數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與典型例題復(fù)習(xí)向量

1、第五章平面向量平面向量相關(guān)知識(shí)關(guān)系表向量的概念及運(yùn)算一、向量的有關(guān)概念1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用來(lái)表示向量的有向線段的長(zhǎng)度).2.向量的表示方法:字母表示法:如等.幾何表示法:用一條有向線段表示向量.如,等.坐標(biāo)表示法:在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)向量的起點(diǎn)O為在坐標(biāo)原點(diǎn),終點(diǎn)A坐標(biāo)為,則稱為的坐標(biāo),記為=.注:向量既有代數(shù)特征,又有幾何特征,它是數(shù)形兼?zhèn)涞暮霉ぞ?3.相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.兩向量與相等,記為.注:向量不能比較大小,因?yàn)榉较驔](méi)有大小.4.零向量:長(zhǎng)度為零的向量叫零向量.零向量只有一個(gè),其方

2、向是任意的.5.單位向量:長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.單位向量有無(wú)數(shù)個(gè),每一個(gè)方向都有一個(gè)單位向量.6.共線向量:方向相同或相反的非零向量,叫共線向量.任一組共線向量都可以移到同一直線上.規(guī)定:與任一向量共線.注:共線向量又稱為平行向量.7.相反向量: 長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.二、向量的運(yùn)算(一)運(yùn)算定義向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)量積,這些運(yùn)算的定義都是 “自然的”，它們都有明顯的物理學(xué)的意義及幾何意義. 向量的概念及運(yùn)算其中向量的加減法運(yùn)算結(jié)果仍是向量，兩個(gè)向量數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量。研究這些運(yùn)算,發(fā)現(xiàn)它們有很好地運(yùn)算性質(zhì),這些運(yùn)算性質(zhì)為我們用向量研究問(wèn)題奠定了基礎(chǔ),向量確實(shí)是

3、一個(gè)好工具.特別是向量可以用坐標(biāo)表示,且可以用坐標(biāo)來(lái)運(yùn)算,向量運(yùn)算問(wèn)題可以完全坐標(biāo)化. 刻劃每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號(hào)、坐標(biāo)語(yǔ)言。主要內(nèi)容列表如下：運(yùn) 算圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言坐標(biāo)語(yǔ)言加法與減法+=記=(x1,y1),=(x1,y2)則=(x1+x2,y1+y2)=（x2-x1,y2-y1）+=實(shí)數(shù)與向量的乘積=R記=(x,y)則=(x,y)兩個(gè)向量的數(shù)量積記則·=x1x2+y1y2(二)運(yùn)算律加法：(交換律); (結(jié)合律)實(shí)數(shù)與向量的乘積：; ;兩個(gè)向量的數(shù)量積: ·=· ()·=·()=(·);(+)·=

4、83;+·注：根據(jù)向量運(yùn)算律可知，兩個(gè)向量之間的線性運(yùn)算滿足實(shí)數(shù)多項(xiàng)式乘積的運(yùn)算法則，正確遷移實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以簡(jiǎn)化向量的運(yùn)算，例如(±)2=(三)運(yùn)算性質(zhì)及重要結(jié)論平面向量基本定理:如果是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù),使，稱為的線性組合。其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底;平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線向量的方向分解為兩個(gè)向量的和,并且這種分解是唯一的.這說(shuō)明如果且,那么.當(dāng)基底是兩個(gè)互相垂直的單位向量時(shí),就建立了平面直角坐標(biāo)系,因此平面向量基本定理實(shí)際上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).向量的概念及運(yùn)算向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向

5、量起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)，即若A(x，y)，則=（x,y）；當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即若A（x1,y1），B（x2,y2），則=(x2-x1,y2-y1)兩個(gè)向量平行的充要條件符號(hào)語(yǔ)言：坐標(biāo)語(yǔ)言為：設(shè)非零向量,則(x1,y1)=(x2,y2)，即,或x1y2-x2y1=0, 在這里,實(shí)數(shù)是唯一存在的,當(dāng)與同向時(shí),>0；當(dāng)與異向時(shí),<0。|=,的大小由及的大小確定。因此,當(dāng),確定時(shí)，的符號(hào)與大小就確定了.這就是實(shí)數(shù)乘向量中的幾何意義。兩個(gè)向量垂直的充要條件符號(hào)語(yǔ)言：坐標(biāo)語(yǔ)言：設(shè)非零向量，則兩個(gè)向量數(shù)量積的重要性質(zhì)： 即 (求線段的長(zhǎng)度);(

6、垂直的判斷); (求角度)。以上結(jié)論可以(從向量角度)有效地分析有關(guān)垂直、長(zhǎng)度、角度等問(wèn)題,由此可以看到向量知識(shí)的重要價(jià)值.注:兩向量,的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)(其中),這個(gè)數(shù)的大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角的余弦有關(guān). 叫做向量在方向上的投影（如圖）.數(shù)量積的幾何意義是數(shù)量積等于的模與在方向上的投影的積.如果,則=,這就是平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式.向量的概念及運(yùn)算例1在中，（ ） 例2.平面內(nèi)三點(diǎn),若，則x的值為()(A)-5 (B)-1 (C)1 (D)5向量的概念及運(yùn)算例3. 設(shè)， 是任意的非零平面向量，且相互不共線，則：(·)(·)=0|-|<|(·)(

7、·)不與垂直(3+2)·(32)=9|2- 4|2中，真命題是( )(A) (B) (C) (D)例4. OAB中,=,=,=,若=，tR，則點(diǎn)P在( )(A)AOB平分線所在直線上 (B)線段AB中垂線上(C)AB邊所在直線上 (D)AB邊的中線上例5. 正方形對(duì)角線交點(diǎn)為M，坐標(biāo)原點(diǎn)O不在正方形內(nèi)部，且=（0，3），=（4，0），則=( )(A)（） (B)（） (C)（7，4） (D)（）例6.已知,則實(shí)數(shù)x=_.例7.已知?jiǎng)t_, _,與的夾角的余弦值是_.例8. 已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為求的大小.例9. 已知ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC

8、邊上的高為AD，求點(diǎn)D和向量坐標(biāo)。例10.在OAB的邊OA、OB上分別取點(diǎn)M、N，使|=13，|=14，設(shè)線段AN與BM交于點(diǎn)P，記= ，=，用 ，表示向量.定比分點(diǎn)線段的定比分點(diǎn)1.定義:設(shè)是直線上的兩點(diǎn),點(diǎn)P是上不同于的任意一點(diǎn),則存在一個(gè)實(shí)數(shù)使,叫做點(diǎn)P分有向線段所成的比.(如圖)P在線段上,P為內(nèi)分點(diǎn)時(shí),;P在線段或的延長(zhǎng)線上, P為外分點(diǎn)時(shí),.內(nèi)分取 “+”, 外分取 “一”.2. 定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式:設(shè)、，則： ,特殊地，得中點(diǎn)坐標(biāo)公式：另外，注意一下定比分點(diǎn)的向量公式： O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則. 有時(shí)直接運(yùn)用它來(lái)考慮更簡(jiǎn)便!3. 三角形重心公式及推導(dǎo)（見課本例2）：三角形重心公式：

9、例11.點(diǎn)A(m,n)關(guān)于點(diǎn)B(a,b)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是( )(A)（m，n） (B)（am，bn） (C)（a2m，b2n） (D)（2am，2bn）例12設(shè)，直線AB交軸于C點(diǎn)，則點(diǎn)C分所成的比為（） 平移1.圖形平移：設(shè)F是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)圖形，將F上所有的點(diǎn)按照同一方向移動(dòng)同樣長(zhǎng)度(即按向量平移)，得到圖形F，我們把這一過(guò)程叫做圖形的平移。2.平移公式：點(diǎn)按向量平移到 則（新=舊+移）其中叫做平移向量.3. 設(shè)曲線C：y=f(x)按=（h，k）平移，則平移后曲線對(duì)應(yīng)的解析式為,當(dāng)h，k中有一個(gè)為零時(shí)，就是前面已經(jīng)研究過(guò)的左右及上下平移.注:函數(shù)圖象平移口訣:左加右減,上加下減. 注意這里

10、是指函數(shù)解析式的變化,另外注意順序性.例13.設(shè)向量,則將按平移得到的坐標(biāo)表示為( )(A)(0,1) (B)(4,-11) (C)(7,-5) (D)(3,6)例14.若將曲線C1:平移到C2,使得曲線C1上一點(diǎn)P的坐標(biāo)由(1,0)變?yōu)?2,2),則C2的方程是( )(A)(B)(C)(D)例15. 把函數(shù)的圖象按平移后得到的函數(shù)解析式為_.解三角形解斜三角形：常用的主要結(jié)論有：(1)A+B+C=1800 任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.等邊對(duì)等角:; 大邊對(duì)大角:.底×高=(其中是內(nèi)切圓半徑)(正弦定理)(余弦定理) 解三角形例16.在中,則a等于( )(A) (

11、B) (C) (D)例17.在200米高的山頂上,測(cè)得山下一塔頂與塔底的俯角分別為300,600,則塔高為( )(A)米 (B)米 (C)米 (D)米例18在中，,若這個(gè)三角形有兩解，則的取值范圍是（ ） 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與典型例題(第5章平面向量)答案例1A、例2.C、例3.D、例4.A、例5.A、例6.6、例7.,、例8.例9. 解:(用解方程組思想)設(shè)D（x，y），則=（x-2，y+1）=（-6，-3），·=0,-6(x-2)-3(y+1)=0，即2x+y-3=0=(x-3，y-2)，,-6(y-2)=-3(x-3)，即x-2y+1=0由得：,D（1，1）,=（-1，2）例10.

12、解: B、P、M共線 記=s 同理，記 = ,不共線 由得解之得： 注：從點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為向量共線，進(jìn)而引入?yún)?shù)（如s，t）是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一，利用該定理唯一性的性質(zhì)得到關(guān)于s，t的方程。例11.D、 例12.B、 例13.C 、 例14.A 、 例15.、例16.C、 例17.A 、 例18.C、5、當(dāng)有人說(shuō)你基礎(chǔ)差時(shí)，你就“瘋狂征服它”吧！“瘋狂就是百分之百的投入！忘我、忘物、忘時(shí)！排除一切雜念，克服膽怯，樹立信心！打破傳統(tǒng)，突破極限，淋漓盡致地挑戰(zhàn)自己的潛能！“瘋狂就是以苦為樂(lè)、以苦為甜、苦盡甘來(lái)！”    我堅(jiān)信征服英

13、語(yǔ)的核心秘訣是：聽一百遍錄音的熱心，抄寫一百遍的恒心，自言自語(yǔ)一百遍的癡心。我發(fā)現(xiàn)這樣的熱心、恒心和癡心，可以征服英語(yǔ)，也可以做成任何事情。    我在研究奧運(yùn)冠軍的時(shí)候也發(fā)現(xiàn)，運(yùn)動(dòng)員奪冠的精神，也可以幫運(yùn)動(dòng)員突破新的領(lǐng)域。如果別人認(rèn)為你英語(yǔ)基礎(chǔ)很差，你還不夠聰明，沒(méi)有英語(yǔ)天賦，那你就看一看、想一想國(guó)球世界冠軍鄧亞萍，是怎樣用笨的辦法，征服了英語(yǔ)，征服了世界！    鄧亞萍退役后，開始到奧委會(huì)工作時(shí),連寫26個(gè)英文字母都難,初到英國(guó)劍橋大學(xué)上課時(shí)，聽老師講課像聽天書，但她一字不漏地聽、一字不漏地記，回到宿舍，再一字

14、不漏地翻字典，一字不漏地硬啃硬記，每天5點(diǎn)準(zhǔn)時(shí)起床，讀音標(biāo)、背單詞、練聽力，晚上整理筆記，直到深夜12點(diǎn)休息。鄧亞萍用打乒乓球的心態(tài)，來(lái)享受練英語(yǔ)的苦,享受疲累,享受困乏，享受孤獨(dú)，取消朋友聚會(huì)，取消社會(huì)活動(dòng)，每天瘋狂跟著復(fù)讀機(jī)大聲喊英語(yǔ)。    鄧亞萍說(shuō)：“如果學(xué)英語(yǔ)后，卻沒(méi)有辦法跟別人交流，一切都是零。所以，我特別舍得下功夫。而我學(xué)英語(yǔ)的經(jīng)驗(yàn)是膽子要大，敢講，不怕出丑，也不怕說(shuō)錯(cuò)。因?yàn)橛⒄Z(yǔ)不是我們的母語(yǔ)，說(shuō)錯(cuò)和不標(biāo)準(zhǔn)是非常正常的?！?#160;   由于她每天堅(jiān)持14個(gè)小時(shí)的學(xué)習(xí)，百分之百瘋狂投入的學(xué)習(xí)，完全達(dá)到了忘我、

15、忘物、忘時(shí),排除一切雜念地瘋狂苦讀，以苦為樂(lè)、以苦為甜，結(jié)果苦盡甘來(lái)！一位當(dāng)初只有小學(xué)學(xué)歷的鄧亞萍，在中國(guó)向國(guó)際奧委會(huì)爭(zhēng)辦2008奧運(yùn)會(huì)時(shí)，代表中國(guó)的運(yùn)動(dòng)員，用流利的英語(yǔ)發(fā)言，爭(zhēng)得了成功的一票！    鄧亞萍說(shuō)：“一個(gè)運(yùn)動(dòng)員成功的條件是付出天賦好的環(huán)境?！彼洋w育精神用到讀書學(xué)英語(yǔ)上，也形成了一個(gè)讀書成功的公式：付出+看不懂就多看幾遍的意志力。    我多年的體會(huì)是：當(dāng)你集中所有的精力，將消極的東西變成積極的東西，全神貫注地夢(mèng)想一定能獲得它，那世界上就沒(méi)有什么東西可以阻擋你！（nothing thats going t