線性代數(shù)試講教案

1、§3.2 向量組的線性相關性教學目的：理解向量組的線性相關、線性無關的定義；掌握向量組的相序相關性的判定定理教學重點：掌握向量組的相序相關性的判定定理教學難點：矩陣的秩及向量組的秩教學過程：復習引入1.什么是向量？ 定義1 個數(shù)組成的有序數(shù)組或，稱為一個維向量，簡稱向量。 一般用小寫的粗黑體字母表示，如。這節(jié)課我們來學習向量組的線性相關性。新課講授：一、向量組線性相關性的定義定義5 對于向量組，如果存在不全為零的數(shù)，使得 （3-3）稱向量組線性相關.反之，如果只有在時（3-3）式才成立，就稱向量組線性無關. 注意： 1.若線性無關，則只有當，才有. 2.對于任一向量組，不是線性無關就

2、是線性相關.3.向量組只包含一個向量時，若則說線性相關，若，則說線性無關.4.包含零向量的任何向量組是線性相關的. 5.對于含有兩個向量向量組，它線性相關的充要條件的兩向量的分量對應成比例，幾何意義是兩向量共線（如圖3.1）；三個向量相關的幾何意義的三向量共面。(1) 由兩個 2 維向量構成的向量組 A: a1 , a2 ，線性相關的幾何意義是 a1 , a2 共線. 在直線 y =2x 上取三點M1, M2 , M3 , 作三個向量: ，。 顯然, 這三個向量中的任意兩個向量構成的向量組都是線性相關的.(2) 由三個 3 維向量構成的向量組線性相關的幾何意義是這三個向量共面. 如給定平面 p

3、 : x+y+z=3. 在 p 上取三點: M1(1,1,1) , M2(2,0,1) , M3(0,2,1) , 作三個向量: ，向量組 a1 , a2 , a3 線性相關,因為 2a1 - a2 - a3 = 0.(3) 4維向量組線性相關的幾何意義該向量組所對應的非齊次線性方程組中的四個方程所表示的四個平面交于同一條直線. 例3 判斷向量組的線性相關性。解 設任意的常數(shù)，都有所以，當且僅當 才有 因此，線性無關.稱為基本單位向量組.例4 判斷向量組的線性相關性.解 設任意的常數(shù)，都有所以，當且僅當,才有 .由于 ,滿足上面方程組，因此,所以線性相關.例5 設向量組線性無關，又，試證明也線

4、性無關.證明 設 ，即 ， .由線性無關知 ，解此方程組，可以得到非零解，于是線性相關.二、線性表示（線性組合）除了根據(jù)定義來判定向量組的線性相關性外，還有什么其他判定方法呢？在我們講向量組線性相關的判定定理之前，我們先學習線性表示（線性組合）的定義。定義6 給定向量和向量組，如果存在一組數(shù)，使得 ，則稱為向量組的一個線性組合，或者說可由向量組線性表示，稱為組合系數(shù)。例6 設，試問能否由線性表示？若能寫出具體表達式。解 令 于是得線性方程組 因為 ，由克拉默法則求出 ，所以 ，因此，能由線性表示。 例7 設，試問能否由，線性表示？解 令 ，于是得方程組 由第一個方程得，代入第二個方程得，但不滿

5、足第三個方程，故方程組誤解，所以不能由，線性表示。三、線性相關性的判定定理1 向量組線性相關的充分必要條件是：中至少有一個向量可由其余個向量線性表示.證明 設中至少有一個向量可由其余個向量線性表示，不妨設可由線性表示，即，于是 ，顯然，不全為0，故線性相關.反過來，設線性相關，則存在不全為零的數(shù)，使，不妨設，于是 ，即可由線性表示.該定理的逆否命題：向量組線性無關的充分必要條件是其中任意一個向量都不能由其余向量線性表示.注：(1)若令元向量，則線性無關.(2)任何一個元向量都可由線性表示，即 .定理2 若向量組線性無關，而線性相關，則可由唯一線性表示.證明 因為線性相關，所以存在不全為零的數(shù)，

6、使得 ，可以斷定（否則，與線性無關矛盾）.于是可由線性表示，即 .這種表示法是唯一的，因若 ，則 ，由于線性無關，必有，即，所以由線性表示的表示法是唯一的.將一個向量組中的某些向量組成的向量組稱為原向量組的部分組。定理3 有一部分組線性相關的向量組一定線性相關.證明 設向量組有一部分組線性相關，不妨設這個部分組為，則有不全為零的數(shù)，使得.從而不全為零的數(shù)，使得，故線性相關.推論 含有零向量的向量組必線性相關.該定理的逆否命題是：如果線性無關，則其任一部分向量組成的向量組也線性無關.定理4 設為的一個排列，和為兩個向量組，其中，即是對各分量的順序進行重排后得到的向量，則這兩個向量組有相同的線性相

7、關性.證明 對任意的常數(shù)，注意到下面兩個列向量定理5 在維向量組的各向量中，添上個分量變成維向量組，(1)如果線性相關，那么也線性相關；(2) 如果線性無關，那么也線性無關.證明 對列向量來證明定理。設，(1)如果線性相關，就有一個非零的矩陣，使.從而 .因此也線性相關.(2) 利用(1)和反證法容易證明(2)也成立.定理6 設是一個階方陣,則的行(列)向量組線性相關的充分必要條件是.證明 設，矩陣的列向量組為：, 令 （3-4）即 ，則 線性相關存在一組不全為零的實數(shù)，使得式（3-4）成立，即齊次線性方程組 （3-5） 有非零解存在.由第一章定理5的推論及其注解知，（3-5）式存在非零解.推

8、論 階方陣可逆的行(列)向量組線性無關.例8 討論下列矩陣的行(列)向量組的線性相關性：；.解 由于，因此的行(列)向量組線性無關； 由于，因此的行(列)向量組線性相關.例9 判斷向量組，是否線性相關.解 以為行向量組得到3階方陣 .由于，故由定理6知線性相關.定理7 當時，個維向量必線性相關.證明 設為維向量組，對每個添加個零分量得到維向量組易知構成維方陣的行列式等于0.由定理6知線性相關，從而由定理5知線性相關.推論 如果個維向量組必線性相關.課堂小結1、如何正確理解向量組的線性相關(無關)的定義？線性相關、線性無關是兩個對立的概念，它們之間的不同之處主要在于：線性相關的向量組存在系數(shù)不全

9、為的線性組合是零向量，而線性無關的向量組只有系數(shù)全為零的線性組合是零向量；線性相關的向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示，而線性無關的向量組中任何一個向量都不能由其余向量線性表示；以線性相關的向量組為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組存在非零解，而以線性無關的向量組為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組只有零解.2、怎樣判斷向量組的線性相關性？方法1：利用定義判斷。這是判定向量組的線性相關性的基本方法，既適用于分量已知的向量組，也適用于分量未知的向量組。方法2：利用行列式判斷。這種方法僅適用于向量組向量的個數(shù)與向量的維數(shù)相等的情形。設是個維向量，以為列(行)向量組成矩陣，則線性相關。作業(yè)布置 習題三 4 （1）、（3）；5；6.定理4 設元向量，則向量組線性相關的充分必要條件是齊次線性方程組 有非零解.其中