數(shù)學分析55032

1、計算題第1題 (3.0) 分 計算偏導數(shù)1). 當時，按通常方法求偏導數(shù) 2). 當時，按定義求偏導數(shù)，.第2題 (3.0) 分 解 易知，此內(nèi)接長方體的六個面必分別平行于坐標平面。設(shè)此內(nèi)接最大長方體在第一象限中的坐標為，由對稱性可知該長方體的體積為，從而問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在條件下的最值問題。設(shè)輔助函數(shù)為 , , 則有 .從中可得出唯一解 ， 。根據(jù)幾何性質(zhì)不難推知，該橢球面之內(nèi)接長方體在第一象限的頂點為時達到最大體積 第3題 (3.0) 分 解 利用極坐標變換第4題 (3.0) 分 解 (1) 注意到柯西不等式， 。（2）由于 ， ，可知 . 采用極坐標，可得.由此知 , 利用題（1），有 ，

2、 （2） 因為 ，所以 ， 。 .將曲線用參數(shù)式表示，即令 ， ，且取順時針方向為正，可知.第5題 (4.0) 分 解 用軸上直線段, 使上半圓周和直線段構(gòu)成封閉曲線. 設(shè), .有.于是,由格林公式知=.其中在直線段上, 有, , 則.因此 .第6題 (3.0) 分 由于 , , , , 于是, .第7題 (3.0) 分 解 設(shè)長，寬，高分別為，則問題變?yōu)榍蠛瘮?shù)的最大值，聯(lián)系方程為.設(shè)輔助函數(shù)為，則有，解方程組得到，因而最大體積為.第8題 (3.0) 分 解 在平面上的投影區(qū)域為, 于是第9題 (3.0) 分 解 不妨設(shè)該可微函數(shù)為，則按定義可得 ，由此知. 從而又得 .聯(lián)系到上面第一式，有

3、或 ,從而 .第10題 (3.0) 分 解 對原方程兩端對求導，可得 ，從而知第11題 (3.0) 分 解 將代人參數(shù)方程，得點，該曲線的切向量為T=（, 于是得切線方程為 法平面方程為 =0，即 第12題 (3.0) 分 解 (1) 注意到 , ， 故兩個累次極限均為0，但是, 所以重極限不存在.(2) 注意到 , , 故兩個累次極限不存在. 此外，因為 ， 所以.第13題 (3.0) 分 解 先對積分后對積分.由分部積分法, 知 .第14題 (3.0) 分 解 段：直線方程 ，.段：直線方程 ，。段：直線方程 ，段：直線方程 ，于是有，=0 .第15題 (4.0) 分 解 （1）令，則D變

4、成，且積分成為（ （2） 令，則D變成，且原積分成為第16題 (3.0) 分 解 由得 ，從而 。注意到該曲面上的點關(guān)于平面對稱，且其上半部分在平面上的投影為區(qū)域，從而有 .第17題 (4.0) 分 解 對于圓錐面，則 ，在平面上投影區(qū)域為：，于是 第18題 (3.0) 分 解 曲面方程表示為 ，于是所求面積S=第19題 (3.0) 分 解 曲面S1取負側(cè)，而投影區(qū)域為D1：，于是應(yīng)用極坐標可得，曲面S2取正側(cè)，而投影區(qū)域為D2：2，于是應(yīng)用極坐標可得，于是, .第20題 (4.0) 分 解 設(shè)，因為, 則是某函數(shù)的全微分.且 .第21題 (3.0) 分  解 設(shè)，則 原式 第22題

5、 (3.0) 分 解 這里是以和 為自變量的復(fù)合函數(shù), 它可寫成如下形式, , .由復(fù)合函數(shù)求導法則知.于是 , 第23題 (3.0) 分 解 設(shè). 由于在全空間上處處連續(xù), 在處 于是, 得切平面方程為,即 .法線方程為. 第24題 (3.0) 分 解 因為區(qū)域為柱狀區(qū)域，被積函數(shù)中第二項為，所以用柱坐標法比較方便 .于是, . 利用洛必達法則, 有.第25題 (4.0) 分 解. 因為, 所以, ,其中 , ， 由此知在處可微.證明題第26題 (4.0) 分 證明 對方程兩邊分別對和求偏導數(shù)，有，分別解得 ，于是，得到 第27題 (4.0) 分 證 對于復(fù)合函數(shù) ，由于 ，=+，因此當時，與無關(guān)，即在極坐標系里只是的函數(shù).第28題 (4.0) 分 證明 由于