不可壓縮流體平面勢(shì)流

1、不可壓縮流體平面勢(shì)流不可壓縮勢(shì)流的勢(shì)函數(shù)方程和流函數(shù)方程不可壓縮勢(shì)流的勢(shì)函數(shù)方程和流函數(shù)方程9.1.1 9.1.1 勢(shì)函數(shù)勢(shì)函數(shù): : 在流場(chǎng)中存在一個(gè)函數(shù),它的方向?qū)?shù)分別等于該方向的流動(dòng)分速，這一函數(shù)就稱為速度勢(shì)函數(shù)，簡(jiǎn)稱勢(shì)函數(shù)或速度勢(shì) 勢(shì)函數(shù)只有在無(wú)旋流中才存在。即某一流動(dòng)勢(shì)無(wú)旋的，則這一流動(dòng)就是有勢(shì)的 ,即流場(chǎng)中流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)速度處處為零 yxVxyV21zxzVzxV21yzyVyzV21x有各方向上的旋轉(zhuǎn)速度為則可得:zVyVyz， xVzVzxyVxVxy勢(shì)函數(shù)的定義知,存在),( zyx它的方向?qū)?shù)zyxVVV,zyx,分別等于該方向的流動(dòng)分速 Vgrad, ,即 zVyzzy

2、zyyVyz2xVzxxzxzzVzx2yVxyyxyxxVxy2如果速度勢(shì)是具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單值函數(shù)，則上述無(wú)旋條件即可得到： 在無(wú)旋定常流中，勢(shì)函數(shù)只是空間坐標(biāo)的函數(shù)，所以勢(shì)函數(shù)的全微分可以表示為：dzVdyVdxVdzdydxdzyxzyx注意：注意：在無(wú)旋流中必存在勢(shì)函數(shù)。反之，如果流場(chǎng)中存在勢(shì)函數(shù)，則該流場(chǎng)一定是無(wú)旋流。所以無(wú)旋流與有勢(shì)流是等價(jià)的。9.1.2 9.1.2 平面流的流函數(shù)平面流的流函數(shù)在平面流中，如果該流動(dòng)滿足連續(xù)方程，則在這平面流中就存在一個(gè)流函數(shù) ，它的作用與有勢(shì)流中的勢(shì)函數(shù)類似，也可以用來(lái)描述整個(gè)流場(chǎng)。 平面流的流函數(shù)存在條件是滿足連續(xù)方程： 0 yVxVyxyxV

3、dyVdxdyVdxVxy對(duì)于平面流，流線方程可以寫成即由于式(9.4) 是式 (9.5) 的左邊為某一函數(shù)對(duì)坐標(biāo)全微分的充分必要條件，我們記這個(gè)函數(shù)為，稱為流函數(shù)。則有 0dyVdxVxy),(yxdyVdxVdyydxxdxyxVyyVx即 一旦一個(gè)連續(xù)流場(chǎng)的流函數(shù)得知后，通過(guò)交叉偏導(dǎo)數(shù)可以得到平面流的速度分布，再由柏努利方程即可求得全場(chǎng)的壓強(qiáng)分布。因此找到一個(gè)特定的平面流的流函數(shù)，就等于知道了該流場(chǎng)的速度、壓強(qiáng)。注意注意: :一切平面流動(dòng)的流場(chǎng)，不論是無(wú)粘流體還是有粘流體，也不論是有旋流動(dòng)還是無(wú)旋流動(dòng)，只要它滿足連續(xù)方程(94)，都存在著流函數(shù) .但是，只有無(wú)旋流動(dòng)才存在勢(shì)函數(shù)。因此，對(duì)

4、于平面流動(dòng)，流函數(shù)具有更普適的意義，它是研究平面流的有力工具。 勢(shì)函數(shù)方程和流函數(shù)方程拉普拉斯方程勢(shì)函數(shù)方程和流函數(shù)方程拉普拉斯方程9.1.3.1 9.1.3.1 勢(shì)函數(shù)方程勢(shì)函數(shù)方程 在平面定常無(wú)旋流中，同時(shí)存在勢(shì)函數(shù)和流函數(shù) ，如果將勢(shì)函數(shù)與速度的關(guān)系 : 即 和 VxVxyVy將之代入連續(xù)方程(9.4)，則有0 2222yxyyxxyVxVyx即可記為0 2 即是不可壓平面勢(shì)流的勢(shì)函數(shù)方程，該方程為拉普拉斯方程。說(shuō)明平面不可壓勢(shì)流的勢(shì)函數(shù)是調(diào)和函數(shù)。在勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)同時(shí)存在的條件下，流場(chǎng)中任意點(diǎn)的速度可表示為:0zyxVxyVyx9.1.3.2 9.1.3.2 流函數(shù)方程流函數(shù)方程 將流

5、函數(shù) 與速度的關(guān)系(9.7)式代入無(wú)旋關(guān)系 的式中，有02222yxxxyyxVyVyx02即為: 在推導(dǎo)上述方程時(shí)我們使用了無(wú)旋條件，因此流函數(shù)方程只是在平面定常不可壓勢(shì)流的情況下才存在。如果平面流是有旋的，那么該流動(dòng)有流函數(shù)存在，但是此時(shí)流函數(shù)并不滿足拉普拉斯方程。 等勢(shì)線和等流函數(shù)線的正交性等勢(shì)線和等流函數(shù)線的正交性等勢(shì)函數(shù)線等勢(shì)函數(shù)線是是指 的曲線 ，沿等勢(shì)線 ， 即C 0d0dyVdxVdyydxxdyx由上式，可得到等勢(shì)線在流場(chǎng)中任意點(diǎn)(x,y) 的斜率 yxCVVxdyd等流函數(shù)等流函數(shù)是指 的曲線，即流線，沿等流函數(shù)， 即C 0d0dyVdxVdyydxxdxy等流函數(shù)線在流場(chǎng)

6、中任意點(diǎn) (x,y) 的斜率 xyCVVxdyd等勢(shì)線和等流函數(shù)線在點(diǎn)(x,y ) 的斜率乘積 由此可見(jiàn)，在平面定常不可壓勢(shì)流中，等勢(shì)線和等流函數(shù)線正交。 1 xyyxCCVVVVxdydxdyd平面勢(shì)流疊加原理和幾種簡(jiǎn)單的平面勢(shì)流疊加原理和幾種簡(jiǎn)單的平面定常勢(shì)流平面定常勢(shì)流勢(shì)流疊加原理勢(shì)流疊加原理 面不可壓勢(shì)流的勢(shì)函數(shù)方程和流函數(shù)方程均是拉普拉斯方程，而拉普拉斯方程是線形方程，線形方程有一個(gè)重要的特征，即方程解的可疊加性。兩個(gè)或數(shù)個(gè)拉普拉斯方程解的和或差仍是拉普拉斯方程的解。的勢(shì)函數(shù)，從而獲得復(fù)雜勢(shì)流的解。這樣，我們就可以用一些簡(jiǎn)單的勢(shì)函數(shù)疊加來(lái)獲得一個(gè)復(fù)雜勢(shì)流 函數(shù)分別為 和 的兩個(gè)有勢(shì)流

7、動(dòng)，根據(jù)勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)，它們都滿足拉普拉斯方程，即可得到210)( )( 22122212yx即為0)(212兩個(gè)勢(shì)流疊加，得到一個(gè)速度勢(shì)為 的新的復(fù)合流動(dòng)，并且新的復(fù)合勢(shì)流的速度場(chǎng)也可以直接將各簡(jiǎn)單勢(shì)流速度場(chǎng)疊加而得212121)(xxxVVxxxxV21 21 212121)(yyyVVyyyyV 類似地，新的復(fù)合勢(shì)流的流函數(shù) ， 等于兩個(gè)原來(lái)的簡(jiǎn)單流動(dòng)流函數(shù)之和。 均勻直線流動(dòng)均勻直線流動(dòng) 設(shè)一平面流動(dòng)的速度在全場(chǎng)處處相同，它與軸的夾角為，則它的兩個(gè)分速分別為：bVVaVVyxsincos式中a,b為常數(shù) 這是一個(gè)無(wú)旋流動(dòng)，同時(shí)又滿足連續(xù)方程，利用勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)的性質(zhì)，有dybdxadyV

8、dxVdyydxxdyxdyadxbdyVdxVdyydxxdxy 積分這兩式，得到 如果取 (0,0)點(diǎn)的 則有 即 于是有等勢(shì)線和流線方程分別為 則有流線和 等勢(shì)線如右圖所示21CxbyaCybxa0, 0021CCxbyaybxaConstxbyaConstybxaxy圖圖9.1 9.1 均勻平行流均勻平行流點(diǎn)源和點(diǎn)匯點(diǎn)源和點(diǎn)匯2222vvrqqVrxy其分速為22cos22vvxrqqxxVVr rxy22sin22vvyrqqyyVVr rxy 設(shè)在無(wú)限大平面上，流體以一恒定的體積流量 ， 源源不斷地從一個(gè)點(diǎn)沿徑向向四周均勻地流出，這種流動(dòng)稱為點(diǎn)點(diǎn)源，源，這個(gè)點(diǎn)稱為源點(diǎn)。源點(diǎn)。 稱為

9、點(diǎn)源強(qiáng)度； 若為負(fù)值，則意味著流體沿徑向均勻地從四周流入一點(diǎn)，這種流動(dòng)稱為點(diǎn)匯。點(diǎn)匯。 若將坐標(biāo)原點(diǎn)作為源點(diǎn)或匯點(diǎn)，顯然，在這種流動(dòng)中，從源點(diǎn)流出或向匯點(diǎn)流入都只有徑向速度 ,切向速度為0rVvqvqvq根據(jù)以上速度分布，就可以容易地求出點(diǎn)源 (點(diǎn)匯) 的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)來(lái)：222222()24vvxyqqxdxydyd xydV dx V dyxyxy222( / )221 ( / )vvyxqqxdyydxd y xdV dx V dyxyy x積分之，得到 22ln()ln42vvqqxyr122vvqqytgx點(diǎn)源 (點(diǎn)匯) 的等勢(shì)線是 的一族同心圓，而等流函數(shù)線則是從源匯點(diǎn)發(fā)出的射線，

10、如圖9.2 所示。 Cr 注意注意: : 點(diǎn)源和點(diǎn)匯都是無(wú)旋流動(dòng)，即勢(shì)流。圖 點(diǎn)源 (點(diǎn)匯)動(dòng)畫演示動(dòng)畫演示PLAYPLAY點(diǎn)渦（有勢(shì)渦）點(diǎn)渦（有勢(shì)渦）點(diǎn)渦點(diǎn)渦: :形式上，流體在作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，但是除了原點(diǎn)以外，本質(zhì)上這是一種無(wú)旋流動(dòng)，故我們稱這種渦流為有勢(shì)渦。點(diǎn)渦的徑向速度為零，而切向速度與半徑成反比，它的流線是同心圓，等勢(shì)線是射線，因此，它的兩個(gè)分速可以表示為： 0, 2rVrV式中 稱為點(diǎn)渦強(qiáng)度。 取正值表示流動(dòng)為逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，負(fù)值表示順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。上式表明，其切向速度與半徑成反比，離圓心越遠(yuǎn)，流速越小。位于坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)渦的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)分別為xytg1 2222ln22rlnxy根據(jù)

11、速度勢(shì)的性質(zhì)，由速度勢(shì)即可求得直角坐標(biāo)下的各分速 即yxVV ,222yxyxVx222yxxyVy02221212222yxyyyxxxyVxVxyz點(diǎn)渦運(yùn)動(dòng)是無(wú)旋運(yùn)動(dòng)即有勢(shì)運(yùn)動(dòng)，除原點(diǎn)以外的流場(chǎng)旋轉(zhuǎn)角速度為零 在原點(diǎn)， ，因此在原點(diǎn)附近的流動(dòng)是有旋的 .Vr,0同理,可以求得極坐標(biāo)下的速度和角速度表達(dá)式幾種簡(jiǎn)單平面勢(shì)流的疊加勢(shì)流幾種簡(jiǎn)單平面勢(shì)流的疊加勢(shì)流 螺旋流螺旋流( (點(diǎn)源或點(diǎn)匯點(diǎn)渦點(diǎn)源或點(diǎn)匯點(diǎn)渦) ) 將平面勢(shì)流點(diǎn)源(或點(diǎn)匯)流動(dòng)和平面勢(shì)流點(diǎn)渦流動(dòng)疊加便得到一種新的平面勢(shì)流，稱為螺旋流或源環(huán)流(匯環(huán)流)，螺旋流中流體既作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)又作徑向運(yùn)動(dòng)，它的軌跡呈螺旋狀，故稱螺旋流螺旋流。

12、根據(jù)勢(shì)流疊加原理，螺旋流的勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)分別為：ln 22vqr ln22vqr由流函數(shù)便可得到流線方程 該式可以寫為 lnvqrCvqCre這是一族對(duì)數(shù)螺線，它的速度分布為22vrqVrrVrr 流體一面在作徑向運(yùn)動(dòng)，一面又在作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，二者的合成運(yùn)動(dòng)即為螺旋運(yùn)動(dòng)。 偶極流偶極流( (點(diǎn)源點(diǎn)匯點(diǎn)源點(diǎn)匯) )為了研究疊加以后的流場(chǎng)，首先研究圖所示的源匯疊加問(wèn)題。此時(shí)源點(diǎn)和匯點(diǎn)相距 。則在流場(chǎng)中任意點(diǎn) 處的勢(shì)函數(shù)為點(diǎn)源和點(diǎn)匯的勢(shì)函數(shù)之和2),( yxM 將強(qiáng)度為 和- 的點(diǎn)源和點(diǎn)匯無(wú)限地靠近并疊加起來(lái)，得到一種新的有勢(shì)流動(dòng)，這種流動(dòng)稱為偶極流。偶極流。 vqvq112122(lnln)ln22v

13、vqrrrqr1r2r式中式中 和和 為為M M點(diǎn)至源點(diǎn)和匯點(diǎn)的距離。由圖可知點(diǎn)至源點(diǎn)和匯點(diǎn)的距離。由圖可知221222)()(yxryxr2222222222 () ()4lnlnln 12()4()4()vvvxyxyxxyxxqqyyq代入得代入得若使源點(diǎn)和匯點(diǎn)無(wú)限地接近，即若使源點(diǎn)和匯點(diǎn)無(wú)限地接近，即 ，并將上式按級(jí)數(shù)，并將上式按級(jí)數(shù) 展開，并近似取第一項(xiàng)，可展開，并近似取第一項(xiàng)，可得得03/2/)1ln(32zzzz2244()vqxxy當(dāng)當(dāng)點(diǎn)源和點(diǎn)匯無(wú)限靠近時(shí)，令源、匯的強(qiáng)度 不斷增大，即 時(shí) ，但二者乘積的極限趨于某一常值，保持 常數(shù)，M稱為偶極流的偶極矩，偶極矩，或稱為偶極子的

14、強(qiáng)度。于是有偶極流的勢(shì)函數(shù)表達(dá)式 0vq 2vqM222yxxM1212( )2vqxytgxytg21,2222222121212)()(1)(yxyyxxyxytgtgtgtgtg偶極流的流函數(shù)也可用類似的方法求得： 代入流函數(shù)表達(dá)式，并用級(jí)數(shù)展開，保留第一項(xiàng)，得到vq當(dāng)點(diǎn)源和點(diǎn)匯無(wú)限靠近時(shí)，令源、匯的強(qiáng)度 不斷增大，即 時(shí) ，但二者乘積的極限趨于某一常值，保持 常數(shù)。于是得到偶極流的流函數(shù)為122222222 22vvqqyytgxyxy 0vq 2vqM222yxyM從偶極流的勢(shì)函數(shù)表達(dá)式(9.22)和流函數(shù)表達(dá)式(9.23)可以看出，等勢(shì)線和流線都是圓。并且兩者正交.還可以得到得到偶

15、極流的兩個(gè)速度分量： 22222)(2)(yxxyMxVx222)(2)2(yxyxMyVyvq不帶環(huán)量的圓柱繞流不帶環(huán)量的圓柱繞流 ( (均勻直線流偶極流均勻直線流偶極流) ) 我們將一個(gè)均勻平行流和偶極流疊加，就可以得到理想流體繞圓柱的平面有勢(shì)流動(dòng)。圖繪出了這兩個(gè)勢(shì)流疊加后流動(dòng)的示意圖。 圖圖9.5 9.5 均勻平行流偶極流理想流體繞均勻平行流偶極流理想流體繞圓柱的流動(dòng)圓柱的流動(dòng)對(duì)于一個(gè)流動(dòng)平行于 x 軸的流速為 的均勻平行流，其流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)分別為：VxVyV11, 2222222, 2yxxMyxyM)(212222221yxVMyVyxyMyV)(212222221yxVMxVyxx

16、MxV對(duì)于偶極流，它的流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)則分別為 根據(jù)勢(shì)流疊加原理，新構(gòu)成的勢(shì)流的勢(shì)函數(shù)、流函數(shù)分別為上述勢(shì)流的勢(shì)函數(shù)、流函數(shù)的代數(shù)和。由上述流函數(shù)公式可知，在y=0 及半徑為R的圓柱上，流函數(shù) 等于零，這是一條零流線，由此得到代入上述流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)公式得復(fù)合流動(dòng)的流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)表達(dá)式 : RVM2rRrVrRyV222sin1rRrVrRxV222cos109-249-251 1 零流線零流線令(9.24) 式為零，即 ，有 y=0 及r=R 兩個(gè)解，顯然零流線是 x軸和半徑為R 的圓柱面，即零流線是一條從負(fù)無(wú)窮遠(yuǎn)沿軸來(lái)的流線，在圓柱的前駐點(diǎn)與圓柱相撞，分為圖圖9.6 9.6 零流線零流線分為上

17、下兩條流線，研圓柱的上表面和下表面流動(dòng)，然后在圓柱的后駐點(diǎn)又匯合成一條流線，再沿x 軸正向朝正無(wú)窮遠(yuǎn)流去。 2 2 遠(yuǎn)場(chǎng)流動(dòng)遠(yuǎn)場(chǎng)流動(dòng) 將勢(shì)函數(shù)表達(dá)式 (925)分別對(duì)x,y求偏導(dǎo)數(shù)，可得這兩個(gè)方向的分速為 2222222222sincos1)(rRVyxyxRVVxVx222222sincos2)(2rRVyxyxRVyVyr 由上兩式可知，當(dāng)時(shí) ， ，這表明，在離圓柱體無(wú)窮遠(yuǎn)處，流體速度是平行于 x軸的流動(dòng)，且等于均勻平行來(lái)流的速度 。這有力地說(shuō)明，復(fù)合速度勢(shì)是代表了圓柱繞流問(wèn)題。0,yxVVVV3 3圓柱表面流動(dòng)圓柱表面流動(dòng) 將速度勢(shì)對(duì)徑向和切向求偏導(dǎo)數(shù)，得到復(fù)合流動(dòng)的徑向和切向分速：)1

18、 (cos22rRVrVr)1 (sin22rRVrV在圓柱表面， ，根據(jù)上兩式，可得 ，這表明在圓柱表面這新的復(fù)合流動(dòng)是緊緊貼著圓柱表面的，各處的流動(dòng)速度與圓柱表面相切。在前駐點(diǎn)， ，在后駐點(diǎn) ，圓柱表面各點(diǎn)的絕對(duì)速度 ，當(dāng) ，圓柱表面的速度大小只與角度 有關(guān)。 又一次證明這復(fù)合流動(dòng)是理想流體繞圓柱的流動(dòng)。Rrsin2, 0VVVr0,V0, 0Vsin2 VVVV2, 2 /4 4圓柱表面壓強(qiáng)分布圓柱表面壓強(qiáng)分布因?yàn)檫@復(fù)合流動(dòng)是有勢(shì)流，故柏努利方程全場(chǎng)滿足。若建立無(wú)窮遠(yuǎn)處與圓柱表面的柏努利方程，則可以導(dǎo)出圓柱表面的壓強(qiáng)分布規(guī)律來(lái)： )sin4(2121212222VpVpVpss)sin41 (21)sin4(212122222VpVVpps2