【高考數(shù)學秘籍】導數(shù)在函數(shù)中的應用——極值與最值

1、第 17 講 導數(shù)在函數(shù)中的應用一一極值與最值1.已知實數(shù) a, b, c, d 成等比數(shù)列，且曲線 y= 3x x3的極大值點坐標為 ad 等于(A)(b, c),則C. 1 D. 2因為 y=3 3x2= 3(1 + x)(1 x),所以當一 1x0;當 x1 時，y 0 在0,1上恒成立，所以 f(x)在0,1上為增函數(shù)，所1以當 x= 1 時，f(x)有最大值-.x2(2, 1)1(1,0)0f (x)+0一f(x)1JL3決13函數(shù) f(x)= x3 3x+ 1 在區(qū)間2,0上的最大值和最小值分別為(C)A . 1, 1B . 3,1C. 3, 1 D . 5,1f (x) = 3x

2、2 3= 0,解得 x= 1 或 x= 1(舍去).當 x 變化時，f (x)與 f(x)的變化情況如下表:所以最大值為 3,最小值為1.4. (2017 鞍山二模)已知函數(shù) f(x) = a x+ xex，若存在 x0 1，使得 f(x)w0,則實數(shù) a 的取值范圍為(B)A.0,+) B.( 8,0C.1, +8) D.( 8,1GE3 由 f(x)w0，得 a 1), h (x) = 1 (1 + x)e ,令 g(x) = h (x), g (x)= (x+ 2)ex0 ,所以 h (x)在(1,+8)內遞減，而 h (0) = 0,所以 h(x)在 ( 1,0)內遞增，在(0, +8

3、)內遞減，所以 h(x)的最大值為 h(0) = 0故 a 0 , x 鬱 1)時，f (x)0 知 ax 2ax+ 1 0 在 R 上恒成立，因此 = 4a2 4a = 4a(a 1)0，知 0aw1.所以 a 的取值范圍為a|0a0 時，f(x)(B)A.有極大值，無極小值B.有極小值，無極大值C.既有極大值又有極小值D .既無極大值又無極小值巫由題設知，當 x0 時，=xf- =冬 xex, 可得子=(x 1)ex+ C(C 為常數(shù))，又 f(1) =0,得C= 0,所以 f(x) = x(x 1)ex.又 f (x) = (x2+ x 1)ex,5 一 1 _; 5 1令 f (x)

4、= 0,解得 x =2或 x=-(舍去),V5 15 1所以當 x0 時，xqo, ),f(x)0, 1所以當 x0 時，f(x)有極小值 f( 一 2)，無極大值.9. (2017 天津紅橋區(qū)模擬)已知函數(shù) f(x)= x3+ ax2 4 在 x= 2 處取得極值，若 1,1，貝 U f(m) + f (n)的最小值為 一 1339 因為 f(x)= x3+ ax2 4 在 x= 2 處取得極值, 所以 f (2) = 0，又 f (x)= 3x2+ 2ax,由 f (2) = 12 + 4a = 0,所以 a = 3.所以 f(x) = x3+ 3x2 4, f (x)= 3x2+ 6x.

5、當 m、n 1,1，則 f(m)+ f (n)的最小值為 f(x)的最小值與 f (x)的最小值的和.由 f (x) = 0 得 x= 0 或 x= 2(舍去),所以 f(x)在1,0上單調遞減，在0,1上單調遞增， 所以 f(x)min= f(0) = 4.因為 f (x)= 3(x 1)2+ 3,又 f (1) = 3 , f ( 1) = 9,所以 f (x)min= 9.所以 f(m)+ f (n)的最小值為13.10. (2017 北京卷)已知函數(shù) f(x)= excos x x.(1)求曲線 y= f(x)在點(0, f(0)處的切線方程；n求函數(shù) f(x)在區(qū)間0 , ?上的最大值和最小值.X(1)因為 f(x) = e cos x x,所以 f (x)= ex(cos x sin x) 1, f (0) = 0.又因為 f(0) = 1，所以曲線 y= f(x)在點(0, f(0)處的切線方程為y= 1.(2)設 h(x) = e (cos x sin x) 1,貝 U h (x)= ex(cos x sin x sin x cos x) = 2exsin x.當 x 0,時，h (x)0 ,所以 h(x)在區(qū)間0,n上單調遞減，所以對任意 x0,n有 h(x)h(