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1、哈爾濱學院本科畢業(yè)論文（設計）題目： 等比級數(shù)在冪級數(shù)中的拓廣 院（系）理學院專 業(yè)數(shù)學與應用數(shù)學年 級2009級姓 名學 號指導教師曹 輝職 稱副教授2013年 5 月 20 日目 錄摘要1ABSTRACT2前言3第一章預備知識41.1等比級數(shù)的斂散性41.2冪級數(shù)及其收斂域41.2.1 冪級數(shù)的定義41.2.2 冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域51.2.3 冪級數(shù)的分析性質51.3函數(shù)展開成冪級數(shù)6泰勒（Taylor）級數(shù)61.3.2直接法將函數(shù)展開成冪級數(shù)7 間接法將函數(shù)展開成冪級數(shù)7第二章等比級數(shù)在冪級數(shù)中的應用92.1等比級數(shù)在求冪級數(shù)和函數(shù)中的應用92.1.1 形如的冪級數(shù)求和函數(shù)92.1

2、.2 形如的冪級數(shù)求和函數(shù)132.2等比級數(shù)在函數(shù)展成冪級數(shù)中的應用15結束語18參考文獻19后記20摘 要 在冪級數(shù)中，級數(shù)求和函數(shù)與函數(shù)展開成冪級數(shù)都是非常重要的問題，此問題的解決方法有它的特殊性，其中可以用間接方法解決，即借助等比級數(shù)的結果，可以達到預期的效果。本文首先討論了等比級數(shù)的斂散性，然后給出了冪級數(shù)的有關問題，包括冪級數(shù)的定義、收斂半徑、收斂域、泰勒級數(shù)以及函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法，最后對等比級數(shù)的應用做了一個較系統(tǒng)的分析。它們分別是等比級數(shù)在求冪級數(shù)和函數(shù)中的應用、在函數(shù)展成冪級數(shù)中的應用以及等比級數(shù)的重要意義，這些應用為研究其他有關問題奠定了基礎。特別是采用間接方法時等比級數(shù)

3、的結果，起到非常重要的作用。關鍵詞：等比級數(shù)；冪級數(shù)；和函數(shù)；間接法ABSTRACTIn power series, the series summation functions are expanded into power series with the very important issue, the solution of this problem has its particularity, which can be resolved by indirect methods, which use the geometric series results can achieve th

4、e desired results.This paper first discusses the Convergence of geometric series, and then gives the power series of related issues, including the definition of power series, radius of convergence, domain of convergence, Taylor series and the function expansion into power series method, Finally, the

5、 application of geometric series to do a more systematic analysis.They are seeking power series in the geometric series and functions in the application development function into a power series in the application and the importance of geometric series, these applications for research laid the founda

6、tion for other related issues. Especially when using the indirect method the results of geometric series, play a very important role.Key words：geometric series; Power series ; Summation function ; Indirect method 前 言冪級數(shù)是函數(shù)級數(shù)中的一類重要級數(shù)。對于冪級數(shù),主要討論兩方面的問題:一方面是收斂性及和函數(shù)問題;另一方面是如何將已知函數(shù)展開成冪級數(shù)。本文就此討論等比級數(shù)在求冪級數(shù)的和

7、函數(shù)以及將函數(shù)展開成冪級數(shù)時的應用。等比級數(shù)是數(shù)學分析中一個非常重要的級數(shù)，在冪級數(shù)中，級數(shù)求和函數(shù)與函數(shù)展開成冪級數(shù)是一個難點，采用間接方法時等比級數(shù)的結果對解題起到非常重要的作用，因此如何應用等比級數(shù)求和函數(shù)與展開成冪級數(shù)是本文主要探討的內容。本文不僅對冪級數(shù)的有關定義進行了總結，而且對等比級數(shù)的各種應用做了系統(tǒng)的闡述與分析。通過本課題的研究使學生能夠加深對冪級數(shù)的進一步理解，使解題變得更加簡便，也對問題中的一些解題技巧有很大的幫助。本文第一章首先對等比級數(shù)的斂散性進行了討論，進而給出了與冪級數(shù)有關的一些概念、定理、冪級數(shù)的分析性質、泰勒（Taylor）級數(shù)、直接法將函數(shù)展開成冪級數(shù)、間接

8、法將函數(shù)展開成冪級數(shù)并給出了常用的函數(shù)展開式、等內容。函數(shù)的冪級數(shù)展開是高等數(shù)學的教學重點之一,在解決函數(shù)的冪級數(shù)展開的問題中,等比級數(shù)起著重要的作用。故本文第二章介紹了利用等比級數(shù)將函數(shù)展開成冪級數(shù)的常見情形,并給出了具體的例子。同時也對等比級數(shù)在求兩個形式的冪級數(shù)的和函數(shù)中的應用進行了闡述，并以具體實例加深理解。第一章 預備知識1.1 等比級數(shù)的斂散性 討論等比級數(shù) 的斂散性，其中是公比。解 當時，已知等比級數(shù)的項部分和當時，存在極限，且因此，當時，等比級數(shù)收斂，其和是。即當時，不存在極限，且因此，當時，幾何級數(shù)發(fā)散。 1.2 冪級數(shù)及其收斂域1.2.1 冪級數(shù)的定義在函數(shù)項級數(shù)中有一類結

9、構簡單、應用廣泛的特殊的函數(shù)項級數(shù)，稱為冪級數(shù)，其中，都是常數(shù)，稱為冪級數(shù)的系數(shù)。如果令，上面的冪級數(shù)就化為最簡形式的冪級數(shù) （1-1）為了方便，我們下面討論的就是冪級數(shù)（1-1）1.2.2 冪級數(shù)的收斂半徑、收斂域冪級數(shù)（1-1）在：絕對收斂；在：發(fā)散。這個稱為冪級數(shù)（1-1）的收斂半徑。我們作如下規(guī)定：若冪級數(shù)（1-1）僅在原點收斂，則它的收斂半徑；若冪級數(shù)（1-1）在收斂，則它的收斂半徑。于是，任意冪級數(shù)都有唯一一個收斂半徑。冪級數(shù)（1-1），即，由它的系數(shù)數(shù)列所確定。因此即冪級數(shù)（1-1）的收斂半徑也必由它的系數(shù)數(shù)列唯一確定。我們有下面定理：定理1 有冪級數(shù)（1-1），即，若 （或）則

10、冪級數(shù)（1-1）的收斂半徑設冪級數(shù)（1-1）的收斂半徑是，那么冪級數(shù)（1-1）都絕對收斂。在開區(qū)間的兩個端點與，冪級數(shù)（1-1）的收斂域必是收斂區(qū)間，只能是四類區(qū)間：，之一。 冪級數(shù)的分析性質若冪級數(shù)的收斂半徑為，則有（1）和函數(shù)在內是連續(xù)的。若在端點（或）處收斂，則和函數(shù)在點左連續(xù)（或在點右連續(xù)）。（2）冪級數(shù)可以逐項微分，即，若逐項微分后得到的冪級數(shù)在端點（或）處收斂，則逐項微分以前的冪級數(shù)在點（或）也收斂。（3）冪級數(shù)可以逐項積分，即，若冪級數(shù)在端點（或）處收斂，則積分上限可取為（或）。1.3 函數(shù)展開成冪級數(shù) 泰勒（Taylor）級數(shù)定理2 若函數(shù)在區(qū)間能展成冪級數(shù)，即，有則函數(shù)在區(qū)間

11、存在任意階導數(shù)，且，定理1指出，若函數(shù)在的領域能展成冪級數(shù)，則在此領域必存在任意階導數(shù)，并且冪級數(shù)的系數(shù)由函數(shù)的階導數(shù)在的值唯一確定，即如果函數(shù)在存在任意階導數(shù)，我們總能形式的寫出相應的冪級數(shù)：稱為函數(shù)在的泰勒級數(shù)，記為其中符號“”表示上式右端的泰勒級數(shù)是由函數(shù)生成的。特別地，函數(shù)在的泰勒級數(shù)，即稱為函數(shù)的麥克勞林級數(shù)。 直接法將函數(shù)展開成冪級數(shù)以下主要討論的是函數(shù)在點處展為冪級數(shù)的問題用直接法將函數(shù)展開為的冪級數(shù)的步驟是（1） 求出在點處各階導數(shù)值，（2） 寫出冪級數(shù)并求出收斂半徑。（3） 在收斂區(qū)間內考察泰勒級數(shù)余項的極限（介于0與之間）是否為零，如果為零，則第（2）步寫出的冪級數(shù)就是的冪

12、級數(shù)展開式。 間接法將函數(shù)展開成冪級數(shù)這種方法是利用已知函數(shù)展開式，經(jīng)過適當?shù)乃膭t運算、復合步驟以及逐項微分、逐項積分等把所給函數(shù)展為冪級數(shù)。常用的函數(shù)展開式有（1） ，（2） （3） （4） （5） （6） （7） ，是常數(shù)，第二章 等比級數(shù)在冪級數(shù)中的應用2.1 等比級數(shù)在求冪級數(shù)和函數(shù)中的應用對于冪級數(shù)求和函數(shù)的問題，首先要求記住一些常用級數(shù)的和函數(shù)，其次要善于利用適當?shù)淖兞看鷵Q、冪級數(shù)的代數(shù)運算和分析運算，把所討論的級數(shù)化為已知和函數(shù)的冪級數(shù)的形式，求其和，再作相應的逆運算。在求冪級數(shù)的和函數(shù)時，一般都是先通過逐項求導、逐項積分等轉化為可直接求和的等比級數(shù)，在求和后再通過逐項積分、逐項

13、求導等逆運算最終確定和函數(shù)。要注意的是，這些運算均在冪級數(shù)的收斂區(qū)間內進行，寫出和函數(shù)時，必須注明收斂區(qū)間。故利用等比級數(shù)的結果來進行計算就非常重要，下面用例子說明。2.1.1 形如的冪級數(shù)求和函數(shù)對于形式的冪級數(shù),在求和函數(shù)時,采取先逐項求導，然后用公式求其和函數(shù)，最后再積分的方法.例1 求冪級數(shù)的和函數(shù)解 先求得冪級數(shù)的收斂半徑為，收斂區(qū)間為.設冪級數(shù)的和函數(shù)為，則其中設，則由和函數(shù)逐項求導的性質，有（此處應用了等比級數(shù)）于是而故 且當時，.于是 =.例2 求冪級數(shù)在區(qū)間內的和函數(shù)S(x)解 設,則，由于則由和函數(shù)逐項求導的性質，有，（此處應用了等比級數(shù)）因此又由于,故 ， 所以 ， 例3

14、 求冪級數(shù)的收斂域，并求其和函數(shù)。解 ，收斂半徑。當時，原級數(shù)為收斂；當時，原級數(shù)為收斂。故冪級數(shù)的收斂域為.令 則由和函數(shù)逐項求導的性質，有（此處應用了等比級數(shù)）對上式兩邊積分，有當時，原級數(shù)為收斂。當時，級數(shù)為 (因為，當時)；當時，級數(shù)為。故的和函數(shù)為，且 ， ，注 對于上述例3也可以按下面方法求解分別求出，的和，就可得出的和。小結 例題應用了和函數(shù)逐項求導的性質，利用適當?shù)淖兞看鷵Q、冪級數(shù)的代數(shù)運算和分析運算，將級數(shù)化為已知的等比級數(shù)的展式進行求和。 形如的冪級數(shù)求和函數(shù)對于形式的冪級數(shù),在求和函數(shù)時,采取先逐項求積分，然后用公式求其和函數(shù)，最后再求導數(shù)的方法. 例4 求的收斂域及和函

15、數(shù)。解 ，收斂半徑R=1，在端點處，級數(shù)為，發(fā)散；在處，級數(shù)為，發(fā)散，故收斂域為。設，則由和函數(shù)逐項積分的性質，有然后兩邊對求導，得例5 求級數(shù)，解 設，則由和函數(shù)逐項積分的性質，有上式兩端求導得即例6 求冪級數(shù)的收斂域，并求其和函數(shù)。解 因為故該級數(shù)的收斂域為。設，則由和函數(shù)逐項積分的性質，有，小結 由等比級數(shù)的和函數(shù)公式出發(fā)，經(jīng)過逐項求導、逐項積分、換元以及加減法等運算，可以求出某些冪級數(shù)的和函數(shù)。例如（1） ，；（2） ，；（3） ，；（4） ，；（5） ，。2.2 等比級數(shù)在函數(shù)展開成冪級數(shù)中的應用 在函數(shù)展成冪級數(shù)時，一般是利用已知的函數(shù)展開式，借助等比級數(shù)的結果，經(jīng)過適當?shù)乃膭t運算

16、、復合步驟以及逐項微分、逐項積分等把所給函數(shù)展為冪級數(shù)。例7 將函數(shù)展開為的冪級數(shù)。解 （此處應用了等比級數(shù)） ，所以，. 例8 將展開成的冪級數(shù)。解 由，（此處應用了等比級數(shù)）得從而故 ，. 例9 將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。解 ，其中，（此處應用了等比級數(shù)），（此處應用了等比級數(shù)）于是，小結 等比級數(shù)無論是在求冪級數(shù)的和函數(shù)還是函數(shù)展成冪級數(shù)中都有著重要的意義。在求冪級數(shù)的和函數(shù)時，通過逐項求導、逐項積分等轉化為可直接求和的等比級數(shù)，從而可以較易求出冪級數(shù)的和函數(shù)。而在函數(shù)展成冪級數(shù)時，一般會利用等比級數(shù)的結果，經(jīng)過適當?shù)乃膭t運算、復合步驟以及逐項微分、逐項積分等把所給函數(shù)展為冪級數(shù)。 結束語等

17、比級數(shù)是數(shù)學分析中一個非常重要的級數(shù)，本文就此討論了等比級數(shù)在求冪級數(shù)的和函數(shù)以及將函數(shù)展開成冪級數(shù)時的應用，而這些應用為研究其他有關問題奠定了基礎。通過本課題的研究使學生能夠加深對冪級數(shù)的進一步理解，使解題變得更加簡便，也對問題中的一些解題技巧有很大的幫助。通過本次的畢業(yè)論文設計使我對數(shù)學專業(yè)有了更為深刻的認識，設計的過程是個不斷學習、不斷完善自我的過程，并且是對專業(yè)知識的進一步理解和體會。我總結了大學階段所學習的數(shù)學分析等有關知識，通過老師的指導以及自己查閱大量資料完成了本篇論文，希望能對以后這方面的研究有所幫助。參考文獻1 劉玉璉,傅沛仁.數(shù)學分析講義M.高等教育出版社. 20082 陳

18、文燈.高等數(shù)學輔導M.世界圖書出版社. 20043 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析M.高等教育出版社. 20014 吉米多維奇.數(shù)學分析習題集M.高等教育出版社. 20105 同濟大學應用數(shù)學系.高等數(shù)學M.同濟大學出版社. 20046 張?zhí)斓?韓振來.數(shù)學分析輔導及習題精解M.延邊大學出版社. 20117 徐森林,薛春華.數(shù)學分析M.清華大學出版社. 20058 黃永輝.數(shù)學分析選講M.中國鐵道出版社. 20089 羅利民.高等數(shù)學M.華南理工大學出版社. 200310 徐惠益.等比級數(shù)在冪級數(shù)問題中的應用J.常州信息職業(yè)技術學院學報. 200711 楊麗娟.無窮等比級數(shù)求和公式在級數(shù)中的應用J.長春師范學院學報. 200512 詹瑞清,盧海敏.高等數(shù)學M.學苑出版社. 200313 侯云暢.高等數(shù)學學習與考研指導M.國防工業(yè)出版社. 200614 張?zhí)斓?蔣曉蕓.高等數(shù)學習題精選精解M.山東科學技術出版社. 200715 朱寶彥,劉玉柱.高等數(shù)學學習指導M.北京大學出版社. 2008后 記本論文的