用初等變換化二次型為標準型

1、 莆田學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系“高等代數(shù)選講”課程論文題目：用矩陣的初等變換化實二次型為標準形 姓名： 廖丹學(xué)號： 410401141莆田學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2004級2007年 6月20日 用矩陣的初等變換化實二次型為標準形041數(shù)本 410401141 廖丹摘要：本文介紹兩種特殊方法：一種是用正交變換化實二次型為標準形，另一種是連續(xù)用第三種初等行變換快速將二次型化為標準形.關(guān)鍵詞：初等變換 第三種初等陣 非異陣 實二次型標準形1數(shù)域下任意一個實二次型,總可以經(jīng)過非奇異變換使得,其中為實數(shù),通常的方法是采用配方法或初等變換法,然而傳統(tǒng)的方法最大的缺點是不易求矩陣.下面介紹一種特

2、殊方法,能夠快速將原二次型化為標準形，一舉求出非異陣.定義以表示將單位矩陣的行（列）的倍加到行（列）,所得到的第三種初等陣.定理設(shè)是階實對稱陣,是有限個第三種初等陣,的乘積.且其中是維行向量,是階陣,則必有.證明：由于是的乘積，且,根據(jù)矩陣的乘法規(guī)則，用右乘時,的第一列元素不變,從而,即是實對稱的. 亦為實對稱陣 這個定理實質(zhì)上就給出矩陣化標準形,求出變換矩陣的一種方法,只要連續(xù)使用第三種初等變換即可把化為上三角形.現(xiàn)作矩陣找出使則這個的轉(zhuǎn)置陣就是我們要找的非異陣,它使為對角陣.即只要對作有限次第三種初等變換,則當把變換成上三角陣時,的就同時化為,且使.例1 求非異陣,使為對角陣,其中.解：故

3、由定理知. 例2將實二次型化為平方和.解：此二次型的系數(shù)矩陣 ,的主對角元素全是0,故不能立即引用定理,需先對作初等行變換及其相應(yīng)的列.使經(jīng)過如此變換后得到的新合同陣的主對角有非零數(shù),然后再用定理即可. , 令,則.2 若要求一正交陣使成對角陣,這等價于經(jīng)過正交變換將二次型化為標準形.一般步驟是通過施密特正交化過程來求解,但此方法較為復(fù)雜,下面介紹用解一些齊次線性方程組的方法來化實二次型為標準形.定理設(shè)為階矩陣,秩,且其中是秩為的列滿秩矩陣,則矩陣所含個列向量就是齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系.證明：秩存在可逆的級矩陣使，其中是秩為的列滿秩矩陣同理：，其中表示秩為的每一列有且只有一元素為1的列滿

4、秩矩陣，表示秩為的每一列有且只有一元素為1的列滿秩矩陣，其中，由于的解向量個數(shù)為，而為秩為的列滿秩矩陣再由初等變換原理易知：矩陣所含個列向量就是齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系.定理矩陣的特征矩陣經(jīng)列的初等變換可化為下三角的矩陣,且的主對角線上元素的乘積的多項式的根恰為的所有特征根.此定理證明與定理1.2相仿,故省去.下面探討計算方法：設(shè) 且,其中為下三角矩陣,則的主對角線上的全部元素的多項式的全部根恰為矩陣的全部特征根,對于矩陣的每一特征根,若矩陣中非零向量的列構(gòu)成列滿秩矩陣,那么矩陣中和中零向量所對應(yīng)的列向量是屬于特征根的全部線性無關(guān)的特征向量；否則繼續(xù)使得中非零向量的列構(gòu)成列滿秩矩陣,那么中

5、和中向量對應(yīng)的列向量是屬于特征根的全部線性無關(guān)的特征向量.設(shè)所求出的特征向量,它是一組線性無關(guān)的向量,以為列向量構(gòu)成矩陣,則是一個階正定矩陣,必與單位矩陣正合同,即存在階可逆矩陣,使得即式說明：對矩陣施行一系列的列初等變換,（相應(yīng)的初等矩陣的乘積為）及一系列的行初等變換（相應(yīng)的初等矩陣的乘積為）,可化為單位矩陣；式說明：的列向量組是一個標準正交基,可以通過對矩陣施行與對矩陣所施行的相同的初等變換求出.于是得到求正交矩陣的初等變換法對施行列初等變換,對施行行初等變換.實際上將化為,可先用分別乘以所在的行和列使變成1；再施以列初等變換把所在行其他元素化為0，又施以行初等變換把所在列的其他元素化為0 ,按此法,依次把變?yōu)?.其它元素變?yōu)?,那么矩陣即為所求的矩陣,且為對角陣,其中主對角線上元素例1 求正交矩陣使為對角陣,其中.解： 矩陣的特征根為（二重）,.當時,有非零向量的列構(gòu)成滿秩矩陣,對應(yīng)零向量的向量當時,同法求出對應(yīng)特征向量,是無關(guān)的,以為列向量構(gòu)成矩陣,再求出于是得：即得：且有參考文獻：1 北大. 高等代數(shù)M. 高等教育出版社,1989.112 北大數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組. 高等代數(shù)M.