直線平面平行與垂直的判定及其性質(zhì)證明題詳解

1、直線、平面平行與垂直的判定及其性質(zhì)7 .在四棱錐 P ABC前，四邊形 ABCDg梯形，AD/ BC, / ABC=90 ,平面 PAB平面 ABCD平面PADL平面ABCD.(1)求證：PAL平面ABCD(2)若平面 PAB平面PCD l ,請說明理由【解析】(1)因?yàn)? ABC=90 : AD/ BC所以AD± AB.而平面PAB 面ABCD且平面 PAB平面ABCD=AB, 所以ADL平面PAB, 所以AD± PA.同理可得AB± PA. ?由于AR AD 平面ABCD且ABI AD=A以PAL平面ABCD.(2)(方法一)不平行.證明：假定直線l /平面A

2、BCD,由于l 平面PCD且平面 PCD平面ABCD=CD,所以l / CD.同理可得l / AB,所以AB/ C.D這與AB和CD是直角梯形ABCD勺兩腰不平行相矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，所以直線l與平面ABC”平行.(方法二)因?yàn)樘菪?ABC前AD/ BC,所以直線AB與直線CD相交，設(shè) ABI CD=T.由T CD CD 平面PCD導(dǎo)T 平面PCD.同理T平面PAB.即T為平面PCg平面PAB的公共點(diǎn)，于是 PT為平面PCg平面PAB的交線.所以直線l與平面ABC壞平行.8 . 如圖，在三棱柱ABC AB1C1中， AB BC,BC BCi,AB BC1 , E,F,G分別為線段ACi, AC”

3、BB的中點(diǎn)，求證：(1)平面 ABC 平面 ABC1 ；(2) EF 面 BCC1B1;(3) GF 平面 AB1G【解析】 QBC ABBC 平面ABC1Q BC 平面ABC平面ABC 平面ABCi(2)QAE EC1,AF FC1, EF /AA1Q EF 面 BCC1B1 EF 面 BCC1B1；(3)連接EB,則四邊形EFGB為平行四邊Q EB AC1 FG AC1Q BC 面ABC1 BG 面 ABC1B1C1 BE FG B1C1,QBGIACi CiGF 平面 ABiCi。9.在四棱錐 O ABCB,底面ABCM菱形，ON平面ABCD E為OA的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，求證：(1)

4、平面BDOL平面ACO(2) EF/ 平面 OCD.【解析】 證明：l OA 平面ABCD , BD 平面ABCD ,所以O(shè)A BD ,四邊形ABCD是菱形，AC BD ,又OAI AC A,BD 平面 OAC ,又 BD 平面OBD , /.平面BDO 平面 ACO .取 OD 中點(diǎn) M ,連接 EM,CM，貝U ME | AD,ME AD , 四邊形 ABCD 是菱形，AD/BC,AD BC ,丁 F 為 BC 的中點(diǎn)，CF | AD,CF ：AD ,- ME | CF ,ME CF .四邊形EFCM是平行四邊形，EF /CM ,又 EF 平面 OCD , CM 平面 OCD . EF I

5、I 平面 OCD .E是BC的中點(diǎn).如圖10 .如圖 l ,等腰梯形 ABC前，AD/ BC, AB=AD / ABC=60,2,將 ABE沿AE折起，使二面角 B-AE-C成直二面角，連結(jié)BC,BD, F是CD的中點(diǎn)，P是棱BC的中點(diǎn).(1)求證：AE± BD;(2) 求證：平面PEN平面AECD(3)判斷DE能否垂直于平面ABC僑說明理由.圖1圖2【解析】(1)連接BE,取AE中點(diǎn)M ,連接BM ,DM .Q在等腰梯形 ABCD中，AD / BC ,AB=AD ABC 60 ,E是BC的中點(diǎn)ABE與ADE都是等邊三角形BM AE,DM AEQ BM I DM M ,BM ,DM

6、平面 BDMAE 平面BDMQ BD 平面BDMAE BD .(3) DE與平面 ABC不垂直.(2)連接CM交EF于點(diǎn)N ,連接PNQ ME / FC ,且 ME = FC四邊形MECF是平行四邊形N是線段CM的中點(diǎn)Q P是線段BC的中點(diǎn)PN / BMQ BM 平面 AECDPN 平面AECD . Q PN 平面PEF 平面PEF 平面AECD證明：彳設(shè)設(shè) DE 平面 ABC , 貝U DE ABQ BM 平面 AECD BM DEQABI BM B, AB,BM 平面 ABE DE 平面 ABE P DE AE ,這與 AED 60o矛盾'DE與平面 ABC不垂直./11 .如圖，

7、在四棱錐P ABCD中，底面ABCD中為菱形，戶 中點(diǎn)。(1) 若PA PD ,求證：平面 PQB 平面PAD ;(2)點(diǎn)M在線段PC上，PM tPC,試確定實(shí)數(shù)t的值， 得PA II平面MQB。BAD 60【解析】(1)連BD , Q四邊形ABCD菱形 AD AB ,PA PD Q為AD的中點(diǎn)， AD PQ又 BQ I PQ QAD 平面PQB , AD 平面PAD.1 一(2)當(dāng)t 時(shí)，使得PA 平面MQB ,連接AC父BQ于N ,父BD于。，則。為BD 的 3中點(diǎn)，又 BQ為 ABD邊AD上中線， N為正三角形ABD的中心，令菱形 ABCD的PAC 平面 MQB MNL3M為PA的中點(diǎn).

8、邊長為 a ,貝U AN a , AC 43a。 3Q PA |平面MQB PA 平面PAC 平面PA II MN.3 a .PM 的 3=-即：PM 1 PC tPC AC , 3a 3312.如圖，四邊形 ABC虛菱形，PA1平面ABCD(I )求證：PC/平面BDM(n )若PA= AO <2 , BD= 2上,求直線BM與平面PAC所成的角.【解析】（I ）設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O,連結(jié)OM.因?yàn)樗倪呅蜛BCDg菱形，則。為AC中點(diǎn).又M為PA的中點(diǎn)，所以 OM/ PC.因?yàn)镺M在平面BDMrt,所以PC/平面BDM.（II ）因?yàn)樗倪呅蜛BC混菱形，則BD± AC.又

9、PA，平面 ABCD 貝U PAX BD.所以BD，平面PAC.所以/ BM偎直線BMUf平面PAC所成的角. ri因?yàn)?PA，平面 ABCD 所以 PA± AC.在 Rt PAC3,因?yàn)?PA= AO J2,則 PO2.1又點(diǎn)M與點(diǎn)O分別是PA與AC的中點(diǎn)，則MO= 2P01.1 里打又 BO= 2 BD= <3，在 Rt BOMF, tan / BMOMO ,所以 / BMO 60 ° .故直線BM與平面PACff成的角是60.13 . 一個(gè)棱柱的直觀圖和三視圖 （主視圖和俯視圖是邊長為 a的正方形，左視圖是直 角邊長為a的等腰三角形）如圖所示，其中 M、N分別是

10、AB、AC的中點(diǎn)，G是DF 上的一動點(diǎn).（I）求證：GN A。（n）求三棱錐F MCE的體積；（田）當(dāng)FG GD時(shí)，證明AG/平面FMC.連結(jié) DN, 那臚D CD,FD AD,所以 fd 面 ABCD FD ACa的等腰直c A 以 所D N G 面所以GN AC(II ) VE FMCVADF BCE VF AMCD VE MBC11 1 za .11aa a a (_a) a a 23 2 23 2 2、/、/1go另解:VE FMCVM CEF 3 AD S CEF(m )連結(jié)de交FC于Q,連結(jié)QG因?yàn)镚，Q，M分別是“其公的中點(diǎn)，所以gq/2CD ?AM / ICD，所以，AM / GQ , AMGQ是平行四邊形所以，AG 平面FMC.AG / QM , AG 面 FMC , MQ 面 FMC14 .如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的6倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)。(1)求證：AC! SR(2)若SDL平面PAC在SC上取一點(diǎn)E,使S& 用二二21 ,連接be,求證：BE/ 平面PAC.【解析】(1)連B