靜態(tài)套利定價理論APTDOC

1、第五講 靜態(tài)套利定價理論第一節(jié) 套利機(jī)會考慮一個無摩擦經(jīng)濟(jì)，假定投資者在期初進(jìn)行投資決策，期末的資產(chǎn)回報具有不確定性。假定該經(jīng)濟(jì)中存在種可以進(jìn)行交易的風(fēng)險資產(chǎn)，其隨機(jī)回報率向量、線性無關(guān)，具有有限方差和期望回報率，其它風(fēng)險資產(chǎn)和投資組合都是這N種風(fēng)險資產(chǎn)的線性組合。假定風(fēng)險資產(chǎn)可以無限賣空。記Z為這N種資產(chǎn)的回報率矩陣，即：則對任意一個可行投資組合w，投資一份該組合的成本為，回報率向量為Zw。定義：一個投資組合被稱為套利組合，如果其成本為零，即。定義：一個投資組合（或資產(chǎn)）被稱為無風(fēng)險組合（或資產(chǎn)），如果該組合（或資產(chǎn)）在每個自然狀態(tài)上具有相同的回報，即，其中R為無風(fēng)險利率。定義：一個特定的投

2、資組合被稱為可復(fù)制的(duplicable)，如果存在其它不同的投資組合，滿足。定義：稱一個投資組合是第一類套利機(jī)會，如果它滿足： ，。其中第二個不等號至少有一個分量嚴(yán)格大于零。第一類套利機(jī)會代表了一種投資，具有非正的成本，卻在將來有可能獲得正的收益，獲得負(fù)的收益的可能為零。定義：稱一個投資組合是第二類套利機(jī)會，如果它滿足： ，第二類套利機(jī)會代表了一種投資，其成本為負(fù)，未來收益非負(fù)。在一個經(jīng)濟(jì)中可能只有第二類套利機(jī)會，而沒有第一類套利機(jī)會。例如：并不存在，滿足，因為。但時，滿足，但。在一個經(jīng)濟(jì)中可能只有第一類套利機(jī)會，而沒有第二類套利機(jī)會。例如： 。對任意投資組合，其回報率向量為。只存在第一類

3、套利機(jī)會，而沒有第二類套利機(jī)會。定義：一個或有權(quán)益（或衍生資產(chǎn)）是期末回報完全由其它資產(chǎn)回報率決定的資產(chǎn)。包括遠(yuǎn)期合約(forward contract)、期權(quán)等。例如：一份遠(yuǎn)期合約(forward contract)，指在期末以期初約定的價格購買特定資產(chǎn)的義務(wù)。假定該資產(chǎn)的隨機(jī)回報為，操作價格為X，則該遠(yuǎn)期合約的隨機(jī)回報為： 。例如：一份一期的看漲期權(quán)(call option)，代表了一種在期末以特定價格購買指定資產(chǎn)的權(quán)利。如果標(biāo)的資產(chǎn)的隨機(jī)回報為，期權(quán)的操作價格為X，則該期權(quán)的隨機(jī)回報為： 例如：一份一期的看跌期權(quán)(put option)，代表了一種在期末以特定價格賣出指定資產(chǎn)的權(quán)利。如果

4、標(biāo)的資產(chǎn)的隨機(jī)回報為，期權(quán)的操作價格為X，則該期權(quán)的隨機(jī)回報為： 第二節(jié) 無套利定價無套利條件下的期權(quán)價格關(guān)系：假定期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)期初價格為，期末價格為，期權(quán)的執(zhí)行價格為K，經(jīng)濟(jì)中的無風(fēng)險利率為。記看漲期權(quán)價格為，看跌期權(quán)價格為，則有如下性質(zhì)：性質(zhì)1：。性質(zhì)2：看漲期權(quán)的價格是其執(zhí)行價格的凸函數(shù)，即： ，。性質(zhì)3：在相同操作價格K下，標(biāo)的在n種資產(chǎn)構(gòu)成的投資組合上的看漲期權(quán)的價格，要小于標(biāo)的在各資產(chǎn)上的看漲期權(quán)的價格的相同權(quán)重的加權(quán)和，即： ，。 性質(zhì)4：（看跌-看漲平價關(guān)系）。價格向量和資產(chǎn)價格：定義：一個向量p被稱為支撐經(jīng)濟(jì)Z的價格向量，如果該向量滿足：。注：如果N種資產(chǎn)的當(dāng)前價格向量為v

5、，期末回報矩陣為Y，則上述定義等價于。此處是一個維的向量，代表了自然狀態(tài)的基本權(quán)益價格，這種基本權(quán)益可以刻畫為：。經(jīng)濟(jì)中的價格向量p確定后，任給一份資產(chǎn)或投資組合p，知道其回報向量，則期初價格為。例如：操作價格為X的看漲期權(quán)(call option)，如果標(biāo)的資產(chǎn)的隨機(jī)回報為，則該期權(quán)的期初價格為： 。定理2.1：存在一個支撐回報率矩陣Z的非負(fù)價格向量的充分必要條件為不存在第二類套利機(jī)會。例：，則，因此有： ， 。在該經(jīng)濟(jì)中存在第二類套利機(jī)會。定理2.2：存在一個支撐回報率矩陣Z的正的價格向量的充分必要條件為同時不存在第一類和第二類套利機(jī)會。例：，則，因此，定理2.2的條件不成立，該經(jīng)濟(jì)中存在

6、著第一類套利機(jī)會。例：，該經(jīng)濟(jì)存在一個價格向量：。容易證明，該經(jīng)濟(jì)中不存在兩類套利機(jī)會。在該經(jīng)濟(jì)中，如果存在一種資產(chǎn)，其期末回報服從：，則該資產(chǎn)的期初價格為，標(biāo)的在該資產(chǎn)上的操作價格為2的看漲期權(quán)價格為： 。第三節(jié) 因子模型與APT一、因子模型定義：因子模型(factor model)是指一種假設(shè)證券回報率僅與不同因子變化有關(guān)的經(jīng)濟(jì)模型。因子模型的特點(diǎn)是：（1） 因子模型中的因子系統(tǒng)地影響所有證券價格的經(jīng)濟(jì)因素；（2） 證券回報率之間的相關(guān)性僅源于對因子變化的共同反應(yīng)；（3） 證券回報率中不能由因子模型解釋的部分是該證券獨(dú)有的部分，與其它證券獨(dú)有部分無關(guān)。在因子模型中，資產(chǎn)的隨機(jī)回報率可以表示

7、為： ，在這類模型中，資產(chǎn)風(fēng)險可以分為因子風(fēng)險和非因子風(fēng)險，通過分散化投資可以縮小非因子風(fēng)險。根據(jù)因子的個數(shù)，因子模型可以分為單因子模型和多因子模型。例如：單因子模型：CAPM模型是一個單因子模型，因子為市場組合回報率（或切點(diǎn)組合回報率）。多因子模型：資產(chǎn)價格可能依賴于GDP增長率、利率水平、通貨膨脹率與石油價格，則這些變量都可以當(dāng)作因子。在實踐中，通?？梢赃x取與這些變量高度相關(guān)的資產(chǎn)或投資組合作為因子。在CAPM模型中，我們要求二基金分離成立，即：對于任意可行投資組合p的隨機(jī)回報率滿足：，其中e為切點(diǎn)組合，且，。如果上述條件不成立，直觀地我們可以想到，通過分散化投資也應(yīng)該可以將非系統(tǒng)風(fēng)險消除

8、，從而投資組合的期望收益率之間存在著類似的線性關(guān)系。Ross(1976)創(chuàng)立的套利定價理論（APT）告訴我們，如果經(jīng)濟(jì)中存在著大量的資產(chǎn)，并且不存在（極限情形下的）套利機(jī)會，那么在絕大多數(shù)資產(chǎn)的期望回報率之間仍然存在著一種近似線性關(guān)系。Ross(1976)的APT是一種多因子模型。定義：極限情形下的套利機(jī)會，是指一個具有期望回報率的下界大于零、方差收斂到零的套利組合序列。（無成本，且?guī)缀鯚o風(fēng)險地得到正的回報）二、Ross的APT理論1、模型建立考慮一個資產(chǎn)數(shù)上升的經(jīng)濟(jì)序列，假定市場是完全競爭的、無摩擦的，投資者是理性的、不飽和的，當(dāng)經(jīng)濟(jì)中存在套利機(jī)會時，投資者會通過構(gòu)造套利組合來增加自己的財富

9、。假定在第n個經(jīng)濟(jì)中，存在n個風(fēng)險資產(chǎn)和一個無風(fēng)險資產(chǎn)，風(fēng)險資產(chǎn)回報率由一個K-因子模型生成： ， 。 (5.1)滿足： ， ；, 。 ，。 利用線性代數(shù)(5.1)式可以改寫為： 。 (5.2)2、不存在非因子風(fēng)險的情形：（）定理5.1：當(dāng)，即風(fēng)險資產(chǎn)回報完全由K因子和無風(fēng)險資產(chǎn)生成時，如果經(jīng)濟(jì)中不存在套利機(jī)會，則資產(chǎn)回報率之間存在一個嚴(yán)格的線性關(guān)系：。 (5.3)證明：對資產(chǎn)j，首先構(gòu)造一個由無風(fēng)險資產(chǎn)和K因子構(gòu)成的投資組合，其投資組合權(quán)重滿足：，該投資組合的隨機(jī)回報率為： 。下面我們根據(jù)無套利條件，來證明關(guān)系式：（1）如果，則賣空一單位貨幣在證券j上，投資一單位貨幣在上，該組合是一個套利組

10、合，成本為零，但期末回報，這蘊(yùn)涵經(jīng)濟(jì)中存在套利機(jī)會，與命題的假設(shè)矛盾。（2）如果，則賣空一單位貨幣在上，投資一單位貨幣在證券j上，該組合是一個套利組合，成本為零，但期末回報，這蘊(yùn)涵經(jīng)濟(jì)中存在套利機(jī)會，與命題的假設(shè)矛盾。由此我們有，所以由(5.1)得，資產(chǎn)的期望回報率之間存在著如下的線性關(guān)系式： 。證明完畢。3、存在非因子風(fēng)險的情形（，）引理5.1：對于任意給定的正數(shù)，為滿足的資產(chǎn)數(shù)，如果極限情形下的套利機(jī)會不存在，則存在一個，對任意的，成立。 證明：采用反證法，假定不存在這樣一個，使得對所有的n，滿足，則序列存在一個子序列，滿足當(dāng)時，。下面我們來構(gòu)造套利組合：對于給定的，不妨假定滿足的資產(chǎn)為。

11、（1）對于每一個滿足條件的j，首先構(gòu)造一個由K個因子和無風(fēng)險資產(chǎn)構(gòu)成的投資組合，其投資組合權(quán)重滿足：，該投資組合的隨機(jī)回報率為： 。接著構(gòu)造套利投資組合：當(dāng)時，賣空一單位貨幣在上，投資一單位貨幣在證券j上；當(dāng)時，賣空一單位貨幣在證券j上，投資一單位貨幣在上。該組合是一個套利組合，其回報率為： 。其中 。（2）通過個套利組合來構(gòu)造套利組合，在中，在每個上的權(quán)重相等，都是。因此套利組合的期望回報率和方差分別為： ， 。由此出現(xiàn)了極限情形下的套利機(jī)會，與假設(shè)矛盾。定理5.2（Ross(1976)的APT）：當(dāng)經(jīng)濟(jì)中的資產(chǎn)數(shù)足夠多，且不存在極限情形下的套利機(jī)會時，對絕大多數(shù)資產(chǎn)而言，其期望回報率之間存

12、在一個近似線性關(guān)系。證明：根據(jù)引理5.1，對任意給定的正數(shù)，至多存在個風(fēng)險資產(chǎn)，其隨機(jī)回報率可以表示為，且有：。相應(yīng)地這些資產(chǎn)的期望回報率滿足： 因此當(dāng)n足夠大時，經(jīng)濟(jì)中絕大多數(shù)資產(chǎn)滿足： ，即期望回報率之間存在一個近似線性關(guān)系。三、均衡套利定價理論在Ross(1976)的APT理論中，當(dāng)資產(chǎn)數(shù)足夠大時，近似線性關(guān)系對絕大多數(shù)資產(chǎn)都成立；但對特定的資產(chǎn)而言，對這種線性關(guān)系的偏離可能很大，因此對任意給定的風(fēng)險資產(chǎn)，我們希望來估計其期望回報率對線性關(guān)系偏離的程度。這方面的研究由Dybvig(1983)、Crinblatt&Titmam(1983)和Connor(1984)等給出。1、 模型假設(shè)假定

13、經(jīng)濟(jì)中存在N種風(fēng)險資產(chǎn)和一種無風(fēng)險資產(chǎn)，其回報率分別為和。假定風(fēng)險資產(chǎn)嚴(yán)格地正供給，風(fēng)險資產(chǎn)回報率由K-因子模型生成： ， 。其中，相互獨(dú)立。假定效用函數(shù)單調(diào)增、嚴(yán)格凹、三次連續(xù)可微，且所有個體的絕對風(fēng)險回避系數(shù)存在一個上界，即： ，對成立。假定市場是均衡的，經(jīng)濟(jì)中不存在套利機(jī)會。2、 均衡套利定價理論定理（均衡APT）：在上述假定下，對任意的風(fēng)險資產(chǎn)j，我們有： 其中為投資在風(fēng)險資產(chǎn)j上的市場總值，I為投資者總數(shù)。證明：（1）當(dāng)時，類似于定理5.1的證明，有，因此風(fēng)險資產(chǎn)j的期望回報率服從： 。 （2）當(dāng)時， 首先考慮一個投資組合，該組合在無風(fēng)險資產(chǎn)和K因子上的權(quán)重分別為：，該投資組合的隨機(jī)回報率為： 。接下來構(gòu)造一個套利組合：投資單位貨幣在投資組合上，同時賣空單位貨幣的資產(chǎn)j，該套利組合的隨機(jī)回報率為： 。設(shè)個體的初始財富量為，期末的隨機(jī)財富量為，因為經(jīng)濟(jì)中不存在套利機(jī)會，如下最大化問題的解為。在處，上述最大化問題的一階條件可以表示為： ，即。上式可以改寫為： ，因此有：。 注意到，且風(fēng)險資產(chǎn)嚴(yán)格地正供給，因此至少存在一個個體，其投資在資產(chǎn)j上的財富量嚴(yán)格大于零，即，因此我們有： 。相應(yīng)地，當(dāng)時，我們有所有個體在資產(chǎn)j上的投資量都嚴(yán)格大于零。下面我們通過估計、的界，來估計的界，我們分