空間直角坐標(biāo)系和空間向量典型例題

1、空間直角坐標(biāo)系與空間向量一、建立空間直角坐標(biāo)系的幾種方法構(gòu)建原則：遵循對稱性，盡可能多的讓點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上。作法：充分利用圖形中的垂直關(guān)系或構(gòu)造垂直關(guān)系來建立空間直角坐標(biāo)系類型舉例如下：（一）用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標(biāo)系例1已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12，底面ABCD是直角梯形，A為直角，ABCD，AB4，AD2，DC1，求異面直線BC1與DC所成角的余弦值解析：如圖1，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則C1（，1，2）、B（2，4，），設(shè)與所成的角為，則（二）利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系例2如圖2，在三棱柱ABC

2、A1B1C1中，AB側(cè)面BB1C1C，E為棱CC1上異于C、C1的一點(diǎn)，EAEB1已知，BB12，BC1，BCC1求二面角AEB1A1的平面角的正切值解析：如圖2，以B為原點(diǎn)，分別以BB1、BA所在直線為y軸、z軸，過B點(diǎn)垂直于平面AB1的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系由于BC1，BB12，AB，BCC1，在三棱柱ABCA1B1C1中，有B（，）、A（，）、B1（，2，）、設(shè)且，由EAEB1，得，即，即或（舍去）故由已知有，故二面角AEB1A1的平面角的大小為向量與的夾角因，故，即（三）利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系例3如圖3，在四棱錐VABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平

3、面VAD底面ABCD（1）證明AB平面VAD；（2）求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值解析：（1）取AD的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)AD2，則A（1，）、D（1，）、B（1，2，）、V（，），（，2，），（1，）由，得ABVA又ABAD，從而AB與平面VAD內(nèi)兩條相交直線VA、AD都垂直， AB平面VAD；（2）設(shè)E為DV的中點(diǎn)，則，EBDV又EADV，因此AEB是所求二面角的平面角故所求二面角的余弦值為（四）利用正棱錐的中心與高所在直線構(gòu)建直角坐標(biāo)系例4已知正四棱錐VABCD中，E為VC中點(diǎn)，正四棱錐底面邊長為2a，高為h（1）求DEB的余弦值；（2）若BEVC，求

4、DEB的余弦值解析：（1）如圖4，以V在平面AC的射影O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，其中OxBC，OyAB，則由AB2a，OVh，有B（a，a，）、C（-a，a，）、D（-a，-a，）、V（0，0，h）、，即；（2）因?yàn)镋是VC的中點(diǎn)，又BEVC，所以，即，這時(shí)，即引入空間向量坐標(biāo)運(yùn)算，使解立體幾何問題避免了傳統(tǒng)方法進(jìn)行繁瑣的空間分析，只需建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行向量運(yùn)算，而如何建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，成為用向量解題的關(guān)鍵步驟之一下面以高考考題為例，剖析建立空間直角坐標(biāo)系的三條途徑（五）利用圖形中的對稱關(guān)系建立坐標(biāo)系圖形中雖沒有明顯交于一點(diǎn)的三條直線，但有一定對稱關(guān)系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用

5、自身對稱性可建立空間直角坐標(biāo)系例5已知兩個(gè)正四棱錐PABCD與QABCD的高都為2，AB4（1）證明：PQ平面ABCD；（2）求異面直線AQ與PB所成的角；（3）求點(diǎn)P到面QAD的距離簡解：（1）略；（2）由題設(shè)知，ABCD是正方形，且ACBD由（1），PQ平面ABCD，故可分別以直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖1），易得，所求異面直線所成的角是（3）由（2）知，點(diǎn)設(shè)n=（x，y，z）是平面QAD的一個(gè)法向量，則得取x1，得點(diǎn)P到平面QAD的距離點(diǎn)評：利用圖形所具備的對稱性，建立空間直角坐標(biāo)系后，相關(guān)點(diǎn)與向量的坐標(biāo)應(yīng)容易得出第（3）問也可用“等體積法”求距離二、向量法解立體幾何（1）

6、 知識點(diǎn)向量的數(shù)量積和坐標(biāo)運(yùn)算是兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，則數(shù)叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即 其幾何意義是的長度與在的方向上的投影的乘積. 其坐標(biāo)運(yùn)算是： 若，則； ；（2） 例題講解題型：求角度相關(guān)1. 異面直線所成的角圖1分別在直線上取定向量則異面直線所成的角等于向量所成的角或其補(bǔ)角（如圖1所示），則2. 直線與平面所成的角圖2在上取定，求平面的法向量（如圖2所示），再求，則為所求的角. 3 二面角圖3甲方法一：構(gòu)造二面角的兩個(gè)半平面的法向量（都取向上的方向，如圖3所示），則 若二面角是“鈍角型”的如圖3甲所示，那么其大小等于兩法向量圖3乙的夾角的補(bǔ)角，即圖4 若二面角是“銳角型”的

7、如圖3乙所示，那么其大小等于兩法向量的夾角，即.方法二：在二面角的棱上確定兩個(gè)點(diǎn)，過分別在平面內(nèi)求出與垂直的向量（如圖4所示），則二面角的大小等于向量的夾角，即 題型：求距離相關(guān)1. 異面直線的距離圖1分別在直線上取定向量求與向量都垂直的向量，分別在上各取一個(gè)定點(diǎn)，則異面直線的距離等于在上的射影長，即.證明：設(shè)為公垂線段，取 設(shè)直線所成的角為，顯然2. 平面外一點(diǎn)到平面的距離圖5求平面的法向量，在面內(nèi)任取一定點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離等于在上的射影長，即.三、法向量例題解析題型：求空間角1、運(yùn)用法向量求直線和平面所成角設(shè)平面的法向量為=（x, y, 1)，則直線AB和平面所成的角的正弦值為sin= c

8、os(-) = |cos<, >| = 2、運(yùn)用法向量求二面角設(shè)二面角的兩個(gè)面的法向量為，則<>或-<>是所求角。這時(shí)要借助圖形來判斷所求角為銳角還是鈍角，來決定<>是所求，還是-<>是所求角。題型：求空間距離1、求兩條異面直線間的距離 設(shè)異面直線a、b的公共法向量為，在a、b上任取一點(diǎn)A、B，則異面直線a、b的距離：d =AB·cosBAA=略證：如圖，EF為a、b的公垂線段，a為過F與a平行的直線，在a、b上任取一點(diǎn)A、B，過A作AAEF，交a于A，則，所以BAA=<>（或其補(bǔ)角）異面直線a、b的距離d =AB·cosBAA= *其中，的坐標(biāo)可利用a、b上的任一向量（或圖中的），及的定義得 解方程組可得。2、求點(diǎn)到面的距離求A點(diǎn)到平面的距離，設(shè)平面的法向量法為，在內(nèi)任取一點(diǎn)B，則A點(diǎn)到平面的距離：d =，的坐標(biāo)由與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量的垂直關(guān)系，得到方程組（類似于前面所述, 若方程組無解，則法向量與XOY平面平行，此時(shí)可改設(shè)，下同）。3、求直線到與直線平行的平面的距離求直線a到平面的距離，設(shè)平面的法向量法為，在直線a上任取一點(diǎn)A，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)B，則直線a到平面的距離：d = 4、求兩平行平面的距離設(shè)兩個(gè)平行設(shè)平面、的公共法向量法為，在平面、內(nèi)各任取一點(diǎn)