高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)總教案：14.1　合情推理與演繹推理

1、.第十四章推理與證明高考導(dǎo)航考試要求重難點(diǎn)擊命題展望1.理解合情推理的含義.2.能利用歸納與類比等進(jìn)展簡(jiǎn)單的推理.3.體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.4.理解演繹推理的重要性.5.掌握演繹推理的根本形式：“三段論.6.能運(yùn)用演繹推理進(jìn)展簡(jiǎn)單的推理.7.理解演繹推理、合情推理的聯(lián)絡(luò)與區(qū)別.8.理解直接證明的兩種根本方法：分析法與綜合法.9.理解分析法與綜合法的思維過(guò)程、特點(diǎn).10.理解反證法是間接證明的一種根本方法及反證法的思維過(guò)程、特點(diǎn).11.理解數(shù)學(xué)歸納法的原理.12.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題.本章重點(diǎn)：1.利用歸納與類比進(jìn)展推理；2.利用“三段論進(jìn)展推理與證

2、明；3.運(yùn)用直接證明分析法、綜合法與間接證明反證法的方法證明一些簡(jiǎn)單的命題；4.數(shù)學(xué)歸納法的根本思想與證明步驟；運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)nnN*有關(guān)的數(shù)學(xué)命題.本章難點(diǎn)：1.利用歸納與類比的推理來(lái)發(fā)現(xiàn)結(jié)論并形成猜測(cè)命題；2.根據(jù)綜合法、分析法及反證法的思維過(guò)程與特點(diǎn)選取適當(dāng)?shù)淖C明方法證明命題；3.理解數(shù)學(xué)歸納法的思維本質(zhì)，特別是在第二個(gè)步驟要根據(jù)歸納假設(shè)進(jìn)展推理與證明.“推理與證明是數(shù)學(xué)的根本思維過(guò)程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式.本章要求考生通過(guò)對(duì)已有知識(shí)的回憶與總結(jié)，進(jìn)一步體會(huì)直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號(hào)表示、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構(gòu)等

3、數(shù)學(xué)思維過(guò)程以及合情推理、演繹推理之間的聯(lián)絡(luò)與差異，體會(huì)數(shù)學(xué)證明的特點(diǎn)，理解數(shù)學(xué)證明的根本方法.本章是新課程考綱中新增的內(nèi)容，考察的范圍寬，內(nèi)容多，涉及數(shù)學(xué)知識(shí)的方方面面，與舊考綱相比，增加了合情推理等知識(shí)點(diǎn)，這為創(chuàng)新性試題的命制提供了空間.知識(shí)網(wǎng)絡(luò)14.1合情推理與演繹推理典例精析題型一運(yùn)用歸納推理發(fā)現(xiàn)一般性結(jié)論 【例1】 通過(guò)觀察以下等式，猜測(cè)出一個(gè)一般性的結(jié)論，并證明結(jié)論的真假.sin215sin275sin2135；sin230sin290sin2150；sin245sin2105sin2165；sin260sin2120sin2180.【解析】猜測(cè)：sin260sin2sin260.

4、左邊sin cos 60cos sin 602sin2sin cos 60cos sin 602sin2cos2右邊.【點(diǎn)撥】先猜后證是一種常見(jiàn)題型；歸納推理的一些常見(jiàn)形式：一是“具有共同特征型，二是“遞推型，三是“循環(huán)型周期性.【變式訓(xùn)練1】設(shè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，斜邊上的高為h，那么有abch成立，某同學(xué)通過(guò)類比得到如下四個(gè)結(jié)論：a2b2c2h2；a3b3c3h3；a4b4c4h4；a5b5c5h5.其中正確結(jié)論的序號(hào)是；進(jìn)一步類比得到的一般結(jié)論是 .【解析】；anbncnhnnN*.題型二運(yùn)用類比推理拓展新知識(shí) 【例2】 請(qǐng)用類比推理完成下表：平面空間三角形兩

5、邊之和大于第三邊三棱錐任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積三角形的面積等于任意一邊的長(zhǎng)度與這邊上的高的乘積的一半三棱錐的體積等于任意一個(gè)底面的面積與該底面上的高的乘積的三分之一三角形的面積等于其內(nèi)切圓半徑與三角形周長(zhǎng)的乘積的一半【解析】 此題由的前兩組類比可得到如下信息：平面中的三角形與空間中的三棱錐是類比對(duì)象；三角形各邊的邊長(zhǎng)與三棱錐各面的面積是類比對(duì)象；三角形邊上的高與三棱錐面上的高是類比對(duì)象；三角形的面積與三棱錐的體積是類比對(duì)象；三角形的面積公式中的“二分之一與三棱錐的體積公式中的“三分之一是類比對(duì)象.由以上分析可知：故第三行空格應(yīng)填：三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐外表積的乘積的

6、三分之一.此題結(jié)論可以用等體積法，將三棱錐分割成四個(gè)小的三棱錐去證明，此處從略.【點(diǎn)撥】類比推理的關(guān)鍵是找到適宜的類比對(duì)象.平面幾何中的一些定理、公式、結(jié)論等，可以類比到立體幾何中，得到類似的結(jié)論.一般平面中的一些元素與空間中的一些元素的類比列表如下：平面空間點(diǎn)線線面圓球三角形三棱錐角二面角面積體積周長(zhǎng)外表積【變式訓(xùn)練2】面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長(zhǎng)記為aii1,2,3,4，此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到第i條邊的間隔 為hii1,2,3,4，1假設(shè)k，那么；2類比以上性質(zhì)，體積為V的三棱錐的第i個(gè)面的面積記為Sii1,2,3,4，此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)Q到第i個(gè)面的間隔 記為Hii1,2,3,4，

7、假設(shè)K，那么.【解析】；.題型三運(yùn)用“三段論進(jìn)展演繹推理【例3】函數(shù)fxln axa0.1求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值；2求證：對(duì)于任意正整數(shù)n，均有1ln .【解析】1由題意fx.當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)fx的定義域?yàn)?，此時(shí)函數(shù)在0，a上是減函數(shù)，在a，上是增函數(shù)，fminxfaln a2，無(wú)最大值.當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)fx的定義域?yàn)椋?，此時(shí)函數(shù)在，a上是減函數(shù)，在a,0上是增函數(shù)，fminxfaln a2，無(wú)最大值.2取a1，由1知，fxln xf10，故1ln xln ，取x1,2,3，n，那么1ln eln ln ln .【點(diǎn)撥】演繹推理是推理證明的主要途徑，而“三段論是演繹推理的一種重要的推理形式，

8、在高考中以證明題出現(xiàn)的頻率較大.【變式訓(xùn)練3】函數(shù)fxegx，gxe是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，1假設(shè)對(duì)任意的x0，都有fxx1，求滿足條件的最大整數(shù)k的值；2求證：ln112ln123ln1nn12n3nN*.【解析】1由條件得到f122k2ln 213，猜測(cè)最大整數(shù)k2，如今證明x1對(duì)任意x0恒成立：x1等價(jià)于2lnx1lnx12，設(shè)hxlnx1，那么hx.故x0,2時(shí)，hx0，當(dāng)x2，時(shí)，hx0.所以對(duì)任意的x0都有hxh2ln 312，即x1對(duì)任意x0恒成立，所以整數(shù)k的最大值為2.2由1得到不等式2lnx1，所以ln1kk122，ln112ln123ln1nn12222n32n32n3，所以原不等式成立.總結(jié)進(jìn)步合情推理與演繹推理是兩種根本的思維推理方式.盡管合情推理歸納、類比得到的結(jié)論未必正確，但歸納推理與類比推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)新結(jié)論、探究和提供證明的新思路的重要作用，特別在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們可以由熟悉的、的知識(shí)領(lǐng)域運(yùn)用歸納、類比思維獲取發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的靈感去探究陌生的、未知的知識(shí)領(lǐng)域.演繹推理是數(shù)學(xué)邏輯思維的主要形式，擔(dān)負(fù)著判斷命題真假的重要使命.假如說(shuō)合情推理是以感性思維為主，只需有感而發(fā)；那么演繹推理那么是以理性思維為主，要求言必有據(jù).在近幾年高考中一道合情推理的試題往往