機(jī)的光學(xué)中心，x-y平面平行于像平面；（2） 對(duì)由圖2、圖3分別給出的靶標(biāo)及其像，計(jì)算靶標(biāo)上圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo), 該相機(jī)的像距（即光學(xué)中心到像平面的距離）是1577個(gè)像素單位(1毫米約為3.78個(gè)像素單位)，相機(jī)分辨率為；（3

8、） 設(shè)計(jì)一種方法檢驗(yàn)?zāi)銈兊哪Ｐ?，并?duì)方法的精度和穩(wěn)定性進(jìn)行討論；（4） 建立用此靶標(biāo)給出兩部固定相機(jī)相對(duì)位置的數(shù)學(xué)模型和方法。二 問題分析2.1問題背景分析數(shù)碼相機(jī)在計(jì)算機(jī)視覺中的應(yīng)用逐漸普及和深入，在應(yīng)用中數(shù)碼相機(jī)的標(biāo)定是相當(dāng)重要的。計(jì)算機(jī)視覺是一門新興的學(xué)科。隨著計(jì)算機(jī)硬件、軟件、圖像采集、處理技術(shù)的迅速發(fā)展，計(jì)算機(jī)視覺的理論和技術(shù)已被廣泛地應(yīng)用于醫(yī)學(xué)圖像處理、機(jī)器人技術(shù)、文字識(shí)別、工業(yè)檢側(cè)、軍事偵察、地理勘察和現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量等。計(jì)算機(jī)視覺在多種測(cè)量中的應(yīng)用是一種定量分析系統(tǒng)，有確定的精度要求。一般運(yùn)用于現(xiàn)場(chǎng)不可到達(dá)、現(xiàn)場(chǎng)復(fù)雜不便直接測(cè)量、保留現(xiàn)場(chǎng)狀態(tài)以便復(fù)測(cè)、補(bǔ)測(cè)和事后重構(gòu)現(xiàn)場(chǎng)等場(chǎng)合。通常人們

9、把攝像機(jī)和膠片相機(jī)作為獲取原始圖像的主要設(shè)備，隨著數(shù)碼相機(jī)的出現(xiàn)和發(fā)展，在許多場(chǎng)合人們已逐漸采用數(shù)碼相機(jī)作為主要的圖像采集設(shè)備。這主要是由于數(shù)碼相機(jī)有如下幾個(gè)特點(diǎn):有較多像素的CCU;可以根據(jù)測(cè)量的需要選擇不同的像素大小;可直接與計(jì)算機(jī)進(jìn)行通訊;可選定多種焦距進(jìn)行定焦距拍攝。上述特點(diǎn)，給圖像采集和圖像處理帶來(lái)了許多方便之處。在應(yīng)用計(jì)算機(jī)視覺的測(cè)量系統(tǒng)中，無(wú)論是采用攝像機(jī)還是數(shù)碼相機(jī)作為原始圖像的采集設(shè)備，都必須進(jìn)行系統(tǒng)標(biāo)定。系統(tǒng)標(biāo)定是應(yīng)用計(jì)算機(jī)視覺進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量和圖像處理的第一步，也是關(guān)鍵的一步。標(biāo)定矩陣的精度直接影響到最終的測(cè)量精度。國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)此做了大量的研究，提出了多種利用攝像機(jī)作為輸

10、入設(shè)備的標(biāo)定方法。2.2問題要求分析對(duì)于問題一，題目要求確定靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo)，這里坐標(biāo)原點(diǎn)是取在該相機(jī)的光學(xué)中心，我們?nèi)粢怨廨S所在直線為軸，則所求靶標(biāo)上圓的圓心在相機(jī)像平面上的縱坐標(biāo)是相同的（在這里為該相機(jī)的像距，是一個(gè)固定值），所以只需求各和坐標(biāo)即可，由實(shí)物與像之間的關(guān)系，在只考慮幾乎理想狀態(tài)下，我們可以試著確定相片上橢圓的中心坐標(biāo)，并且認(rèn)為靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo)應(yīng)該是和橢圓的中心坐標(biāo)很接近。問題二是在問題一建立的模型上賦予具體的數(shù)值進(jìn)行求解，因此只需將題目中所給數(shù)據(jù)代入第一問的模型中即可有解決，值得注意的是在理想光學(xué)成像系統(tǒng)下焦距即是像距。問題三是要求設(shè)計(jì)

11、一種方法來(lái)給第一問設(shè)計(jì)的模型進(jìn)行檢驗(yàn)，同時(shí)還要求這種方法具有一定的精度和穩(wěn)定性，并能計(jì)算出來(lái)。問題的難點(diǎn)在于這里沒有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)又不能進(jìn)行真實(shí)模擬，鑒于此，我們決定采用計(jì)算機(jī)仿真的思想，即給出一個(gè)確定解同時(shí)產(chǎn)生一系列隨機(jī)數(shù)，用該方法求得的一組值來(lái)達(dá)到分析的目的。對(duì)于問題四，由于這是屬于雙目定位問題。根據(jù)相機(jī)成像的原理，我們利用空間坐標(biāo)系的相互轉(zhuǎn)換就應(yīng)該可以實(shí)現(xiàn)在靶標(biāo)給出的條件下確定兩部固定相機(jī)的相對(duì)位置。三 模型的建立及求解數(shù)碼相機(jī)圖像拍攝實(shí)際上是一個(gè)光學(xué)成像過程，而且光學(xué)成像的理論模型是針孔模型。我們將此成像過程分為3個(gè)步驟、隸屬于4個(gè)坐標(biāo)系。這四個(gè)坐標(biāo)系分別為: (1)世界坐標(biāo)系根據(jù)自然環(huán)境所

12、選定的坐標(biāo)系，坐標(biāo)值用表示。 (2)圖像坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)在圖像平面的中心，X軸、Y軸分別為平行于圖像平面的兩條垂直邊，坐標(biāo)值用表示。 (3)像素坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)在圖像平面的左上角，X軸、Y軸分別平行于圖像坐標(biāo)系的X軸和Y軸，坐標(biāo)值用來(lái)表示，且為離散的整數(shù)值。 (4)光心坐標(biāo)系以相機(jī)的光心為坐標(biāo)原點(diǎn)，X軸、Y軸分別平行于圖像坐標(biāo)系的X軸和Y軸，相機(jī)的光軸為Z軸，坐標(biāo)值用表示。由實(shí)物到相片的形成經(jīng)過了3個(gè)步驟，是分別將世界坐標(biāo)系中的信息轉(zhuǎn)換到光心坐標(biāo)系，再由光心坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到圖像坐標(biāo)系，最后由圖像坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到像素坐標(biāo)系。3.1 問題一的模型基本假設(shè)1) 考慮最小二乘法的要求，我們假設(shè)從圖像坐標(biāo)系中選取的

13、點(diǎn)的坐標(biāo)值的隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布。2) 圖3中的橢圓都是標(biāo)準(zhǔn)橢圓，不存在畸變等因素，屬于理想圖形。3) 相片沒有損壞，保存完好，圖像清晰符號(hào)說(shuō)明橢圓中心位置橢圓長(zhǎng)軸和短軸a橢圓長(zhǎng)軸的轉(zhuǎn)角模型的準(zhǔn)備1）橢圓的表示方法 在二維平面坐標(biāo)系中，橢圓一般可以用2種形式來(lái)表示。一種是利用圓錐曲線方程的代數(shù)形式表示，即: （1） 另外一種更直觀的方式是用平面坐標(biāo)系的幾何參數(shù)表示，即橢圓中心位置 ，長(zhǎng)軸和短軸，長(zhǎng)軸的轉(zhuǎn)角a。二維平面里的任意橢圓都可以用這5個(gè)參數(shù)唯一確定， 參數(shù)的幾何意義如圖4所示。圖4 二維平面橢圓的表示兩種表示形式的參數(shù)可用式(2)式(6)轉(zhuǎn)換。 (2) (3) (4) (5) (6)2）

14、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換分析根據(jù)這種轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以先選取圖3中橢圓中點(diǎn)的坐標(biāo)值，求得等式（1）中參數(shù)，再通過轉(zhuǎn)換，得到圖3中各個(gè)橢圓中點(diǎn)在像素坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值，最后由坐標(biāo)平移求出各個(gè)橢圓中心在圖像坐標(biāo)系的的坐標(biāo)值。位置如圖5圖5 圖像坐標(biāo)系下各個(gè)點(diǎn)位置圖模型的建立建立兩個(gè)模型，模型一中用到最小二乘法來(lái)擬合橢圓函數(shù)，將得到的擬合函數(shù)的參數(shù)，用式（2）、（3）轉(zhuǎn)換得到題中要求坐標(biāo)系情況下橢圓圓心坐標(biāo)。在選取點(diǎn)擬合過程中，考慮對(duì)精度的要求，給出在精度要求不高情況下，用網(wǎng)格取點(diǎn)法和高精度要求中的計(jì)算機(jī)像素取點(diǎn)法兩個(gè)算法；模型二中根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)橢圓對(duì)稱性，用matlab軟件中圖像處理庫(kù)函數(shù)建立模型，提高運(yùn)行速度。模型一橢圓最

15、小二乘法擬合最小二乘法橢圓擬合是較常用的橢圓擬合方法。最小二乘法是在隨機(jī)誤差為正態(tài)分布時(shí)，由最大似然法推出的一個(gè)最優(yōu)估計(jì)技術(shù)， 它可使測(cè)量誤差的平方和最小， 因此也被視為從一組測(cè)量值中求出一組未知量的最可信賴的方法之一. 最小二乘技術(shù)主要是尋找參數(shù)集合，從而最小化數(shù)據(jù)點(diǎn)與橢圓之間的距離度量. 這里的距離度量常見的有幾何距離和代數(shù)距離。幾何距離表示某點(diǎn)到曲線最近點(diǎn)的距離。平面內(nèi)某點(diǎn)到方程所代表曲線的代數(shù)距離就是。以下是以代數(shù)距離作為距離度量介紹最小二乘法。假設(shè)一般形式的橢圓方程如式(1)所示， 為了避免零解，并將解的任何整數(shù)倍都視為對(duì)同一橢圓的表述，對(duì)參數(shù)做一些限制，約束條件設(shè)。顯然，直接應(yīng)用上

16、述方程對(duì)邊緣檢測(cè)后的離散點(diǎn)進(jìn)行最小二乘處理， 就可以得到方程中的各系數(shù)，也即，求目標(biāo)函數(shù) （7）的最小值來(lái)確定各系數(shù)。再由極值原理，欲值為最小，必有 （8） 我們用matlab 6.0編程并用消元法求解上述線性方程組，最終求得方程系數(shù)的值。模型二 直線逼近模型每個(gè)橢圓用兩條水平直線和兩條豎直直線逼近橢圓，使得四條直線與橢圓相切，得出每個(gè)橢圓水平、豎直邊界點(diǎn)。Imread函數(shù)對(duì)處理的函數(shù)有特定的要求，在用imread函數(shù)調(diào)用圖片之前，先用photoshop軟件將圖3圖片格式轉(zhuǎn)換為tiff格式并無(wú)任何壓縮限制，然后用imread函數(shù)取得圖片中橢圓區(qū)域。再在圖中劃分出每個(gè)橢圓的邊界，如圖6。圖6 橢

17、圓邊界劃分對(duì)每個(gè)區(qū)域用imread函數(shù)取得的圖片數(shù)據(jù)中，分區(qū)域0HFJ,HIGF,ILKG,DKQN,JEMP在每個(gè)區(qū)域用水平線和豎直線去與橢圓相切，可以求出相切交點(diǎn)的坐標(biāo)（以橢圓D為例）如圖7。圖7 橢圓D相切交點(diǎn)位置其中由橢圓對(duì)稱性可知，直線與直線交于一點(diǎn)且過橢圓中心，則橢圓中心可以用坐標(biāo)表示，得到如下數(shù)學(xué)模型（在圖像坐標(biāo)系下）： （10）模型的求解模型一的求解模型中首先要解決的問題是得到六個(gè)點(diǎn)，用這六個(gè)點(diǎn)來(lái)算出等式（7）中參數(shù)六個(gè)點(diǎn)的值。對(duì)于選取這六個(gè)點(diǎn)，給出一下兩個(gè)算法；1) 網(wǎng)格紙選點(diǎn)算法用一個(gè)網(wǎng)格紙放在圖形上面，建立一個(gè)坐標(biāo)系，確定每一個(gè)網(wǎng)格對(duì)應(yīng)像素，再取網(wǎng)格頂點(diǎn)正好落在每個(gè)橢圓邊

18、界處，當(dāng)取不到足夠的點(diǎn)時(shí)，可以移動(dòng)網(wǎng)格紙位置，使得足夠多的點(diǎn)落在網(wǎng)格頂點(diǎn)，如圖8所示圖8 網(wǎng)格紙及點(diǎn)選取算法具體實(shí)現(xiàn)步驟：Step1放置網(wǎng)格紙，使盡可能多的網(wǎng)格頂點(diǎn)落在橢圓邊緣Step2根據(jù)相機(jī)分辨率，設(shè)置網(wǎng)格坐標(biāo)刻度Step3選取6個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值Step4代入式（8）中，得到關(guān)于系數(shù)的線性方程組Step5用消元法求得每個(gè)橢圓對(duì)應(yīng)的值Step6通過式（2），（3）求出每個(gè)橢圓圓心在下的坐標(biāo)值Step7坐標(biāo)變換，得到在像素坐標(biāo)系下橢圓圓心坐標(biāo)值2）matlab軟件函數(shù)取點(diǎn)算法用photoshop軟件將圖3格式轉(zhuǎn)換為tiff格式，用matlab圖形工具箱中的imread函數(shù)取得圖片中橢圓區(qū)域，再在圖

19、片區(qū)域找出橢圓邊界上6個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值，用消元法求出最終結(jié)果 算法實(shí)現(xiàn)步驟：Step1用photoshop軟件將圖3格式轉(zhuǎn)為tiff格式并無(wú)需任何壓縮Step2用imread函數(shù)調(diào)用轉(zhuǎn)換后圖片Step3從得到的圖片信息中提取出每個(gè)橢圓邊界點(diǎn)（代碼見附錄1）Step4從每個(gè)橢圓邊界點(diǎn)中取出6個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值（代碼見附錄2）Step5用matlab軟件求出式（3）的方程組形式，并用消元法求得系數(shù)值Step6通過式（2），（3）和坐標(biāo)變換，最終得到在像素坐標(biāo)系下橢圓圓心坐標(biāo)值注：消元法是以函數(shù)形式給出，代碼見附錄3模型二的求解在imread圖像數(shù)據(jù)中，可以直接得到的值，代入式（10）便得到橢圓D的圓心在圖像

20、坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。相繼也可以求出靶標(biāo)上其他橢圓圓心在圖像坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值。算法具體實(shí)現(xiàn)步驟：Step1用photoshop軟件將圖3格式轉(zhuǎn)為tiff格式并無(wú)需任何壓縮Step2用imread函數(shù)調(diào)用轉(zhuǎn)換后圖片Step3將圖片按橢圓位置分塊Step4在每一塊中用matlab找出橢圓水平和豎直方向最大值和最小值Step5用式（10）求出每個(gè)橢圓中心在圖2坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值Step6坐標(biāo)變換，最終得到在像素坐標(biāo)系下橢圓圓心坐標(biāo)值 模型的評(píng)價(jià)對(duì)于模型一，首先在圖像坐標(biāo)系中對(duì)圖像進(jìn)行圖像網(wǎng)格處理，得到每個(gè)橢圓上的一些點(diǎn)的坐標(biāo)值；然后根據(jù)橢圓的表達(dá)式，用最小二乘法求出每個(gè)橢圓中心在圖像坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值。給

21、出取點(diǎn)的兩種方法：網(wǎng)格取點(diǎn)與計(jì)算機(jī)函數(shù)取點(diǎn)。其中網(wǎng)格取點(diǎn)算法可用于對(duì)結(jié)果精度要求不高，或是沒有高清晰攝像設(shè)備的情況下，在實(shí)際中，這種取點(diǎn)方法能方便快速的得到一些基本的數(shù)據(jù)，給生產(chǎn)工作帶來(lái)便利，是一種輔助其他算法的工具，也可以對(duì)其他的算法結(jié)果正確性做簡(jiǎn)單的分析，但這種方法由于精度不高，誤差大；計(jì)算機(jī)取點(diǎn)算法能精確的取到圖片要求區(qū)域的邊界坐標(biāo)值，能用取到的精確坐標(biāo)值進(jìn)行最小二乘法擬合，利用這種取點(diǎn)算法得到的解精度很高，且當(dāng)圖形有略微畸變時(shí)，可以避開畸變區(qū)域點(diǎn)的選取，最終得到理想的結(jié)果，但這種方法需要高清晰度取像設(shè)備，不宜在室外作業(yè)，可以在實(shí)驗(yàn)室的條件下做實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析。對(duì)于模型二，解決問題的前提是利

22、用橢圓的對(duì)稱性，快速的得到橢圓上四個(gè)極值點(diǎn)的位置，再結(jié)合幾何圖形知識(shí)得出最終的結(jié)果，在處理具有對(duì)稱性的圖形時(shí)，能非?？焖俚牡玫骄_解，并且在程序執(zhí)行過程中花去的代價(jià)很低，但當(dāng)圖形有稍微的畸變，就容易產(chǎn)生很大的誤差。模型一和模型二都有各自的適用范圍，可以根據(jù)不同的情況需求選擇不同的模型或算法來(lái)解決問題，也可以將不同的模型或算法結(jié)合起來(lái)解決待解決的問題。3.2 問題二的解答由于問題二中給出了具體的數(shù)值且問題模型并沒有改變，顯然問題二的求解必須是要在問題一模型下進(jìn)行，所以只需將具體的數(shù)值代入問題一的模型即可。利用matlab6.0的強(qiáng)大數(shù)值計(jì)算能力，我們求得了如下解。利用模型一中網(wǎng)格取點(diǎn)算法求解這里

23、只考慮用網(wǎng)格選點(diǎn)法，得到從圖3中取得的點(diǎn)的坐標(biāo)如下表1表1 圖像坐標(biāo)系取點(diǎn)坐標(biāo)值橢圓x(mm)y(mm)A 190.204439.6019275.170344.5522375.170354.4526490.204459.4029595.215744.5522695.215754.4526B1105.238444.55222120.272544.55223105.238459.40294110.249861.87805122.778249.50246117.766859.4029C1160.363354.45262160.363359.40293177.903149.50244175.39744

24、7.02735165.374747.02736177.903159.4029D1150.3406123.75602145.3293133.65653160.3633123.75604162.8690133.65655160.3633136.13166152.8463123.7560E165.1476133.6565270.1590123.7560375.1703141.0818480.1817138.6067585.1930128.7062682.6873123.7560在matlab6.0中擬合出每個(gè)橢圓方程的參數(shù)值，見表2表2 每個(gè)橢圓代數(shù)形式參數(shù)的擬合值 橢圓擬合 系數(shù)坐標(biāo)中的點(diǎn)A-1.

25、3953-0.3494-99.0371158.7387-0.7314B-1.3677-1.8741-159.2396353.1355-0.5491C-2.1063-3.0887-221.2915686.4699-0.4062D0.2270 1.7202-337.1185405.6205-0.0189E-0.0150 0.2950-148.024181.2751-0.0887由表2擬合的每個(gè)橢圓方程的參數(shù)值代入（2）（3），得到各橢圓圓心在圖像坐標(biāo)系下的坐標(biāo)如下：表3 圖像坐標(biāo)系下擬合各個(gè)橢圓中心坐標(biāo)橢圓(mm)ABCDEX86.9180113.2818167.5217154.027575.03

26、27Y56.609552.148053.0060132.0610137.8438表3得到的是在圖像坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，如圖2，圖片中心相對(duì)左上角的坐標(biāo)為（135.3066，101.4799）(單位為毫米)進(jìn)行坐標(biāo)變換，用圖像坐標(biāo)系下的各個(gè)點(diǎn)X坐標(biāo)值值減去135.4497（mm），得到在像素坐標(biāo)系下各個(gè)點(diǎn)的x值，用101.5873減去在下的各個(gè)點(diǎn)Y坐標(biāo)值，得到在像素坐標(biāo)系下各個(gè)點(diǎn)的y值，如表4表4 在像素坐標(biāo)系下各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值（mm）A(mm)B(mm)C(mm)D(mm)E(mm)x-22.024832.215118.7209-60.2739y49.331946.4739-30.5811-32.3

27、639利用模型一中計(jì)算機(jī)函數(shù)取點(diǎn)算法求解用函數(shù)在每個(gè)橢圓上取出六個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)值如表5表5 各點(diǎn)取值x（像素）y（像素）橢圓A128320223641823310229434215353262306284206橢圓B138419223842093461206445422054302356462202橢圓C160623026431763652176460623256232486675202橢圓D157147526064753612515458247155624816585534橢圓E160422026062043607233460522956042146669232在matlab6.0中擬合出每個(gè)橢圓

28、方程的參數(shù)值，見表6表6 每個(gè)橢圓代數(shù)形式參數(shù)的擬合值 橢圓擬合 系數(shù)坐標(biāo)中的點(diǎn)A-2.04070.8922-243.6945340.9528-1.0293B-1.8508-0.2235-470.2341920.9710-2.2089C-0.00330.0010-0.56661.6739-0.0003D-1.0074-0.2193-684.4368815.3615-0.1040E-0.00300.0004-0.57781.6644-0.0011618以一個(gè)單位像素作為刻度，圖3中的圖像可以劃分為個(gè)單元格，用matlab庫(kù)函數(shù)中的imread函數(shù)來(lái)取得每個(gè)單元格的值，再用問題一中的算法可以取得每

29、個(gè)橢圓心坐標(biāo)值，最后轉(zhuǎn)換到以光學(xué)中心為原點(diǎn)的坐標(biāo)值，見表7表7 圖像坐標(biāo)系下各橢圓圓心坐標(biāo)值A(chǔ)(mm)B(mm)C(mm)D(mm)E(mm)x-50.0000-23.544933.862518.7831-60.1851y51.455049.603245.1058-31.4815-31.21693.2.3利用模型二求解將圖片轉(zhuǎn)換為tiff圖片格式，用取色器在轉(zhuǎn)換后圖片上找出橢圓邊界點(diǎn)的RGB值，可以得到表8值表8 tiff格式圖片上RGB值RGB橢圓邊界內(nèi)和橢圓上可取值1515151241414133434344282828522222261212127444橢圓邊界和邊界外可取值123423

30、42342227227227322122122142152152155204204204在表8中，橢圓內(nèi)部的RGB值都為，橢圓外部的RGB值都為，其他的值都分布在橢圓邊界附近。以一個(gè)單位像素作為刻度，圖3中的圖像可以劃分為個(gè)單元格，用matlab庫(kù)函數(shù)中的imread函數(shù)來(lái)取得每個(gè)單元格的值，再用問題一中的算法可以取得每個(gè)橢圓心坐標(biāo)值，最后轉(zhuǎn)換到以光學(xué)中心為原點(diǎn)的坐標(biāo)值（代碼見附錄5），見表9表9 光心坐標(biāo)系下各橢圓圓心坐標(biāo)值A(chǔ)BCDEx-50.0000-23.544933.862518.7831-60.1851y51.455049.603245.1058-31.4815-31.21693.3

31、 問題三的解答直接最小二乘法并未考慮各樣本點(diǎn)誤差的差異，它假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是零均值的，且有共同的協(xié)方差陣，這與實(shí)際情況不符，因而導(dǎo)致參數(shù)的有偏估計(jì)，算法結(jié)果往往并不令人滿意?；谶@種考慮，我們研究了一種改進(jìn)的橢圓擬合的算法。這個(gè)算法主要是用來(lái)解決在取得的圖像中有畸變的情況。3.3.1算法建立隨機(jī)方法抽取基于最小二乘法和隨機(jī)原理， 可得到一種具有較高抗干擾能力的橢圓擬合算法。算法原理如下：1) 在所有樣本點(diǎn)(已編號(hào))中隨機(jī)選取6個(gè)樣本點(diǎn)；2) 利用最小二乘法求解橢圓參數(shù)；3) 遍歷所有樣本點(diǎn)，求取各個(gè)點(diǎn)到已得到的橢圓之間的距離，最小二乘技術(shù)主要是尋找參數(shù)集合,從而最小化數(shù)據(jù)點(diǎn)與橢圓之間的距離度量。這

32、里的距離度量常見的有幾何距離和代數(shù)距離。如果小于某個(gè)自己定義點(diǎn)閾值，則稱該樣本點(diǎn)為匹配點(diǎn)，在數(shù)組a記錄該樣本點(diǎn)的編號(hào)，遍歷完畢求取對(duì)于該擬合橢圓的匹配點(diǎn)的總個(gè)數(shù)b；4) 比較匹配點(diǎn)總個(gè)數(shù)c與匹配點(diǎn)最大值d ，當(dāng)前者大于后者，將橢圓參數(shù)和記錄匹配點(diǎn)編號(hào)的數(shù)組M保存下來(lái)，分別拷貝至數(shù)組p和數(shù)組q，最后將b賦值給d；5) 循環(huán)執(zhí)行步驟1) 步驟4)一定次數(shù)(根據(jù)運(yùn)行時(shí)間、需要結(jié)果的準(zhǔn)確度以及樣本點(diǎn)總個(gè)數(shù)適當(dāng)定義) ，最后在p保存了最優(yōu)橢圓參數(shù)，在數(shù)組q保存了在所有樣本點(diǎn)中匹配點(diǎn)的編號(hào)，也就相應(yīng)的可以得到不匹配點(diǎn)的編號(hào)。算法說(shuō)明算法第1)步中隨機(jī)選取6個(gè)點(diǎn)擬合橢圓，之所以選取6個(gè)點(diǎn)是因?yàn)樵陔x散數(shù)據(jù)中，

33、 往往5個(gè)點(diǎn)不能得到一個(gè)橢圓，本文選取6個(gè)點(diǎn)，用基于代數(shù)距離的最小二乘法擬合橢圓。之所以隨機(jī)選取樣本點(diǎn)進(jìn)行橢圓擬合是考慮到算法的實(shí)時(shí)性和準(zhǔn)確性。 如果考慮所有的可能性，譬如總樣本空間有300個(gè)點(diǎn)，選取6 個(gè)不同的樣本點(diǎn)一共有種可能，遍歷所有可能性在時(shí)間上是不允許的，而且也不必要。要加速計(jì)算，只需選擇其中的一部分子集。在樣本性質(zhì)并不清楚的情況下，使用隨機(jī)方法抽取是一個(gè)很好的選擇。算法流程圖如圖9所示。（代碼見附錄6）開始在所有樣本點(diǎn)E隨機(jī)選取6個(gè)點(diǎn)循環(huán)次數(shù)是否已到利用最小二乘法求解橢圓參數(shù)遍歷所有樣本點(diǎn)判斷點(diǎn)到橢圓的距離是否符合要求得到num_inliers 和 inliers_indexbes

34、t_elipse_par=橢圓參數(shù)max_inliers_index=inliers_indexmax_inliers=num_inliers結(jié)束num_inliersmax_inliers是否否是圖9 算法流程圖算法對(duì)問題一模型的檢驗(yàn)現(xiàn)取題二中的橢圓A作為分析對(duì)象(取點(diǎn)代碼見附錄7)，樣本總體上有233個(gè)樣本點(diǎn)，則有227個(gè)樣本點(diǎn)來(lái)計(jì)算點(diǎn)到擬合橢圓的距離，遍歷100次。為得到精確的結(jié)果，閾值應(yīng)越小越好，又因?yàn)閱栴}二中的圖片上橢圓比較多標(biāo)準(zhǔn)，閾值在這里取為2個(gè)像素單位，在matlab中運(yùn)行代碼，對(duì)數(shù)值進(jìn)行遍歷，最終得到p中保存的最優(yōu)橢圓參數(shù)，見表10表10 p中保存的最優(yōu)橢圓參數(shù)BCDEF 數(shù)

35、值-2.54000.9736-204.7289418.6218-6.2642將得到的數(shù)值A(chǔ)BCDEx-50.0000-23.544933.862518.7831-60.1851y51.455049.603245.1058-31.4815-31.2169通過與問題二的數(shù)值比較發(fā)現(xiàn)，問題一的假設(shè)是合理的，且用問題一種建立的模型，對(duì)比較標(biāo)準(zhǔn)的圖形可以得到很精確的算法評(píng)價(jià)在直接最小二乘法的情形中，并沒有考慮到畸變給結(jié)果帶來(lái)的誤差。當(dāng)給定圖片存在肉眼看不見的畸變或雜質(zhì)點(diǎn)，如果用直接最小二乘法可能會(huì)產(chǎn)生比較小的，或者是不易察覺的誤差，分析但這些誤差可能會(huì)在生產(chǎn)工作中慢慢的積累，最終可能產(chǎn)生破壞性的影響。例

36、如在眼睛治療中，需要對(duì)眼膜有非常高的精度要求，隨機(jī)化方法可以很好的消除因設(shè)備、雜質(zhì)點(diǎn)等帶來(lái)的誤差隨機(jī)化算法是通過一定量的遍歷來(lái)消除畸變、雜質(zhì)點(diǎn)等影響，得到想要的到的結(jié)果，有時(shí)這種算法能達(dá)到亞像素精度。算法精度檢驗(yàn)1)精度概念分析當(dāng)給定一個(gè)誤差范圍，通過擬合值與真實(shí)值之間的比較，得到誤差平法和、方差等統(tǒng)計(jì)量來(lái)對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)2) 檢驗(yàn)方法描述a) 給定一個(gè)圖形，并知道圖形所有點(diǎn)坐標(biāo)值、參數(shù)值等；b) 取到每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值，并儲(chǔ)存；c) 對(duì)每一個(gè)圖形上的點(diǎn)用matlab中normrnd函數(shù)生成正態(tài)（高斯）分布的隨機(jī)數(shù)，將這個(gè)隨機(jī)數(shù)加到圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)中，從而得到一個(gè)和原圖形有偏差的新圖形；d) 以新圖形上的

37、點(diǎn)坐標(biāo)作為已知值，用隨機(jī)化算法找到最接近原圖形的參數(shù)值e) 用新得到的參數(shù)值與已知參數(shù)值做統(tǒng)計(jì)量比較，檢驗(yàn)隨機(jī)化算法擬合精度。3) 檢驗(yàn)實(shí)例假設(shè)a,b值擬合誤差超過1%，認(rèn)為算法不合格，否則，證明此算法在擬合方面有很高的精度a) 給定一標(biāo)準(zhǔn)橢圓，中點(diǎn)在原點(diǎn)，a=50,b=30；b) 取到每個(gè)點(diǎn)的值，以1為一個(gè)單位，總共有200個(gè)點(diǎn)x(i),y(i)(i=1,2,200)；c) 用normrnd（0，0.1）生成400個(gè)白噪聲數(shù)值nx(i,1),ny(i,2) (i=1,2,200)，組成一個(gè)白噪聲序列，每?jī)蓚€(gè)用來(lái)控制一個(gè)點(diǎn)在x軸和y軸上移動(dòng)的值;將對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在白噪聲nx,ny的影響下產(chǎn)生新的位置

38、值x1(i),y1(i);d) 將數(shù)據(jù)x1(i),y1(i)用隨機(jī)化算法，來(lái)求得a1,b1的值；e) 對(duì)擬合值a1,b1進(jìn)行誤差分析其中將(x1(i),y1(i)點(diǎn)和原橢圓畫在一個(gè)圖中，如圖10圖10 隨機(jī)產(chǎn)生點(diǎn)與原橢圓用隨機(jī)化算法計(jì)算得a1,b1值分別為50.1205，29.8781重新生成白噪聲序列，再重復(fù)進(jìn)行多次的擬合，最終得到表11中數(shù)據(jù)（代碼見附錄8）表11 擬合值12345678910a150.120549.999850.000050.200149.973149.739150.031749.690250.100049.8973b129.878129.917330.010430.21

39、7830.078930.108330.110530.115730.030630.0338分別計(jì)算出a1,b1樣本均值有 a1,b1的樣本方差 計(jì)算每組數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差如表12表12 相對(duì)誤差12345678910a10.0024 0.0000 0.00000 0.0040 0.0005 0.00520.0006 0.0062 0.0020 0.0021 b10.0041 0.0028 0.0003 0.0073 0.0026 0.0036 0.0037 0.00390.0010 0.0011從先對(duì)誤差表中可得a1最大誤差為0.4%，b1最大誤差為0.73%，都沒超過1%，證明此算法有很高的精度。

40、由于產(chǎn)生隨機(jī)序列的值可能取到很大，則會(huì)出現(xiàn)較大奇異點(diǎn)，使得在其他模型的求解過程中產(chǎn)生很大的誤差，而隨機(jī)化算法可以把這些有較大奇異點(diǎn)的地方，通過篩選把奇異點(diǎn)排除在正確解的范圍內(nèi)。能夠有效地處理包含有較大比例誤差點(diǎn)的樣本空間，擬合出具有高精度的橢圓，并且算法的速度能夠滿足實(shí)時(shí)性的要求。算法穩(wěn)定性檢驗(yàn)1) 穩(wěn)定性概念分析在一組影響變量a的因素中，當(dāng)某一個(gè)因素發(fā)生一個(gè)小的變化，會(huì)使得變量發(fā)生很大的變化，則變量不穩(wěn)定，如果在一定的范圍內(nèi)，影響因素的變化不能影響變量發(fā)生很大的變化，則這個(gè)變量是穩(wěn)定的。在隨機(jī)化算法中，主要解決的問題是通過循環(huán)排除畸變或奇異點(diǎn)等等影響，如果模型中出現(xiàn)較大的畸變或出現(xiàn)大的奇異點(diǎn)

41、，而隨機(jī)化算法依然能得到擬合效果很好的擬合情況。否則認(rèn)為隨機(jī)化算法穩(wěn)定性不夠。2) 檢驗(yàn)方法描述1) 給定一個(gè)圖形，并指導(dǎo)圖形在坐標(biāo)系下的所有情況和圖形本身參數(shù)值；2) 給圖形制造一定范圍的畸變或者奇異點(diǎn)；3) 用新圖形的坐標(biāo)值擬合求解圖形的參數(shù)值；4) 進(jìn)行參數(shù)檢驗(yàn)，確定隨機(jī)算法是否具有較高的穩(wěn)定性3) 檢驗(yàn)實(shí)例假設(shè)c,d值擬合誤差超過5%，認(rèn)為算法不合格，否則，證明此算法在擬合方面有很高的精度a) 給定一標(biāo)準(zhǔn)橢圓，中點(diǎn)在原點(diǎn)，c=50,d=30；b) 取到每個(gè)點(diǎn)的值，以1為一個(gè)單位，總共有200個(gè)點(diǎn)x(i),y(i)(i=1,2,200)；c) 從y=40出小區(qū)圖形右邊部分，用normrn

42、d（0，0.1）生成400個(gè)白噪聲數(shù)值nx(i,1),ny(i,2) (i=1,2,200)，組成一個(gè)白噪聲序列，每?jī)蓚€(gè)用來(lái)控制一個(gè)點(diǎn)在x軸和y軸上移動(dòng)的值;將對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在白噪聲nx,ny的影響下產(chǎn)生新的位置值x1(i),y1(i);d) 將數(shù)據(jù)x1(i),y1(i)用隨機(jī)化算法，來(lái)求得c1,d1的值；e) 對(duì)擬合值a1,b1進(jìn)行誤差分析用隨機(jī)化算法計(jì)算，遍歷100次，得a1,b1值分別為48.1205，29.5781重新生成白噪聲序列，再重復(fù)進(jìn)行多次的擬合，最終得到表13中數(shù)據(jù)表13 擬合值12345678910c147.920148.299848.000049.100148.773148.8

43、37148.233747.890248.104047.8633d128.878129.735630.710429.217829.578930.207331.110530.214731.041631.0778分別計(jì)算出c1,d1樣本均值有 a1,b1的樣本方差 計(jì)算每組數(shù)據(jù)的相對(duì)誤差如表14表14 相對(duì)誤差12345678910a10.0024 0.0000 0.00000 0.0040 0.0005 0.00520.0006 0.0062 0.0020 0.0021 b10.03740.0088 0.0237 0.0261 0.0140 0.0069 0.0370 0.0072 0.03470

44、.0359從先對(duì)誤差表中可得a1最大誤差為1.8%，b1最大誤差為3.7%，都為超過5%，證明此算法有很好的穩(wěn)定性。在較大比例誤差點(diǎn)的樣本空間并不會(huì)給最終的解的值帶來(lái)很大的誤差，依然能保持解的穩(wěn)定性。模型穩(wěn)定性很高。算法評(píng)價(jià)通過以上驗(yàn)證了算法能夠有效地處理包含有較大比例誤差點(diǎn)的樣本空間，擬合出具有高精度的橢圓，并且算法的速度能夠滿足實(shí)時(shí)性的要求。能夠有效地處理包含有較大比例誤差點(diǎn)的樣本空間，擬合出具有高精度的橢圓，并且算法的速度能夠滿足實(shí)時(shí)性的要求。能很好的將引起較大誤差的點(diǎn)排除，并尋找最優(yōu)解或者近優(yōu)解，將誤差控制在很小的范圍內(nèi)。3.4問題四的模型幾何模型基本假設(shè)設(shè)兩部相機(jī)的焦距相等，各內(nèi)部參

45、數(shù)也相同兩部數(shù)碼相機(jī)的坐標(biāo)平面是選在光心坐標(biāo)平面不考慮相機(jī)透鏡的畸變，采用較好的光學(xué)鏡頭符號(hào)說(shuō)明世界坐標(biāo)系中一空間點(diǎn)的坐標(biāo)光心坐標(biāo)系中一空間點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)圖像坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)圖像坐標(biāo)系原點(diǎn)在像素坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是像素坐標(biāo)系在方向和方向相鄰像素間的距離拍攝相機(jī)的焦距旋轉(zhuǎn)矩陣位移向量模型的建立如圖11所示,將物體所在的空間設(shè)定為世界坐標(biāo)系,而相機(jī)拍攝的圖像是電荷藕合器件CCD面轉(zhuǎn)化的,所以,可以認(rèn)為CCD平面為圖像平面,定義圖像平面為像素坐標(biāo)系,坐標(biāo)原點(diǎn)在CCD圖像平面的左上角,u、v軸平行于CCD平面的兩邊,用表示,該坐標(biāo)值為整數(shù)值.圖11數(shù)碼相機(jī)成像坐標(biāo)系相機(jī)拍攝的原理是將坐標(biāo)系中的物體轉(zhuǎn)化成

46、像素坐標(biāo)系中的圖像,轉(zhuǎn)換過程可以通過建立兩個(gè)中間坐標(biāo)系來(lái)實(shí)現(xiàn). 3個(gè)步驟是分別將世界坐標(biāo)系中的信息轉(zhuǎn)換到光心坐標(biāo)系，再由光心坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到圖像坐標(biāo)系，最后由圖像坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到像素坐標(biāo)系。 （11） 其中是光心坐標(biāo)系中一空間點(diǎn)P的坐標(biāo)，是對(duì)應(yīng)圖像坐標(biāo)系中P點(diǎn)的坐標(biāo)，f是拍攝相機(jī)的焦距。由世界坐標(biāo)系到光心坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 （12）其中，R為旋轉(zhuǎn)矩陣，t為位移向量，元素為0的列向量。由圖像坐標(biāo)系到像素坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 （13）其中，是圖像坐標(biāo)系原點(diǎn)在像素坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，分別是像素坐標(biāo)系在X方向和Y方向相鄰像素間的距離。將式（11），（12）代人式（13）我們得到如下模型： （14）可將式（14）簡(jiǎn)化

47、，得到最終模型為： （15）為式(4)右邊第1項(xiàng)即相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)矩陣，為式(14)右邊第2項(xiàng)即相機(jī)的外部參數(shù)，為投影矩陣。3.4.4模型的求解上述是針孔模型下的成像系統(tǒng)的基本標(biāo)定原理，相機(jī)的內(nèi)、外參數(shù)都作為未知內(nèi)容進(jìn)行求解和標(biāo)定的。在利用數(shù)碼相機(jī)進(jìn)行采集圖像時(shí)，可以通過多種途徑求解出數(shù)碼相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)，然后再根據(jù)逆向投影的方法來(lái)求解旋轉(zhuǎn)矩陣和位移向量?？蓪⑹?15)改寫成 （1） 從式(6)可見內(nèi)部參數(shù)矩陣為滿秩矩陣，令: ，用左乘式(16)兩邊并整理得 (17)令并可以進(jìn)一步將式（17）改寫成 (18)其中，是世界坐標(biāo)系中的第點(diǎn)坐標(biāo)，是由對(duì)應(yīng)點(diǎn)的圖像像素坐標(biāo)的計(jì)算值。將其展開可得到如下3個(gè)方程 (19)將式(19)中的第3式分別代入上兩式消去。可得到如下兩個(gè)方程 (20)若在世界坐標(biāo)系中取個(gè)點(diǎn)，將會(huì)產(chǎn)生個(gè)方程，用矩陣形式寫出這些方程(21)從式(21)可見，若已知世界坐標(biāo)中個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)也知道各對(duì)應(yīng)點(diǎn)在像素坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，將式(14)兩邊同除以或取不影響方程的求解。式(21)可簡(jiǎn)寫成 (22)其中，分別為式(21)等號(hào)左側(cè)向量和右側(cè)向量除以后的向量，可用最小二乘求解上述線性方程組，其解為 (23)則數(shù)碼相機(jī)的外部參數(shù)矩陣與其有如下