二階導數(shù)的用法及零點嘗試法

1、二階導數(shù)的用法及零點嘗試法導數(shù)最大的作用是判斷復雜函數(shù)的單調性，我們可以很簡單的求一次導數(shù)，然后 通過求導函數(shù)的根，就可以判斷出函數(shù)的單調區(qū)間，進而知道函數(shù)的趨勢圖像，不過 這只是最基礎的導數(shù)的應用，在很多題目中我們求一次導數(shù)之后無法求出導函數(shù)的根, 甚至也不能直接看出導函數(shù)的正負，因此無法判斷單調性，在高考中不管文理都有極 大可能用到二階導數(shù)，雖然文科不談二階導數(shù)，其實只是把一階導數(shù)設為一個新函數(shù), 再對這個新函數(shù)求導，本質上依舊是二階導數(shù)。的取值范圍。所以g(x) 0,g(x)在$)上單調遞增，gm町厶e彳二階導的用法判斷f(x)的單調性則需判斷f(x)的正負，假設f(x)的正負無法判斷，

2、則把f(x)或者f(x)中不能判斷正負的部分(通常為分子部分)設為新函數(shù)g(x)，如果通過對g(x)進行求導繼而求最值，若g(x)min0或g ( x)max0則可判斷出f(X)的正負 繼而判斷f(x)的單調性，流程如下圖所示：例 1.1.f(x)ex2x23x，當x寸時，f(x)(a 3)x 1恒成立，求實數(shù)a解析：f(x)(a 3)x 12x23x(a 3)x 1，則12x2x1-在x1-上恒成立2xe令g(x)12x2x， 貝V g (x)令h(x) ex(x 1)ex(x21,則h(x)1)12x22xx(ex1)1當x時，h (x)20恒成立，即h(x)17 1h() Ve 028

3、2但是并不是一階導數(shù)無法求根或者判斷正負就必須使用二階導數(shù)，有時候適當?shù)?對函數(shù)做一些變形就可以省去很多麻煩，如下題：例 2 2已知函數(shù)f(x) (x 1)1 nx x 1，證明：當0 x 1時，f(x) 0X 11解析：f (x) I nx1 In x無法求根也無法判斷正負xx11x1f (x)丄J J2 2T，令f (x)0,則x 1x x x當x 1時，f(x) 0,f(x)單調遞增；當0 x1時，f(x) 0,f(x)單調 遞減，f(x)minf(1) 1 0,所以f(x)在0 x 1上單調遞增即f(x) f (x)maxf (1) 0但是如果調整函數(shù)轉化為一階導數(shù)并且還出現(xiàn)了一階導數(shù)

4、最小值小于等于零，或一階 導數(shù)最大值大于等于零的時候，則單純的二階導數(shù)將失靈，此時我們采用的是零點嘗 試法，即確定一階導數(shù)的零點的大致位置，如下：可直接得出原 函數(shù)的最值或 者帶有所設零點的式子一階導數(shù)無法判斷單我們對一階導數(shù)或對其中不能判斷符號的部分進行求導通過二階導 f 數(shù)求出一階導數(shù)的最值通過二階導數(shù)求出一階導數(shù)一階導數(shù)最小值大于等于 0 0原函數(shù)單調遞一階導數(shù)原函數(shù)最大值小于等于 0 0單調增對上圖的解讀：零點嘗試法其實是無法求出一階導數(shù)的零點，且通過二階導數(shù)無法得 出需要的一階導數(shù)的最值，此時一般可以根據(jù)二階導的恒正或恒負來判斷出一階導是 否只有一個零點，若用零點存在性定理能判斷出一

5、階導數(shù)只有一個零點，則設出這個 零點為X。，但是難點就在這里，因為不知道準確零點的區(qū)間，因此可能很難找出符合 題意區(qū)間的X0，例如確定出X0在某數(shù)之前或某數(shù)之后，但是所設的X0滿足f(X0)=0=0 ,通過這個式子可以得到一個關于x0的等式，然后所設的點x0肯定是原函數(shù)唯一的最值點，因此若求原函數(shù)的最值則需要結合f(x。)0這個等式，有的時候能求出一個不包含x0的最值或者含有x0一個很簡單的數(shù)或式子，不過此方法并非無敵，若二階導數(shù)和 零點嘗試法均失效時，則需考慮你的思考方向是否正確了，關于零點嘗試法在20172017 年高考之前各個省份模擬題中經常出現(xiàn)，在20172017 年高考中也出現(xiàn)了，因

6、此這個方法必須作為高考中的備考題型掌握。零點嘗試法應用舉例:(G ex0 x02例 3.3.已知函數(shù)f (x) exIn(x m)，當m2時，證明f (x)0解析：原題可以理解為當m 2時，f (x)exIn(x2)0在定義域內恒成立xf (x) ef (x) e(x 2)2所以f (x)在定義域內單調遞增,設在定義域內X。使得f(X)0所以(2,x。)時，f (x)(X,)時，f (x)f(x)minf(X) exf(x)單調遞減f(x)單調遞增ln(x。2)由得f (x)minf (x。)2ex00故當m 2時，證明f (x)0例 4.4.已知函數(shù)f(x)立，求正整數(shù)k的值。x Inx a

7、x，若對任意x (1,)，f (x) k(x 1) ax x恒成解析：問題可轉化為當x (1,)時，k少 J 恒成立x 1設h(x)x,h(x)x In x 2(x 1)2令m(x)x In x1、2, m (x)10所以m(x)在定義域內單調遞增xm( x)minm(1)1(沒有用)注意二階導失靈了m(3)In 3所以存在X0(3,4)使得m(x0) x0In X02 0當x (1,x), m(x) 0, h(x) 0,h(x)單調遞減當x(Xo,), m(x) 0, h (x) 0,h(x)單調遞增xlnxoxx(lnx。1)h(x)minh(x)-x1x1又因為m(x0)x0In x02

8、x 1 (ln x01)0由由得h(x)minh(X)X。所以k x,k 1,2,3f(x) g(x)所以h(x)在(1,)上單調遞增，h(x)minh(1) lim h(x)x 1效)因為h(1) 0,h(2)0且h(x)在(1,)單調，因此h(x)0在定義域內有且只有一個零點設為X。當x x時，h (x)0，h(x)單調遞增當1 x x時，h(x) 0，h(x)單調遞減所以h(x)minh(x) (x1)ex0In(x1) x1h (x) Xoex00 x1聯(lián)立可得h(x)min0所以h(x) g(x) h(x) 0,即f(x) g(x)例 6.6.已知函數(shù)f (x) exIn(x m)，

9、當m 2時，證明f(x) 0例 5 5 .設函數(shù)f(x) ln(x 1) ax2x 1,g(x) (x 1)exax2,a R，證明解析：g(x) f (x) (x 1)exln(x 1) x 1，令h(x)(x 1)exIn (x 1) x 1h(x)xxex1 x(eJ，h (x)(x 1)ex1(x 1)2(此時二階導失解析：函數(shù)的定義域為(m, )，f (x) ex1, f (x) ex丄20 x m(x m)此時f(x)在(m,)上單調遞增，由于f(x)在xm處無意義，因此用極限判斷最小值Xom所以可證得f(x)min0,即f(x) 0f(x)minf( m)lim (exx m丄)emx mlimx mx m(二階導失靈)* *目前只知道點的個數(shù)，令(X)單調遞增，f(x)是否有零點不確定，因此還需要判斷f(x)零xIxxf (x) e0，即me x，設g(x) e x，f (x)有沒有零點等價于ym和g(x) exx有沒有交點因為g (x)ex10，g(x)單調遞減，因為g( m)emm故可知y m和g(x) exx有一個交點,即f(x)有一個零點。設f