數(shù)學分析反常積分自測題解答

1、數(shù)學分析第十二章反常積分自測題解答一、判斷題 (每小題2分,共12分)( )1. 若無窮積分收斂, 則無窮積分也收斂.( × )2. .( )3. 無窮積分發(fā)散.( × )4. 設(shè)是非負函數(shù)的瑕點,且,則瑕積分收斂.( )5在收斂的條件下，可能發(fā)散. ( × )6. 若無窮積分收斂，則無窮積分也收斂.注：2. 當時，0是被積函數(shù)的瑕點，且瑕積分發(fā)散.4. 當是的瑕點時,判別瑕積分的斂散性要考慮極限.二、選擇題 (每小題2分, 共10分).下列結(jié)論或運算正確的是（ C ）.A. B. 由于是奇函數(shù),故.C. D. 由于是偶函數(shù),故.注：無窮積分 ，均發(fā)散；而，.收斂

2、是與都收斂的( A ).A.充要條件B.必要條件C.充分條件D.無關(guān)條件.下列廣義積分中發(fā)散的是( D ).A. B. C. D. 4. ( D ).A. B. C. D. 不存在5. ( B ).A. B. C. D. 不存在注:.三、填空題 (每小題2分,共10分)1. 是函數(shù)的瑕點在點的任意鄰域無界.2. 無窮積分發(fā)散,與之一發(fā)散. 3. 瑕積分 當 滿足時收斂.4. 當時, 無窮積分發(fā)散.5. 無窮積分 當 滿足時條件收斂, 當 滿足時絕對收斂.四、求下列反常積分(每小題5分,共30分)1. .解: 由定義 , 故 .2. .解: .3 .解: ,故.4.解: 是被積函數(shù)的瑕點,分別考

3、慮瑕積分與,有,故.5. .解: 是被積函數(shù)的瑕點,有 .6. .解: 是被積函數(shù)的瑕點,有.五、判斷下列反常積分的斂散性(每小題5分,共30分)1. 解: 是被積函數(shù)的瑕點. 由 ,有,故瑕積分收斂.2.解: 是被積函數(shù)的瑕點.由于不存在，故瑕積分發(fā)散,從而瑕積分發(fā)散.3. 解: 由,有,故無窮積分收斂.注:由于,故不是的瑕點. 補充定義,則被積函數(shù)在區(qū)間連續(xù).4. .解:是被積函數(shù)的瑕點, 分別考慮瑕積分與無窮積分, 由 , 有, , 故瑕積分收斂；由, 有, , 故無窮積分收斂. 綜上, 反常積分收斂.5. . 解: 是被積函數(shù)()的瑕點，分別考慮瑕積分與無窮積分.（）由 ,即有,于是，

4、當時,瑕積分發(fā)散；當時,瑕積分收斂.（）由, 有,于是，無窮積分收斂.綜上, 反常積分當時收斂， 當時發(fā)散6. .解: 是被積函數(shù)()的瑕點，分別考慮瑕積分與無窮積分.（）由 ,即有,于是，瑕積分當時發(fā)散；當時收斂.（）, 于是，無窮積分當時發(fā)散；當時收斂.綜上, 反常積分發(fā)散六、證明:反常積分 （1）當時條件收斂(注:此時0不是被積函數(shù)的瑕點)；（2）當時絕對收斂； （3）當時發(fā)散. (8分)證：(1) 當時, 由,知不是被積函數(shù)的瑕點，所以為無窮積分首先，證明無窮積分收斂取，有）在區(qū)間單調(diào)減少且；），即有界由狄利克雷判別法，無窮積分收斂，從而無窮積分收斂其次，證明無窮積分發(fā)散已知，有，從而無窮積分收斂，但無窮積分發(fā)散，故無窮積分發(fā)散，從而無窮積分發(fā)散于是，當時，無窮積分條件收斂（）（） 當時, 由,知是被積函數(shù)的瑕點,所以要分別考慮無窮積分與瑕積分.由于, 已知無窮積分收斂(),故