橢圓經(jīng)典例題

1、高考復(fù)習(xí)橢圓一、知識歸納：1橢圓的定義._.定義中“距離的和”記為_，焦距記為_。則當(dāng)_時，軌跡為橢圓；則當(dāng)_時，軌跡為線段；則當(dāng)_時，軌跡不存在。2.橢圓的方程.(1)標(biāo)準(zhǔn)方程_, _；(2)一般方程_.3.橢圓的幾何性質(zhì)：以方程為例. 范圍_；對稱軸_、對稱中心_；頂點坐標(biāo)_；焦點坐標(biāo)_；離心率的取值范圍_.二、例題講評：例1. (1). 已知橢圓的兩個焦點是, 且點在橢圓上, 則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ A ） A. B. C. D. (2).已知橢圓的中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過點和點，則橢圓的方程為_.(3).點與點的距離和它到直線的距離的比是，則點的軌跡方程_.例2.(1).已知

2、橢圓的左焦點為，右頂點為，點在橢圓上，且軸， 直線交軸于點若，則橢圓的離心率是（ ）A B C D D解析:對于橢圓，因為，則 (2).已知橢圓+y2=1（a1）的兩個焦點為F1、F2，P為橢圓上一點,且F1PF2=60，則|PF1|PF2|的值為（ D ）A.1 B.C.D.(3).橢圓的焦點為，點P在橢圓上，若，則 ；的大小為 .解析. ，又， 又由余弦定理，得，故應(yīng)填.(4)橢圓=1上一點P到兩焦點的距離之積為m，當(dāng)m取最大值時，P點坐標(biāo)為A. B.（）（）C.（）（） D. 例3.已知橢圓和直線：上取一點，經(jīng)過點且以已知橢圓的焦點為焦點作橢圓，求作出的所有橢圓中長軸最短的橢圓的方程.解

3、：由已知橢圓得其焦點為和，它們也是所求橢圓焦點，所求橢圓方程可設(shè)為依條件知l與橢圓相切，由消去y得： 方程的 化簡得 又和得 由聯(lián)立解得 故所求的方程為例4.(青島模擬)已知F1、F2是橢圓C：1(ab0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且.若PF1F2的面積為9，則b_.審題視點 關(guān)鍵抓住點P為橢圓C上的一點，從而有|PF1|PF2|2a，再利用，進而得解解析由題意知|PF1|PF2|2a，|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，2|PF1|PF2|4a24c24b2.|PF1|PF2|2b2，SPF1F2|PF1|PF2|2b2b2

4、9.b3.答案3例5. (1)求與橢圓1有相同的離心率且經(jīng)過點(2，)的橢圓方程(2)已知點P在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，且P到兩焦點的距離分別為5、3，過P且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個焦點，求橢圓的方程審題視點 用待定系數(shù)法求橢圓方程，但應(yīng)注意橢圓的焦點位置是否確定解(1)由題意，設(shè)所求橢圓的方程為t(t0)，橢圓過點(2，)，t2，故所求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)所求的橢圓方程為1(ab0)或1(ab0)，由已知條件得解得a4，c2，b212.故所求方程為1或1.例6. (1)求長軸是短軸的3倍且經(jīng)過點A(3,0)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)已知橢圓1(ab0)的一個焦點是F(1,0)，若橢

5、圓短軸的兩個三等分點M，N與F構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程解(1)若橢圓的焦點在x軸上，設(shè)方程為1(ab0)，橢圓過點A(3,0)，1，a3，2a32b，b1，方程為y21.若橢圓的焦點在y軸上，設(shè)橢圓方程為1(ab0)，橢圓過點A(3,0)，1，b3，又2a32b，a9，方程為1.綜上所述，橢圓方程為y21或1.(2)由FMN為正三角形，則c|OF|MN|b1.b.a2b2c24.故橢圓方程為1.例7.已知橢圓和直線：上取一點，經(jīng)過點且以已知橢圓的焦點為焦點作橢圓，求作出的所有橢圓中長軸最短的橢圓的方程.解：由已知橢圓得其焦點為和，它們也是所求橢圓焦點，所求橢圓方程可設(shè)為依條件知l與橢圓相切，

6、由消去y得： 方程的 化簡得 又和得 由聯(lián)立解得 故所求的方程為例8. 已知橢圓G：y21.過點(m,0)作圓x2y21的切線l交橢圓G于A，B兩點(1)求橢圓G的焦點坐標(biāo)和離心率；(2)將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值審題視點 (1)由橢圓方程可直接求出c，從而求出離心率(2)可設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立得一元二次方程，由弦長公式列出|AB|長的表達式從而求出|AB|的最大值解(1)由已知得，a2，b1，所以c.所以橢圓G的焦點坐標(biāo)為(，0)，(，0)，離心率為e.(2)由題意知，|m|1.當(dāng)m1時，切線l的方程為x1，點A，B的坐標(biāo)分別為，此時|AB|.當(dāng)m1時，同理可得|A

7、B|.當(dāng)|m|1時，設(shè)切線l的方程為yk(xm)由得(14k2)x28k2mx4k2m240.設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1x2，x1x2.又由l與圓x2y21相切，得1，即m2k2k21.所以|AB|.由于當(dāng)m1時，|AB|，所以|AB|，m(，11，)因為|AB|2，且當(dāng)m時，|AB|2，所以|AB|的最大值為2.例9. 如圖，已知橢圓E經(jīng)過點A(2,3)，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e.(1)求橢圓E的方程；(2)求F1AF2的角平分線所在直線l的方程解(1)設(shè)橢圓E的方程為1(ab0)，由e，即，得a2c，得b2a2c23c2.橢圓方程

8、可化為1.將A(2,3)代入上式，得1，解得c2，橢圓E的方程為1.(2)由(1)知F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，直線AF1的方程為y(x2)，即3x4y60，直線AF2的方程為x2.由點A在橢圓E上的位置知，直線l的斜率為正數(shù)設(shè)P(x，y)為l上任一點，則|x2|.若3x4y65x10，得x2y80(因其斜率為負(fù)，舍去)于是，由3x4y65x10，得2xy10，直線l的方程為2xy10.例10. 設(shè)橢圓1(ab0)的左、右焦點分別為F1、F2.點P(a，b)滿足|PF2|F1F2|.(1)求橢圓的離心率e；(2)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點，若直線PF2與圓(x1)2(y)216相交

9、于M，N兩點，且|MN|AB|，求橢圓的方程(1)設(shè)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c0)，因為|PF2|F1F2|，所以2c.整理得2210，得1(舍)，或.所以e.(4分)(2)由(1)知a2c，bc，可得橢圓方程為3x24y212c2，直線PF2的方程為y(xc)A、B兩點的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c.(6分)得方程組的解為不妨設(shè)A，B(0，c)，所以|AB|c.(8分)于是|MN|AB|2c.圓心(1，)到直線PF2的距離d.(10分)因為d2242，所以(2c)2c216.整理得7c212c520.得c(舍)，或c2.所以橢圓方程為1.(12分)

10、例11.已知直線yx2和橢圓1(ab0)相交于A、B兩點，M為線段AB的中點，若|AB|2，直線OM的斜率為，求橢圓的方程嘗試解答設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)則得：.kAB.又kOM，由得a24b2.由得：x24x82b20，x1x24，x1x282b2.|AB|x1x2|2.解得：b24.故所求橢圓方程為：1.橢圓練習(xí)題1. 如果方程x2+ky2=2表示焦點在y 軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是（ ）A.(0,+)B.(0,2) C.(1,+)D.(0,1)2.橢圓的兩個焦點為F1、F2，過F1作垂直于軸的直線與橢圓相交，一個交點為P，則=（ C ）ABCD43.

11、 過橢圓()的左焦點作軸的垂線交橢圓于點，為右焦點，若，則橢圓的離心率為（B） A B C D w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解析:因為，再由有從而可得，故選B4. 橢圓的焦點為,點P為其上的動點,當(dāng)為鈍角時,點P橫坐標(biāo)的取值范圍是_.5.若點O和點F分別為橢圓的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則OPFP的最大值為（ ）A.2B.3C.6D.8解析：設(shè)橢圓上任意一點P（x0,y0),則有,即,O(0,0),F(-1,0),則.因為|x0|2,所以當(dāng)x0=2時，取得最大值為6，故選C.另解：由橢圓參數(shù)方程可設(shè)P(2cos ,sin ),由題易知F（-1,0），則=2cos (2c

12、os +1)+(sin )2=(cos +1)2+26,故選C.答案：C6.設(shè)P是橢圓上的點.若F1、F2是橢圓的兩個焦點，則|PF1|+|PF2|等于 （ ）A.4 B.5 C.8 D.10解析：|PF1|+|PF2|=25=10.答案：D7. 圓心在軸的正半軸上,過橢圓的右焦點且與其右準(zhǔn)線相切的圓的方程8、.如圖所示，已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的三點，點A是長軸的一個端點，BC過橢圓中心O ，且，|BC|2|AC|求橢圓方程.解： 以O(shè)為原點，OA為X軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A（2，0），則橢圓方程為O為橢圓中心，由對稱性知|OC|OB|又，ACBC又|BC|2|AC|OC|AC|AO

13、C為等腰直角三角形點C的坐標(biāo)為（1，1） 點B的坐標(biāo)為（1，1）將C的坐標(biāo)（1，1）代入橢圓方程得， 則求得橢圓方程為9.設(shè)F1、F2分別是橢圓E： (0bb0)的左、右焦點，過F2的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，直線l的傾斜角為60,F1到直線l的距離為.（1）求橢圓C的焦距；（2）如果,求橢圓C的方程.解：（1）設(shè)焦距為2c,由已知可得F1到直線l的距離,故c=2.所以橢圓C的焦距為4.（2）設(shè)A（x1,y1),B(x2,y2)，由題意知y10,直線l的方程為.橢圓練習(xí)題1. 如果方程x2+ky2=2表示焦點在y 軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是（ ）A.(0,+)B.(0,2) C.(1,+)D.(0,1)2.橢圓的兩個焦點為F1、F2，過F1作垂直于軸的直線與橢圓相交，一個交點為P，則=（ ）ABCD43. 過橢圓()的左焦點作軸的垂線交橢圓于點，為右焦點，若，則橢圓的離心率為（ ） A B C D 4. 橢圓的焦點為,點P為其上的動點,當(dāng)為鈍角時,點P橫坐標(biāo)的取值范圍是_.5.若點O和點F分別為橢圓的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則OPFP的最大值為（ ）A.2B.3C.6D.86.設(shè)P是橢圓上的點.若F1、F2是橢圓的兩個焦點，則|PF1|+|PF2|等