自主學(xué)習(xí)01教材內(nèi)容第四章中心力場(chǎng)中的粒子

1、自主學(xué)習(xí)01 教材內(nèi)容第四章 中心力場(chǎng)中的粒子知識(shí)框架 重點(diǎn)難點(diǎn) 第一節(jié) 第二節(jié) 第三節(jié) 第四節(jié)第五節(jié) 本章習(xí)題 本章自測(cè) 知識(shí)框架重點(diǎn)難點(diǎn)兩體問(wèn)題化為單體問(wèn)題，無(wú)限深球方勢(shì)阱，氫原子的求解，以及庫(kù)侖勢(shì),湯川勢(shì),諧振子勢(shì)等其他中心力勢(shì)的薛定諤求解F-H定理解決問(wèn)題為重點(diǎn)。氫原子，類(lèi)氫離子，三維各向同性諧振子勢(shì)為難點(diǎn)。4.1中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)本節(jié)要求本節(jié)使學(xué)生掌握中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的一些共同特點(diǎn)，在這里，角動(dòng)量守恒起了重要作用。本節(jié)的重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：兩體問(wèn)題化為單體問(wèn)題；角動(dòng)量守恒與徑向方程。并列出：庫(kù)侖勢(shì),湯川勢(shì),諧振子勢(shì)難點(diǎn)：徑向波函數(shù)在鄰域的漸近行為。本節(jié)教學(xué)內(nèi)容4.1.1兩體問(wèn)題化

2、為單體問(wèn)題中心力場(chǎng)問(wèn)題通常是兩體問(wèn)題.設(shè)兩個(gè)粒子的坐標(biāo)分別為和,質(zhì)量分別為和,而相互作用僅依賴于兩粒子之間的相對(duì)距離,則兩粒子的能量本征方程可表達(dá)為(1)式中為系統(tǒng)的總能量.引入質(zhì)心坐標(biāo)和相對(duì)坐標(biāo)為,或 (2)（在此要強(qiáng)調(diào)質(zhì)心坐標(biāo)以及相對(duì)坐標(biāo)在解決多體問(wèn)題中廣泛應(yīng)用，二體，三體等）可證明(3)式中為總質(zhì)量,為約化質(zhì)量, (4)這樣,方程(1)化為(5)此方程顯然可分離變量,（即與經(jīng)典力學(xué)一樣,可把質(zhì)心運(yùn)動(dòng)與相對(duì)運(yùn)動(dòng)分開(kāi)）令(6)分離變量后,得(7a)(7b)式(7a)是一個(gè)自由粒子的能量本征方程,它描述質(zhì)心運(yùn)動(dòng),是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)能量.（這一部分與我們研究的體系的內(nèi)部結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān),不予考慮.）式(7b)描

3、述兩粒子的相對(duì)運(yùn)動(dòng)部分,是相對(duì)運(yùn)動(dòng)能量.兩粒子相對(duì)運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于一個(gè)質(zhì)量為的粒子在中心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng).4.1.2角動(dòng)量守恒與徑向方程（中心力場(chǎng)中,粒子運(yùn)動(dòng)的能量、動(dòng)量和角動(dòng)量守恒,最重要的特征是角動(dòng)量守恒.）在經(jīng)典力學(xué)中,粒子角動(dòng)量守恒是非常明顯的.這是因?yàn)橹行牧?chǎng)是保守力場(chǎng),所受作用力與勢(shì)場(chǎng)的關(guān)系可表示為(8)從而角動(dòng)量隨時(shí)間的變化為(9)其物理含義是,粒子所受到的力矩為零.又,中心力場(chǎng)中經(jīng)典粒子的運(yùn)動(dòng)必為平面運(yùn)動(dòng).運(yùn)動(dòng)平面的法線方向即守恒量的方向.在選擇合適的參考系后,中心力場(chǎng)中經(jīng)典粒子的運(yùn)動(dòng)即可簡(jiǎn)化為在一個(gè)平面上的運(yùn)動(dòng).在量子力學(xué)中,角動(dòng)量也是守恒量.這是因?yàn)榻莿?dòng)量算符與哈密頓算符(10)對(duì)易

4、,即(11)但與經(jīng)典力學(xué)有一個(gè)明顯的不同,即守恒量的三個(gè)分量彼此不對(duì)易,中心力場(chǎng)中粒子的角動(dòng)量的三個(gè)分量一般而言不能同時(shí)具有確定值（除角動(dòng)量為0的態(tài)外）,因此,中心力場(chǎng)中粒子的運(yùn)動(dòng)在量子力學(xué)中不能簡(jiǎn)化為一個(gè)平面運(yùn)動(dòng).（比較經(jīng)典力學(xué)力學(xué)量和量子力學(xué)和力學(xué)量算符的含義和不同,算符貫穿量子力學(xué)體系）此外,考慮到存在三個(gè)不對(duì)易的守恒量,中心力場(chǎng)中粒子的能級(jí)一般是簡(jiǎn)并的。因此,僅考慮能量本征值,還不足以把本征態(tài)完全確定下來(lái),而需要尋找另一組守恒量完全集,用它們的共同本征態(tài)來(lái)標(biāo)記一個(gè)定態(tài).盡管的三個(gè)分量彼此不對(duì)易,但,而且,通常選用作為守恒量完全集,用它們的共同本征態(tài)來(lái)對(duì)定態(tài)進(jìn)行分類(lèi).此時(shí),屬于同一能級(jí)的

5、諸簡(jiǎn)并態(tài)可以完全標(biāo)記清楚,它們的正交歸一性也自動(dòng)得到保證.考慮的能量本征方程為(12)中心力場(chǎng)是球?qū)ΨQ性,采用球坐標(biāo)系,以便于將徑向部分與角度部分分開(kāi)處理.在球坐標(biāo)系中,拉普拉斯算符可表示為(13)能量本征方程化為(14)上式左邊第二項(xiàng)稱為“離心勢(shì)能”,角動(dòng)量愈大,則離心勢(shì)能愈大.第一項(xiàng)可以表為,稱為徑向動(dòng)能,其中(15)是徑向動(dòng)量.如取為的共同本征態(tài),即, (16)則得到徑向方程(17)不同的中心力場(chǎng)就決定了不同的徑向波函數(shù)及能量本征值.徑向方程中不含磁量子數(shù)m,因此,能量本征值與m無(wú)關(guān).這是容易理解的,因?yàn)橹行膱?chǎng)的球?qū)ΨQ性,粒子的能量顯然與z軸的取向無(wú)關(guān).但中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子的能量與角量

6、子數(shù)有關(guān),在給定下,m有個(gè)可能值.因此,一般而言,中心力場(chǎng)中粒子的能級(jí)是重簡(jiǎn)并的.在求解徑向方程(17)時(shí),有時(shí)作下述替換是方便的.令(18)則(19)求解徑向方程(17) 或(19),即可得出粒子能量的本征值E及徑向波函數(shù)R或約化徑向波函數(shù).4.1.3徑向方程的解在鄰域的行為（中心力場(chǎng)的勢(shì)的類(lèi)型多樣性:庫(kù)侖勢(shì),湯川勢(shì),諧振子勢(shì)等;注意區(qū)別徑向方程勢(shì)能部分）通常遇到的中心力場(chǎng),如：庫(kù)侖勢(shì),湯川勢(shì),線性勢(shì),諧振子勢(shì),對(duì)數(shù)勢(shì)等,都滿足條件：(20)當(dāng)時(shí),徑向方程(20) 的漸近形式為(21)顯然,是漸近方程(21) 的正則奇點(diǎn).在點(diǎn)鄰域,令,并代入上式,就得所謂指標(biāo)方程(22)其解為, (23)這

7、樣,當(dāng)時(shí),方程(21) 的兩個(gè)漸近解為, (24)是物理上不允許的,理應(yīng)拋棄.按照波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,在鄰域任意體積元中找到粒子的幾率應(yīng)為有限值.令,則當(dāng)時(shí),必須有<3/2.因此,當(dāng)時(shí),是不許的.對(duì)的漸近解,盡管不違反統(tǒng)計(jì)詮釋的要求,但解(25)并不滿足薛定諤方程.這是因?yàn)?26)從而(27)與方程(12) 比較,即知不是薛定諤方程的解.由此得出結(jié)論：徑向方程(17) 的徑向波函數(shù)當(dāng)時(shí)只能取的漸近解.由此,求解約化徑向方程(19) 時(shí)要求(28)考察時(shí)的約化徑向方程(19) 是很有意思的.此時(shí)約化徑向方程(19) 化為(29)(30)方程(29) 與一維勢(shì)場(chǎng)中的薛定諤方程相似,但變量變化不

8、同,前者,而后者.因此,把中心力場(chǎng)中的結(jié)果外推到一維勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)要特別注意這一點(diǎn).4.2無(wú)限深球方勢(shì)阱本節(jié)要求本節(jié)使學(xué)生掌握經(jīng)典無(wú)限深球方勢(shì)阱的推導(dǎo)，課余進(jìn)一步了解和比較有限深球方勢(shì)阱。本節(jié)的重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)及難點(diǎn)：一維定態(tài)波函數(shù)的求解，注意特殊函數(shù)的運(yùn)用。 本節(jié)教學(xué)內(nèi)容考慮粒子在半徑為的球形剛性匣子中運(yùn)動(dòng), 這相當(dāng)于粒子在一個(gè)無(wú)限深球方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng), 勢(shì)場(chǎng)為(1)徑向方程為(2)徑向波函數(shù)滿足的邊界條件為(3)引入無(wú)量綱變量(4)則式(2) 化為(5)令(6)則(7)此為半奇數(shù)階的貝塞爾(Bessel) 方程.（一般介紹貝塞爾(Bessel) 方程，球紐曼(Neumann) 函數(shù)，亦可一帶而過(guò)

9、。） 它的兩個(gè)線性獨(dú)立解為與.定義球貝塞爾和球紐曼(Neumann) 函數(shù)(8)它們?cè)跁r(shí)的漸近行為是(9)當(dāng)時(shí), 解是物理上不能接受的. 因此, 在無(wú)限深球方勢(shì)阱內(nèi)的解應(yīng)取(10)其中是歸一化常數(shù), 或由束縛態(tài)邊界條件(3) 確定, 即(11)當(dāng)取有限值時(shí),只能取一系列分立值. 令的根依次記為,則粒子的能量本征值表為(12)特例: 對(duì)s態(tài)(),利用式(12), 粒子的能量本征值為(13)利用球貝塞爾函數(shù)的積分公式及邊條件(3), 可求出徑向波函數(shù)(10) 的歸一化常數(shù)(14)此時(shí)(15)（特例選講）思考題1.證明的根可由解出.2.證明的根可由解出.4.3氫原子及類(lèi)氫離子本節(jié)要求本節(jié)使學(xué)生掌握氫

10、原子的薛定諤方程嚴(yán)格求解，一般了解復(fù)雜原子及分子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。本節(jié)的重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)及難點(diǎn)：氫原子的求解，即，庫(kù)侖勢(shì)的中心力場(chǎng)求解；類(lèi)氫離子。1.有關(guān)能級(jí)的討論2.有關(guān)波函數(shù)的討論3.電流密度與磁矩本節(jié)教學(xué)內(nèi)容(具體解出氫原子和類(lèi)氫離子的薛定諤方程,可得出氫原子和類(lèi)氫離子的能級(jí)與波函數(shù),從而定量地解釋其光譜線規(guī)律及其它一些重要特征.同時(shí),對(duì)氫原子和類(lèi)氫離子的定量認(rèn)識(shí)也是理解復(fù)雜原子及分子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ).)（重點(diǎn)講解氫原子，讓學(xué)生掌握氫原子的求解）氫原子和類(lèi)氫離子的原子核帶正電荷+Ze (對(duì)氫原子,而對(duì)類(lèi)氫離子) ,而核外只有一個(gè)帶負(fù)電荷的電子.取無(wú)窮遠(yuǎn)處為勢(shì)能的零點(diǎn),則原子核與電子之間的庫(kù)侖作用能為,

11、 (1)式中Z為原子序數(shù).氫原子和類(lèi)氫離子的約化徑向方程為(2)式中為折合質(zhì)量,M和m分別是原子核和電子的質(zhì)量.令, (3)則方程可簡(jiǎn)化為(4)顯然是方程的兩個(gè)奇點(diǎn).我們首先考察其在這兩個(gè)奇點(diǎn)鄰域的行為.首先考慮時(shí)的漸近行為.當(dāng)時(shí),方程(4) 的物理上可接收的漸近解為(5)其次考慮時(shí)的漸近行為.對(duì)束縛態(tài),當(dāng)時(shí),方程(4) 化為(6)其解為.考慮到束縛態(tài)邊界條件,即當(dāng)時(shí),只能取(7)于是,讓方程(4) 的解具有如下形式(8)代入方程(4) ,得(9)(對(duì)合流超幾何方程做一般性的介紹)這個(gè)方程屬下列合流超幾何方程,即(10)參數(shù)(正整數(shù)) , (11)方程(10) 在鄰域有界的解為合流超幾何函數(shù)(

12、12)無(wú)窮級(jí)數(shù)解在時(shí)行為.這樣的解代入式(8) ,不能滿足無(wú)窮遠(yuǎn)處的束縛態(tài)邊界條件.為了得到物理上允許的解,要求無(wú)窮級(jí)數(shù)(12) 必須在有限項(xiàng)中斷.從式(12) 可以看出,只要等于0或負(fù)整數(shù)即可滿足這一要求,于是, (13)令,則.將式(3) 代入,得(14)式中稱為玻爾半徑,稱為玻爾第n軌道速度, 稱為精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù),它表征電磁相互作用的強(qiáng)度.相應(yīng)于的徑向波函數(shù)為(15a)(15b)式中,為歸一化常數(shù),它的形式保證(16)在表5.3中列出了屬于較低的幾個(gè)能級(jí)的徑向波函數(shù).可以看出,徑向波函數(shù),除原點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)外,有個(gè)節(jié)點(diǎn)數(shù)目.氫原子及類(lèi)氫離子的定態(tài)波函數(shù)是守恒量完全集的共同本征態(tài),且屬于能級(jí)的

13、定態(tài)波函數(shù)表示為(17)1.有關(guān)能級(jí)的討論（關(guān)于能級(jí)的討論做一般性的介紹）(a) 能級(jí)是簡(jiǎn)并度的.這是因?yàn)榻o定主量子數(shù)n,有n個(gè)值,而對(duì)每一個(gè)角量數(shù)的值,又有個(gè)磁量子數(shù)的值.這樣,能級(jí)對(duì)應(yīng)的波函數(shù)的個(gè)數(shù),即簡(jiǎn)并度為(18)能級(jí)對(duì)磁量子數(shù)m簡(jiǎn)并,即與m無(wú)關(guān),其原因是勢(shì)場(chǎng)為中心力場(chǎng),它是球?qū)ΨQ的,電子的能量與空間取向無(wú)關(guān)；能級(jí)對(duì)角量子數(shù)簡(jiǎn)并,即與無(wú)關(guān)，這是源于庫(kù)侖場(chǎng)的作用.堿金屬中價(jià)電子所處的勢(shì)場(chǎng)也是中心力場(chǎng),但原子實(shí)中其它電子的屏蔽作用,價(jià)電子所受力場(chǎng)不是簡(jiǎn)單的庫(kù)侖場(chǎng),盡管它所受力場(chǎng)仍只與r有關(guān),而與取向無(wú)關(guān).這時(shí),堿金屬電子能級(jí)為(19)與有關(guān),從而能級(jí)與有關(guān).例如,在中心力場(chǎng)中,.因此,在一

14、般中心力場(chǎng)中,電子的能級(jí)是度簡(jiǎn)并的,僅對(duì)庫(kù)侖場(chǎng),電子的能級(jí)才是n2度簡(jiǎn)并的. (b) 從式(14) 可見(jiàn),能級(jí)隨n的增大而增大,而相鄰能級(jí)的間距(20)隨n的增大而減小.對(duì)氫原子(21)基態(tài)能級(jí)為.當(dāng)時(shí),能量為,電子可脫離原子核而電離,電離能為.(c) 利用能級(jí)公式(14),可解釋氫原子和類(lèi)氫離子的光譜線的規(guī)律.（可以在適當(dāng)介紹物理學(xué)家得到氫原子和類(lèi)氫離子的光譜線的物理背景，使增添趣味性，加深學(xué)生對(duì)抽象內(nèi)容的形象化，助于記憶）2有關(guān)光譜的討論電子從高能級(jí)向低能級(jí)躍遷時(shí),發(fā)射出的光線的波數(shù)為, (22a)(Rydberg常數(shù)) (22b)與光譜規(guī)律的里茲并合原則完全一致.所有的到同一低態(tài)的躍遷頻

15、率組成一個(gè)譜系.對(duì)氫原子,到m=1的態(tài)的躍遷構(gòu)成Lyman線系,處于紫外光譜區(qū)；到m=2的態(tài)的躍遷構(gòu)成對(duì)應(yīng)Balmer線系,處于可見(jiàn)光區(qū),首先被發(fā)現(xiàn)；到m=3的態(tài)的躍遷構(gòu)成Paschen線系；到m=4的態(tài)的躍遷構(gòu)成Brackett線系；到m=5的態(tài)的躍遷構(gòu)成Pfund線系.對(duì)類(lèi)氫離子,應(yīng)特別提及著名的Pickering線系,該線系是E.C.Pickering于1896年在船艫座星的可見(jiàn)光譜線中發(fā)現(xiàn)的,并與氫原子光譜中的Balmer線系很相似,具有相同的極限.后來(lái)Fowler在氫和氦混合氣體中也觀測(cè)到了這個(gè)線系.若把此線系歸入氫原子光譜,則會(huì)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)量子數(shù).N.Bohr把它解釋為He+ 發(fā)出的光

16、譜線.按類(lèi)氫離子能級(jí)公式(14) ,He+能級(jí)公式為(23)從躍遷到發(fā)出的光的波數(shù)為(24)對(duì),有(25)這里是He+ 的Redberg常數(shù),它與氫原的略有差異.從式(22b) 可知(26)即略大于.如果忽略這種微小差異,式(25) 與Balmer線系很相似,特別是其極限位置幾乎相同.3. 有關(guān)波函數(shù)的討論（講授中結(jié)合電子的軌道模型s,p,d,f,g,，強(qiáng)調(diào)量子力學(xué)中電子運(yùn)動(dòng)沒(méi)有所謂的軌道）氫原子和類(lèi)氫離子的定態(tài)波函數(shù)是三個(gè)可同時(shí)測(cè)量的量的本征態(tài).也就是說(shuō),彼此對(duì)易的力學(xué)量的數(shù)目與電子的自由度相同,因此的本征值相應(yīng)的三個(gè)好量子數(shù)足以確定波函數(shù).按光譜學(xué)上的習(xí)慣,把的態(tài)記為.有時(shí)還借用玻爾的量子

17、論觀點(diǎn),習(xí)慣上稱為軌道,軌道,等等.（知?dú)湓雍皖?lèi)氫離子的定態(tài)波函數(shù),就可討論氫原子和類(lèi)氫離子在空間各點(diǎn)的幾率分布.）當(dāng)氫原子或類(lèi)氫離子處于定態(tài)時(shí),在點(diǎn)周?chē)w積元內(nèi)找到電子的幾率為(27) (1)徑向幾率分布式(27)對(duì)從0到,而對(duì)從0到積分,并注意到的正交歸一性,便得到在的球殼內(nèi)找到電子的幾率為(28)表4.3.1 氫原子(Z=1) 和類(lèi)氫離子(Z>1)徑的向波函數(shù).nlnr光譜符號(hào)()1001s2012s102p3023s113p203d如圖4.3.2所示,電子處于比較低的幾條能級(jí)時(shí)的徑向幾率分布.從曲線可更清楚地看到,徑向波函數(shù)除原點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)外的確有個(gè)節(jié)點(diǎn),而且有個(gè)極大值,其中一

18、個(gè)主極大和一些輔極大.與玻爾的量子論不同,量子力學(xué)中電子無(wú)軌道概念,只能確定其位置的分布幾率.值得注意的一個(gè)有趣的事實(shí)是,屬于各能級(jí)的所謂圓軌道,即給定下,的軌道,其徑向幾率分布的最大值對(duì)應(yīng)的半徑,即最概然半徑,可由徑向波函數(shù)(15a) 計(jì)算的極值點(diǎn)位置求出為(29)即氫原子和類(lèi)氫離子的最概然半徑與玻爾的量子論給出的半徑相同.(2)角向幾率分布式(27) 對(duì)從0到積分,并注意到的正交歸一性,可得在方向附近立體角內(nèi)的幾率為(30)它與無(wú)關(guān),這是因?yàn)槭鞘睾懔康谋菊鲬B(tài),角分布將保持對(duì)z軸的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性.因此,可用通過(guò)z軸的任何一個(gè)平面上的曲線來(lái)刻畫(huà)幾率密度隨的變化曲線,而在全空間的分布曲面,只需用此曲

19、線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周即可得到.如圖6.3.3所示,給出了在一些態(tài)中對(duì)的函數(shù)關(guān)系.值得注意的是,盡管氫原子和類(lèi)氫離子哈密頓算符是球?qū)ΨQ的,但還不能說(shuō)在一切狀態(tài)下的電子分布都是球?qū)ΨQ的.事實(shí)上,僅在s態(tài)下,電子的幾率分布才是球?qū)ΨQ的.4. 電流密度與磁矩在態(tài)下,電子的幾率流密度為(31)利用球坐標(biāo)系中梯度算符的表達(dá)式(32)由于中徑向波函數(shù)及部分波函數(shù)都是實(shí)數(shù),從式(31) 可見(jiàn),.幾率流的唯一非零分量是分量,即(33)如圖4.3.4所示,設(shè)是垂直于流方向的面元,則通過(guò)此面元的電流元為(34)此電流元繞z軸圍成的面積為,那么電流元(34) 對(duì)磁矩的貢獻(xiàn)為(35)這里是橫截面積為的環(huán)的體積.利用波函數(shù)的

20、正交歸一性,可得總磁矩為(36)式中稱為玻爾磁子.特別注意,式(36) 與波函數(shù)的具體形式無(wú)關(guān),適用于一切中心力場(chǎng)中的束縛態(tài).與角動(dòng)量z分量的正負(fù)號(hào)相反是源于電子帶負(fù)電之故.量子數(shù)表明磁矩是量子化的,是玻爾磁子的整數(shù)倍.量子數(shù)決定磁矩的大小,所以,稱為磁量子數(shù).對(duì)的態(tài),沒(méi)有磁矩,因?yàn)殡娏鳛榱?此外,(37)稱為回轉(zhuǎn)磁比率,其中稱為朗德因子或就稱g因子,而這里g=1是軌道角動(dòng)量的特征.4.4海爾曼費(fèi)曼(HF)定理本節(jié)要求本節(jié)使學(xué)生掌握海爾曼費(fèi)曼(HF)定理，以及能量本征值及各種力學(xué)量平均值隨參數(shù)變化的規(guī)律，從而簡(jiǎn)便計(jì)算。本節(jié)的重點(diǎn)與難點(diǎn)如果體系的能量本征值已求出，避免利用波函數(shù)進(jìn)行繁瑣計(jì)算，利用

21、F-H定理可得關(guān)于各種力學(xué)量平均值的許多信息。 本節(jié)教學(xué)內(nèi)容 (特別推導(dǎo)由海爾曼費(fèi)曼(HF)定理得到位力定理) 設(shè)體系的哈密頓算符含有某參量l,且的本征值為En的歸一化本征函數(shù)(束縛態(tài)) 為Yn (n為表征本征態(tài)的一組量子數(shù)), 則(1)證: Yn滿足能量本征方程(2)視l為參變量, 上式對(duì)l求導(dǎo), 得(3)以Yn* 左乘上式, 并對(duì)坐標(biāo)空間積分, 得(4)利用及的厄米性質(zhì)(5)代入式(4), 即得HF定理.例1. 己知一維諧振子對(duì)應(yīng)于能級(jí)的本征函數(shù)為yn,求處于yn 態(tài)時(shí)動(dòng)能和勢(shì)能的平均值.解: 視w為參變量, 對(duì)w求導(dǎo), 有(6)根據(jù)HF定理, 可得(7)即(8)再利用(9)可求出(10)

22、例2. 質(zhì)量為m的粒子在中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng), 試?yán)肏F定理及維里定理分析能級(jí)構(gòu)造式對(duì)的依賴關(guān)系.解: 哈密頓算符為(11)令,l和b是獨(dú)立的參數(shù), 則(12)根據(jù)HF定理, 對(duì)任何一個(gè)束縛態(tài), 有(13)兩式相加, 即得(14)由維里定理, 則得(15)代入式(14), 得(16)將式(16) 代入式(14), 可得(17)式(17) 積分, 分別得到E與l和b之間的構(gòu)造關(guān)系(18)c1 和c2 為積分常數(shù), 分別與l和b無(wú)關(guān). 比較式(18) 兩式, 可得(19)c與l和b無(wú)關(guān), 是無(wú)量綱純數(shù)(與n及量子數(shù)有關(guān). 上式是量綱正確的唯一可能的能量構(gòu)造式.從式(19) 可見(jiàn), n>-2時(shí),作

23、用強(qiáng)度|l|增大,|E|隨之增大. 如l與粒子質(zhì)量無(wú)關(guān), 則n>0時(shí),m 增大,|E|也增大. 如l與粒子質(zhì)量有關(guān), 由式(11) 和(12), 可得出(20)三維各向同性諧振子本節(jié)要求本節(jié)使學(xué)生了解中心力場(chǎng)中的三維各向同性諧振子。本節(jié)的重點(diǎn)與難點(diǎn)三維各向同性諧振子勢(shì)得到廣泛運(yùn)用，處理原子核內(nèi)的單粒子運(yùn)動(dòng)以及進(jìn)一步剩余相互作用時(shí)，它是一個(gè)初步的近似。 本節(jié)教學(xué)內(nèi)容（縱向比較：一維諧振子，二為諧振子到三維諧振子的比較。橫向和其他中心勢(shì)比較和總結(jié)）考慮質(zhì)量為m的粒子在三維各向同性諧振子勢(shì)(1)中運(yùn)動(dòng),w 為經(jīng)典諧振于的自然振動(dòng)的角頻率. 在球坐標(biāo)系中,徑向方程為(2)令(3)則(4)顯然,

24、是微分方程的奇點(diǎn). 按§6.2的分析, 在鄰域, 物理上可接受的徑向波函數(shù)的漸近行為.當(dāng)時(shí), 方程(4) 化為(5)其解為,但不滿足束縛條件, 棄之. 所以,. 這樣, 可令方程(4) 的解為(6)代入式(4), 可得(7)再令(8)方程(7) 化為(9)這正是合流超幾何方程, 方程中相應(yīng)的參數(shù)為(10)方程(9) 有兩個(gè)解, 即與.由于,按§6.2分析, 這個(gè)解是物理上不能接受的. 因此, 方程(9) 的解只能取(11)在一般情況下, 如確系一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù), 則不難看出, 級(jí)數(shù)的相鄰的高冪次()項(xiàng)的比值與的無(wú)窮級(jí)數(shù)相同, 因此, 當(dāng)時(shí), .這樣的無(wú)窮級(jí)數(shù)代入式(6), 所得

25、徑向波函數(shù)在時(shí)趨于,不滿足束縛態(tài)邊條件. 這要求無(wú)窮級(jí)數(shù)解在有限級(jí)次中斷, 即(12)將式(3) 代入上式, 得(13)令(14)則(15)此即三維各向同性諧振子的能量本征值. 與之相應(yīng)的歸一化徑向波函為(16)最低的幾個(gè)徑向波函數(shù)是(17)從式(14) 和(15) 可見(jiàn), 對(duì)三維各向性諧振子勢(shì), 能級(jí)只依賴于徑向量子數(shù)和角量子數(shù)的一種特殊的組合, 即只依賴于.對(duì)給定能級(jí)(n為奇數(shù))(n為偶數(shù))由此可知, 能級(jí)的簡(jiǎn)并度為(18)例如,n為偶數(shù)情況n為奇數(shù)情況, 可類(lèi)似地證明.（聯(lián)系三維各向同性諧振子在球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的求解）三維各向同性諧振子也可在直角坐標(biāo)系中求解. 利用,三維各向同性諧振子可

26、分解為三個(gè)獨(dú)立的一維諧振子, 即(19)其中它們的本征函數(shù)可以分離變量, 相當(dāng)于選為守恒量完全集, 其共同本征態(tài)為(20)即三個(gè)一維諧振子能量本征態(tài)之積. 相應(yīng)的能量本征值為(21)與式(15) 相同. 可類(lèi)似地求出能級(jí)的簡(jiǎn)并度. 對(duì)于給定能級(jí),有所以可能取值的數(shù)目, 即能級(jí)的簡(jiǎn)并度為與式(18) 相同. 實(shí)際上, 波函數(shù)與是三維各向同性諧振子的態(tài)空間的兩種不同的基矢. 前者是的共同本征態(tài), 后者是的共同本征態(tài). 屬于同一能級(jí)的量子態(tài)的數(shù)目(簡(jiǎn)并度) 是相同的, 但基矢選擇不同, 彼此之間通過(guò)一個(gè)幺正變換相聯(lián)系. 例如,n=1的能級(jí)有三個(gè)態(tài), 可以取為或不難證明本章訓(xùn)練1. 對(duì)中心力場(chǎng)的任何一

27、個(gè)束縛態(tài), 證明并解釋其經(jīng)典力學(xué)含義.提示: 利用答: 等價(jià)于證明: 對(duì) 態(tài), 無(wú)經(jīng)典對(duì)應(yīng). 對(duì)態(tài), , 它是向心力的周期平均.2. 設(shè)粒子在一個(gè)球方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng), (a) 求時(shí)的能級(jí),(b) 證明恰好具有一條的能級(jí)的條件是答: (a) 時(shí)的能級(jí)由確定, 其中,.3. 根據(jù)氫原子光譜的理論, 討論下列體系的能譜: (a) 電子偶素(指束縛態(tài)),(b) 原子(指氫原子核外電子被粒子取代而形成的原子),(c)子偶數(shù)(指束縛態(tài)).4. 設(shè)堿金屬原子中的價(jià)電子所受原子實(shí)的作用近似表示為,為玻爾半徑,求價(jià)電子的能級(jí).提示: 令,即答: 能級(jí)為.對(duì),可令,.5. 對(duì)類(lèi)氫離子的的共同本征態(tài),試從徑向方程證明之

28、間的遞推關(guān)系(Kramers公式)給出此公式成立的條件, 并用于計(jì)算.答: 成立條件:. 上式中令, 可得令,并利用§6.4式(34), 可得6. 設(shè)粒子在二維各向同性諧振子勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng),求粒子的能量本征函數(shù)和相應(yīng)的能量本征值, 并討論能級(jí)的簡(jiǎn)并度.答: 在極坐標(biāo)系中,能級(jí)的簡(jiǎn)并度為第四章 自測(cè)練習(xí)一、單項(xiàng)選擇題（每題5分，共25分）     1、下列勢(shì)場(chǎng)不是中心力場(chǎng)的（D）     A. 庫(kù)侖勢(shì)         B. 各向同性

29、諧振子  C. 氫原子       D.一維諧振子     2、下列離子可以看作類(lèi)氫原子中心力場(chǎng)（A、B）     A.            B.            C.     &#

30、160;     D.     3、下列是類(lèi)氫原子光譜線的（D）     A. Lyman線系      B. Balmer線系     C. Paschen線系    D.Pickering線系     4、三維各向同性諧振子的對(duì)稱性（D）     A.  

31、           B.             C.           D.      5、氫原子束縛態(tài)的對(duì)稱性（C）     A.     &

32、#160;        B.            C.             D.二、判斷題（每題3分，共15分）     1、中心力場(chǎng)中，庫(kù)侖場(chǎng)、各向同性諧振子場(chǎng)能夠嚴(yán)格求解的。      &

33、#160;        （對(duì)）     2、在中心力場(chǎng)V(r)中,粒子運(yùn)動(dòng)的能量、動(dòng)量和角動(dòng)量守恒。                （對(duì)）     3、中心力場(chǎng)中粒子的運(yùn)動(dòng)在量子力學(xué)中能簡(jiǎn)化為一個(gè)平面運(yùn)動(dòng)。       

34、0;    （錯(cuò)）     4、中心力場(chǎng)中，只要考慮能量本征值就可以把本征態(tài)完全確定下來(lái)。        （錯(cuò)）     5、中心力場(chǎng)既可以在球坐標(biāo)系處理，也可以在直角坐標(biāo)系中處理。           （對(duì)）三、回答問(wèn)題（或計(jì)算題）（60分）     1、質(zhì)量分別為

35、m,m的兩個(gè)粒子組成的體系，質(zhì)心座標(biāo)標(biāo)為：=                       (1)                        

36、60; (2)試求總動(dòng)量及總角動(dòng)量在, 表象中的算符表示。（6分）解 （a）合動(dòng)量算符。根據(jù)假設(shè)可以解出，令：                    （3）                       

37、;（4）（1分）設(shè)各個(gè)矢量的分量是，,和。為了計(jì)算動(dòng)量的變換式先求對(duì)，等的偏導(dǎo)數(shù)：           (5)                 (6) （1分）關(guān)于， 可以寫(xiě)出與（5）（6）類(lèi)似的式子，因而：           

38、             =  （1分）   (b)總角動(dòng)量         =利用（3），（4），（5），（6）：                     &

39、#160;（1分）=                          （1分）=         因而。               &#

40、160;               （1分）     2、證明 ，（6分）        證明 第一式        =          （1分） 

41、0;   但  +=                         +即=     （2分）同樣寫(xiě)出關(guān)于y,z的式子，相加得：+=因是任意函數(shù)，因而第一式得證。          

42、;                           （1分）第二式的證明：該式是矢量的恒等式，取等式左方一式的x分量并蔣它運(yùn)算于任何函數(shù)，要注意 標(biāo)量算符而是矢量算符：             &

43、#160;                                                  

44、                                                  

45、                                                  

46、                                                  

47、                                                  

48、                 =     （1分）     =                      （1分）因此在出寫(xiě)出關(guān)于y,z的式子后有

49、。     3、中心力場(chǎng)中的經(jīng)典粒子的哈密頓量是其中。當(dāng)過(guò)渡到量子力學(xué)時(shí)，要換為                         問(wèn)是否厄米算符？是否厄米算符。（5分）解 對(duì)第一個(gè)算符取厄米共軛算符，加以變換，看其是否與原算符相等，為此利用乘積的厄米算符公式（）=。    

50、60;                       （1分）若,則 ，因?yàn)?等自身是厄     米的,因而有要看出,的關(guān)系將作用于任意函數(shù)：                

51、0;                     =                        =      

52、                  =                       （2分）即，因而不是厄米算符。因?yàn)槔靡陨辖Y(jié)果，或者直接對(duì) 取厄米共軛式，都證明.因此可認(rèn)為是厄米的，證明在后面，但

53、是關(guān)于這問(wèn)題學(xué)術(shù)上有爭(zhēng)論，因?yàn)樗€需要滿足另一些條件(Liboff)。CfRLLiboff: American  Journal  of  Physics 976(1973)                                  

54、0;           =              =     CfAMessian:Quantum Mecnanics P346(1961)               &#

55、160;         （2分）     4、經(jīng)典力學(xué)中在量子力學(xué)中此式是否成立？在什么條件下此式成立？（5分）     解                  =+         

56、60;         +                            （1分）              &

57、#160;  =                   +                   +        （1分）  

58、60;              =                                    &

59、#160;                                                  

60、（1分）最后一式加上下述這個(gè)等于零的式子：                 （1分）得：因此經(jīng)典角動(dòng)量平方公式與量子力學(xué)的不相同，只有=0才相同。                        

61、60;                   （1分） 5、求出氫原子基態(tài)波函數(shù)在動(dòng)量表象中的表示式。利用所得結(jié)果，計(jì)算。用x表象中的氫原子波函數(shù)計(jì)算,并驗(yàn)證測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式。（10分）解本題是三維問(wèn)題，氫原子基態(tài)波函數(shù)用座標(biāo)表象時(shí)寫(xiě)作：               

62、0;          (1) （1分）但是玻爾半徑，將（1）代入三維的座標(biāo)，動(dòng)量波函數(shù)變換式：                                   &#

63、160;   (2) （1分）為使計(jì)算簡(jiǎn)單，可選擇z軸與動(dòng)量的瞬時(shí)方向重合，這樣將（2）中的用（1）式代入，進(jìn)行積分，積分的次序是，r：                             =        

64、0;        =                       =                     

65、;  =            =                                 (3) （1分）其次為了驗(yàn)證氫原子的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系，需

66、要計(jì)算座標(biāo)動(dòng)量的平均值，計(jì)算與座標(biāo)有關(guān)的平均值時(shí)，用為波函數(shù)，反之計(jì)算動(dòng)量平均值時(shí)，可用動(dòng)量波函數(shù)：測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的驗(yàn)證，是通過(guò)一個(gè)指定方向（如x軸）的分量間關(guān)系：          （1分）                            

67、60;     =                          =                    

68、0;                       =                          (4) （1分）在計(jì)算動(dòng)量

69、有關(guān)平均值時(shí)，可采用動(dòng)量相空間的球面極座標(biāo)參考系，設(shè)動(dòng)量相空間直角坐標(biāo)為，則球面極座標(biāo)用表示，                    =                       

70、0;(5)（1分）                   =                       (6)（1分）與p有關(guān)的積分可用替代入(6)式的第一道積分，得：   

71、60;              =                  =                  

72、                      （1分）代入（6）得：                    =        

73、60;           （1分）代入測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式：                                      

74、     （1分） 6、在動(dòng)量表象中寫(xiě)出氫原子的能量本征方程式，并證明角動(dòng)量的各個(gè)分量均為守恒量。（14分）解（一）建立動(dòng)量表象的能量本征方程式，勢(shì)能為此先寫(xiě)下座標(biāo)表象的薛氏方程式（直角坐標(biāo)還是球面極座標(biāo)不分）：                            &

75、#160;    （1分）   遍乘，并對(duì)座標(biāo)積分：                                         (1)

76、（1分）等號(hào)左方第一積分用二次分部積分中的加以下述福里哀變換，就得到動(dòng)量表象的能量本征方程：              (2)得：          (3) （1分）式中：                  &

77、#160;              (4) （二）核的計(jì)算：   先作（4）式類(lèi)似的計(jì)算，假設(shè)是個(gè)座標(biāo)表象的波函數(shù)，它的相應(yīng)的動(dòng)量表象函數(shù)是，則正逆兩種變換是：                        

78、              (5)                                    (6) （1分

79、）將拉普拉斯算符作用于兩邊得：                (7)根據(jù)（7）式寫(xiě)出它的逆變換式，并且與（5）式對(duì)比，有：                         =   

80、              (8) （1分）將（4）（5）二式比較知道只需在中作置換，再乘：                   (9)因此我們最后得到動(dòng)量表象的三維能量本征方程式，專(zhuān)用于庫(kù)侖場(chǎng)。        

81、;               (10) （1分）                                 （三）動(dòng)量表象中，角動(dòng)量分量守恒的

82、證明。有兩面種方法，或用直角坐標(biāo)表示角動(dòng)量算符，或用球面極座標(biāo)表示，用前者較為簡(jiǎn)單，要證明角動(dòng)量分量（例如）是守恒量，其必要條件是它可以和哈密頓算符對(duì)易，即：                                     

83、0;                           (11)這里，用動(dòng)量表象書(shū)寫(xiě)時(shí)，可以用直角坐標(biāo)表標(biāo)表象的式子加以適宜的置換來(lái)得到這種置換是：        因而得到        

84、                             (12) （1分）至于，的動(dòng)量表象依類(lèi)似方法。（10）式中的哈氏算符可從（10）看出：              

85、0;                       (13)右方第二項(xiàng)是“積分算符”，當(dāng)它運(yùn)算于時(shí)，就相當(dāng)于將填入括號(hào)( )。設(shè)想對(duì)易算符作用在一個(gè)任意的動(dòng)量表象的波函數(shù)上面：                 &

86、#160;                                    (14) （1分）假使能證明I=0，則因?yàn)槿我?，我們便證明了（11），將（13）代入（14）      &#

87、160;        =（15）（1分）分別計(jì)算動(dòng)能與勢(shì)能這兩部分的對(duì)易算符,先計(jì)算動(dòng)能部分的：       =                          =    &#

88、160;           =                       +                

89、0;                                  (16)（2分）這證明了動(dòng)能部份，是和角動(dòng)量分量相能相對(duì)易的。其次計(jì)算（15）式中與勢(shì)能有部分的對(duì)易式，即（15）式第二個(gè)大括號(hào)內(nèi)一式，能夠證明，括號(hào)內(nèi)兩項(xiàng)相抵消，為此從第二項(xiàng)開(kāi)始變形： 

90、                   =             =  (17) （1分）前一式的第一二個(gè)積分分別為對(duì)分動(dòng)量和進(jìn)行積分后，分積分限，如果是個(gè)三維的平方可積函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，則在代入分限后被積函數(shù)也趨于零，只剩下三個(gè)積分：     = &#

91、160;                     =                       =      

92、0;                =    = =                              (18)（2分）(

93、18)式最前一式和最一式的關(guān)系相當(dāng)于（15）式第二部分為零。因?yàn)槭侨我夂瘮?shù)，因而說(shuō)明是守恒量。同理可以證明，在動(dòng)量表象的有心力問(wèn)題中也是守恒的。 7、設(shè)氫原子處于基態(tài)，求電子處于經(jīng)典力學(xué)不允許區(qū)(EV=T<0)的幾率。（4分）  解 在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)總能量一定時(shí)，軌道半徑受到限制，設(shè)玻耳半徑a，則總能量粒子的勢(shì)能則隨著到核的距離r而變，表示作，動(dòng)能是一者的差數(shù)：(從理論上講，距離r可以擴(kuò)展到無(wú)限遠(yuǎn)處)               

94、        (1)（2分）使T(r)>0,r<2a,在量子力學(xué)中，電子可以在離核任何距離r處出現(xiàn)，它在經(jīng)典力學(xué)中不允許范圍中出現(xiàn)的幾率是： =  =        =                                       （2分） 8、證明，對(duì)于庫(kù)侖場(chǎng)，（是總能量）。（3分）