高中物理奧林匹克競(jìng)賽專題靜電場(chǎng)典型習(xí)題有詳解答案

1、題7.1：1964年，蓋爾曼等人提出基本粒子是由更基本的夸克構(gòu)成，中子就是由一個(gè)帶的上夸克和兩個(gè)帶下夸克構(gòu)成，若將夸克作為經(jīng)典粒子處理（夸克線度約為10-20 m），中子內(nèi)的兩個(gè)下夸克之間相距2.60´10-15 m。求它們之間的斥力。題7.1解：由于夸克可視為經(jīng)典點(diǎn)電荷，由庫(kù)侖定律 與方向相同表明它們之間為斥力。題7.2：質(zhì)量為m，電荷為-e的電子以圓軌道繞氫核旋轉(zhuǎn)，其動(dòng)能為Ek。證明電子的旋轉(zhuǎn)頻率滿足其中是真空電容率，電子的運(yùn)動(dòng)可視為遵守經(jīng)典力學(xué)規(guī)律。題7.2分析：根據(jù)題意將電子作為經(jīng)典粒子處理。電子、氫核的大小約為10-15 m，軌道半徑約為10-10 m，故電子、氫核都可視作

2、點(diǎn)電荷。點(diǎn)電荷間的庫(kù)侖引力是維持電子沿圓軌道運(yùn)動(dòng)的向心力，故有 由此出發(fā)命題可證。證：由上述分析可得電子的動(dòng)能為 電子旋轉(zhuǎn)角速度為 由上述兩式消去r，得題7.3：在氯化銫晶體中，一價(jià)氯離于Cl-與其最鄰近的八個(gè)一價(jià)格離子Cs+構(gòu)成如圖所示的立方晶格結(jié)構(gòu)。（1）求氯離子所受的庫(kù)侖力；（2）假設(shè)圖中箭頭所指處缺少一個(gè)銫離子（稱作品格缺陷），求此時(shí)氯離子所受的庫(kù)侖力。題7.3分析：銫離子和氯離子均可視作點(diǎn)電荷，可直接將晶格頂角銫離子與氯離子之間的庫(kù)侖力進(jìn)行矢量疊加。為方便計(jì)算可以利用晶格的對(duì)稱性求氯離子所受的合力。解：（l）由對(duì)稱性，每條對(duì)角線上的一對(duì)銫離子與氯離子間的作用合力為零，故（2）除了有缺

3、陷的那條對(duì)角線外，其它銫離子與氯離子的作用合力為零，所以氯離子所受的合力的值為 方向如圖所示。題7.4：若電荷Q均勻地分布在長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)棒上。求證：（1）在棒的延長(zhǎng)線，且離棒中心為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度為（2）在棒的垂直平分線上，離棒為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度為若棒為無限長(zhǎng)（即），試將結(jié)果與無限長(zhǎng)均勻帶電直線的電場(chǎng)強(qiáng)度相比較。題7.4分析：這是計(jì)算連續(xù)分布電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度。此時(shí)棒的長(zhǎng)度不能忽略，因而不能將棒當(dāng)作點(diǎn)電荷處理。但帶電細(xì)棒上的電荷可看作均勻分布在一維的長(zhǎng)直線上。如圖所示，在長(zhǎng)直線上任意取一線元，其電荷為dq = Qdx/L，它在點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度為 整個(gè)帶電體在點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度接著針對(duì)具體問題來處理這個(gè)矢量積分

4、。（1） 若點(diǎn)P在棒的延長(zhǎng)線上，帶電棒上各電荷元在點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度方向相同， （2） 若點(diǎn)P在棒的垂直平分線上，則電場(chǎng)強(qiáng)度E沿x軸方向的分量因?qū)ΨQ性疊加為零，因此，點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度就是 證：（1）延長(zhǎng)線上一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度，利用幾何關(guān)系統(tǒng)一積分變量，則電場(chǎng)強(qiáng)度的方向沿x軸。（3） 根據(jù)以上分析，中垂線上一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向沿軸，大小為利用幾何關(guān)系統(tǒng)一積分變量，則當(dāng)棒長(zhǎng)時(shí)，若棒單位長(zhǎng)度所帶電荷為常量，則P點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度此結(jié)果與無限長(zhǎng)帶電直線周圍的電場(chǎng)強(qiáng)度分布相同。這說明只要滿足，帶電長(zhǎng)直細(xì)棒可視為無限長(zhǎng)帶電直線。題7.5：一半徑為R的半圓細(xì)環(huán)上均勻分布電荷Q，求環(huán)心處的電場(chǎng)強(qiáng)度題7.5分析：在求環(huán)心處

5、的電場(chǎng)強(qiáng)度時(shí)，不能將帶電半圓環(huán)視作點(diǎn)電荷?，F(xiàn)將其抽象為帶電半圓弧線。在弧線上取線元dl，其電荷此電荷元可視為點(diǎn)電荷，它在點(diǎn)O的電場(chǎng)強(qiáng)度。因圓環(huán)上電荷對(duì)y軸呈對(duì)稱性分布，電場(chǎng)分布也是軸對(duì)稱的，則有，點(diǎn)O的合電場(chǎng)強(qiáng)度，統(tǒng)一積分變量可求得E。解：由上述分析，點(diǎn)O的電場(chǎng)強(qiáng)度由幾何關(guān)系，統(tǒng)一積分變量后，有方向沿y軸負(fù)方向。題7.6：用電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理求證：無限大均勻帶電板外一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為（提示：把無限大帶電平板分解成一個(gè)個(gè)圓環(huán)或一條條細(xì)長(zhǎng)線，然后進(jìn)行積分疊加）題7.6分析：求點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度可采用兩種方法處理，將無限大平板分別視為由無數(shù)同心的細(xì)圓環(huán)或無數(shù)平行細(xì)長(zhǎng)線元組成，它們的電荷分別為求出它們?cè)谳S

6、線上一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度dE后，再疊加積分，即可求得點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度了。證1：如圖所示，在帶電板上取同心細(xì)圓環(huán)為微元，由于帶電平面上同心圓環(huán)在點(diǎn)P激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度dE的方向均相同，因而P處的電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向?yàn)閹щ娖桨逋夥ň€方向。證2：如圖所示，取無限長(zhǎng)帶電細(xì)線為微元，各微元在點(diǎn)P激發(fā)的電場(chǎng)強(qiáng)度dE在Oxy平面內(nèi)且對(duì)x軸對(duì)稱，因此，電場(chǎng)在y軸和z軸方向上的分量之和，即Ey、Ez均為零，則點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度應(yīng)為積分得電場(chǎng)強(qiáng)度E的方向?yàn)閹щ娖桨逋夥ň€方向。上述討論表明，雖然微元割取的方法不同，但結(jié)果是相同的。題7.7：水分子H2O中氧原子和氫原子的等效電荷中心如圖所示。假設(shè)氧原子和氫原子等效電荷中心間距

7、為r0。試計(jì)算在分子的對(duì)稱軸線上，距分子較遠(yuǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度。題7.7分析：水分子的電荷模型等效于兩個(gè)電偶極子，它們的電偶極矩大小均為，而夾角為。疊加后水分子的電偶極矩大小為，方向沿對(duì)稱軸線。由于點(diǎn)O到場(chǎng)點(diǎn)A的距離x>>r0，利用教材中電偶極子在延長(zhǎng)線上的電場(chǎng)強(qiáng)度可求得電場(chǎng)的分布。 也可由點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度疊加，求電場(chǎng)分布。解1：水分子的電偶極矩在電偶極矩延長(zhǎng)線上 解2：在對(duì)稱軸線上任取一點(diǎn)A，則該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度由于 代入得測(cè)量分子的電場(chǎng)時(shí)，總有x>>r0，因此，式中，將上式化簡(jiǎn)并略去微小量后，得題7.8：無兩條無限長(zhǎng)平行直導(dǎo)線相距為r0，均勻帶有等量異號(hào)電荷，電荷線密度為l。

8、（1）求兩導(dǎo)線構(gòu)成的平面上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度（設(shè)該點(diǎn)到其中一線的垂直距離為x）；（2）求每一根導(dǎo)線上單位長(zhǎng)度導(dǎo)線受到另一根導(dǎo)線上電荷作用的電場(chǎng)力。題7.8分析：（1）在兩導(dǎo)線構(gòu)成的平面上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為兩導(dǎo)線單獨(dú)在此所激發(fā)的電場(chǎng)的疊加。 （2）由F = qE，單位長(zhǎng)度導(dǎo)線所受的電場(chǎng)力等于另一根導(dǎo)線在該導(dǎo)線處的電場(chǎng)強(qiáng)度來乘以單位長(zhǎng)度導(dǎo)線所帶電的量，即：F = lE應(yīng)該注意：式中的電場(chǎng)強(qiáng)度E是除去自身電荷外其它電荷的合電場(chǎng)強(qiáng)度，電荷自身建立的電場(chǎng)不會(huì)對(duì)自身電荷產(chǎn)生作用力。題7.8解：（1）設(shè)點(diǎn)P在導(dǎo)線構(gòu)成的平面上，、分別表示正、負(fù)帶電導(dǎo)線在P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，則有（2）設(shè)、分別表示正、負(fù)帶電導(dǎo)線單位長(zhǎng)

9、度所受的電場(chǎng)力，則有顯然有，相互作用力大小相等，方向相反，兩導(dǎo)線相互吸引。題7.9：如圖所示，電荷分別均勻分布在兩個(gè)半徑為R的半細(xì)圓環(huán)上。求：（1）帶電圓環(huán)偶極矩的大小和方向；（2）等效正、負(fù)電荷中心的位置。題7.9分析：（1）電荷分布呈軸對(duì)稱，將細(xì)環(huán)分割成長(zhǎng)度均為ds的線元，帶正電荷的上半圓環(huán)線元與帶負(fù)電荷的下半圓環(huán)對(duì)稱位置上的線元構(gòu)成一元電偶極子，細(xì)圓環(huán)總的偶極矩等于各元電偶極矩之和，有（2）由于正、負(fù)電荷分別對(duì)稱分布在y軸兩側(cè)，我們?cè)O(shè)想在y軸上能找到一對(duì)假想點(diǎn)，如果該帶電環(huán)對(duì)外激發(fā)的電場(chǎng)可以被這一對(duì)假想點(diǎn)上等量的點(diǎn)電荷所激發(fā)的電場(chǎng)代替，這對(duì)假想點(diǎn)就分別稱作正、負(fù)等效電荷中心。等效正負(fù)電荷

10、中心一定在y軸上并對(duì)中心O對(duì)稱。由電偶極矩p可求得正、負(fù)等效電荷中心的間距，并由對(duì)稱性求得正、負(fù)電荷中心。解：（1）將圓環(huán)沿y軸方向分割為一組相互平行的元電偶極子，每一元電偶極子帶電則帶電圓環(huán)的電偶極矩 （2）等效正、負(fù)電荷中心間距為根據(jù)對(duì)稱性正、負(fù)電荷中心在y軸上，所以其坐標(biāo)分別為和。 也可以借助幾何中心的定義，得即正、負(fù)電荷中心分別在y軸上距中心 O為處題7.10：設(shè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E與半徑為R的半球面的對(duì)稱軸平行，試計(jì)算通過此半球面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量。題7.10分析方法1：由電場(chǎng)強(qiáng)度通量的定義，對(duì)半球面S求積分，即。方法2：作半徑為R的平面與半球面S一起可構(gòu)成閉合曲面，由于閉合面內(nèi)無電荷，

11、由高斯定理這表明穿過閉合曲面的凈通量為零，穿入平面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量在數(shù)值上等于穿出半球面S的電場(chǎng)強(qiáng)度通量。因而解1：取球坐標(biāo)系，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和面元在球坐標(biāo)系中可表示為解2：由于閉合曲面內(nèi)無電荷分布，根據(jù)高斯定理，有依照約定取閉合曲面的外法線方向?yàn)槊嬖猟S的方向，題7.11：邊長(zhǎng)為a的立方體如圖所示，其表面分別平行于xy、yz和zx平面，立方體的一個(gè)頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)?，F(xiàn)將立方體置于電場(chǎng)強(qiáng)度的非均勻電場(chǎng)中，求電場(chǎng)對(duì)立方體各表面及整個(gè)立方體表面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量。題7.11解：參見圖。由題意E與Oxy面平行，所以對(duì)任何與Oxy面平行的立方體表面。電場(chǎng)強(qiáng)度的通量為零。即。而考慮到面CDEO與面ABGF的外法線

12、方向相反，且該兩面的電場(chǎng)分布相同，故有同理因此，整個(gè)立方體表面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量題7.12：地球周圍的大氣猶如一部大電機(jī)，由于雷雨云和大氣氣流的作用，在晴天區(qū)域，大氣電離層總是帶有大量的正電荷，云層下地球表面必然帶有負(fù)電荷。晴天大氣電場(chǎng)平均電場(chǎng)強(qiáng)度約為120 V×m-1，方向指向地面。試求地球表面單位面積所帶的電荷（以每平方厘米的電子數(shù)表示）。題7.11分析：考慮到地球表面的電場(chǎng)強(qiáng)度指向地球球心，在大氣層中取與地球同心的球面為高斯面，利用高斯定理可求得高斯面內(nèi)的凈電荷。解：在大氣層臨近地球表面處取與地球表面同心的球面為高斯面，其半徑（RE為地球平均半徑）。由高斯定理地球表面電荷面密度單位

13、面積額外電子數(shù)題7.13：設(shè)在半徑為R的球體內(nèi)，其電荷為對(duì)稱分布，電荷體密度為k為一常量。試用高斯定理求電場(chǎng)強(qiáng)度E與r的函數(shù)關(guān)系。（你能用電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理求解這個(gè)問題嗎?）題7.13分析：通常有兩種處理方法：（1）利用高斯定理求球內(nèi)外的電場(chǎng)分布。由題意知電荷呈球?qū)ΨQ分布，因而電場(chǎng)分布也是球?qū)ΨQ，選擇與帶電球體同心的球面為高斯面，在球面上電場(chǎng)強(qiáng)度大小為常量，且方向垂直于球面，因而有根據(jù)高斯定律，可解得電場(chǎng)強(qiáng)度的分布（2）利用帶電球殼電場(chǎng)疊加的方法求球內(nèi)外的電場(chǎng)分布。將帶電球分割成無數(shù)個(gè)同心帶電球殼，球殼帶電荷為，每個(gè)帶電球殼在殼內(nèi)激發(fā)的電場(chǎng)dE = 0，而在球殼外激發(fā)的電場(chǎng)由電場(chǎng)疊加可解得帶電球

14、體內(nèi)外的電場(chǎng)分布解1：因電荷分布和電場(chǎng)分布均為球?qū)ΨQ，球面上各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為常量，由高斯定律得球體內(nèi)球體外（rR）解2：將帶電球分割成球殼，球殼帶電由上述分析，球體內(nèi)球體外（rR）題7.14：一無限大均勻帶電薄平板，電荷面密度為s，在平板中部有一半徑為r的小圓孔。求圓孔中心軸線上與平板相距為x的一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度。題7.14分析：用補(bǔ)償法求解 利用高斯定理求解電場(chǎng)強(qiáng)度只適用于幾種非常特殊的對(duì)稱性電場(chǎng)。本題的電場(chǎng)分布雖然不具有這樣的對(duì)稱性，但可以利用具有對(duì)稱性的無限大帶電平面和帶電圓盤的電場(chǎng)疊加，求出電場(chǎng)的分布。 若把小圓孔看作由等量的正、負(fù)電荷重疊而成、挖去圓孔的帶電平板等效于一個(gè)完整的帶電

15、平板和一個(gè)帶相反電荷（電荷面密度）的圓盤。這樣中心軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度等效于平板和圓盤各自獨(dú)立在該處激發(fā)的電場(chǎng)的矢量和。解：在帶電平面附近為沿平面外法線的單位矢量；圓盤激發(fā)的電場(chǎng)它們的合電場(chǎng)強(qiáng)度為在圓孔中心處x = 0，則 E = 0在距離圓孔較遠(yuǎn)時(shí)x>>r，則上述結(jié)果表明，在x>>r時(shí)。帶電平板上小圓孔對(duì)電場(chǎng)分布的影響可以忽略不計(jì)。題7.15：一無限長(zhǎng)、半徑為R的圓柱體上電荷均勻分布。圓柱體單位長(zhǎng)度的電荷為l，用高斯定理求圓柱體內(nèi)距軸線距離為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度。題7.15分析：無限長(zhǎng)圓柱體的電荷具有軸對(duì)稱分布，電場(chǎng)強(qiáng)度也為軸對(duì)稱分布，且沿徑矢方向。取同軸往面為高斯面，電場(chǎng)強(qiáng)度

16、在圓柱側(cè)面上大小相等，且與柱面正交。在圓柱的兩個(gè)底面上，電場(chǎng)強(qiáng)度與底面平行，對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度通量貢獻(xiàn)為零。整個(gè)高斯面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為由于，圓柱體電荷均勻分布，電荷體密度，處于高斯面內(nèi)的總電荷由高斯定理可解得電場(chǎng)強(qiáng)度的分布，解：取同軸柱面為高斯面，由上述分析得題7.16：一個(gè)內(nèi)外半徑分別R1為R2和的均勻帶電球殼，總電荷為Q1，球殼外同心罩一個(gè)半徑為 R3的均勻帶電球面，球面帶電荷為Q2。求電場(chǎng)分布。電場(chǎng)強(qiáng)度是否是場(chǎng)點(diǎn)與球心的距離r的連續(xù)函數(shù)？試分析。題7.16分析：以球心O為原點(diǎn)，球心至場(chǎng)點(diǎn)的距離r為半徑，作同心球面為高斯面。由于電荷呈球?qū)ΨQ分布，電場(chǎng)強(qiáng)度也為球?qū)ΨQ分布，高斯面上電場(chǎng)強(qiáng)度沿徑矢方向，

17、且大小相等。因而，在確定高斯面內(nèi)的電荷后，利用高斯定理即可求的電場(chǎng)強(qiáng)度的分布解：取半徑為r的同心球面為高斯面，由上述分析r < R1，該高斯面內(nèi)無電荷，故 E1 = 0R1 < r < R2，高斯面內(nèi)電荷，故 R2 < r < R3，高斯面內(nèi)電荷為Q1，故r > R3，高斯面內(nèi)電荷為Q1+ Q2，故 電場(chǎng)強(qiáng)度的方向均沿徑矢方向，各區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度分布曲線如圖所示。 在帶電球面的兩側(cè)，電場(chǎng)強(qiáng)度的左右極限不同，電場(chǎng)強(qiáng)度不連續(xù)，而在緊貼r = R3的帶電球面兩側(cè)，電場(chǎng)強(qiáng)度的躍變量這一躍變是將帶電球面的厚度抽象為零的必然結(jié)果，且具有普遍性。實(shí)際帶電球面應(yīng)是有一定厚度的

18、球殼，殼層內(nèi)外的電場(chǎng)強(qiáng)度也是連續(xù)變化的，如本題中帶電球殼內(nèi)外的電場(chǎng)，如球殼的厚度變小，E的變化就變陡，最后當(dāng)厚度趨于零時(shí)，E的變化成為一躍變。題7.17：兩個(gè)帶有等量異號(hào)電荷的無限長(zhǎng)同軸圓柱面，半徑分別為R1和R2 (R2 > R1)，單位長(zhǎng)度上的電荷為l。求離軸線為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度：（1）r < R1，（2）R1 < r < R2，（3）r > R2題7.17分析：電荷分布在無限長(zhǎng)同軸圓拄面上，電場(chǎng)強(qiáng)度也必定呈軸對(duì)稱分布，沿徑矢方向。取同軸圓柱面為高斯面，只有側(cè)面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量不為零，且，求出不同半徑高斯面內(nèi)的電荷。利用高斯定理可解得各區(qū)域電場(chǎng)的分布。解：作同軸圓

19、柱面為高斯面。根據(jù)高斯定理 在帶電面附近，電場(chǎng)強(qiáng)度大小不連續(xù)，電場(chǎng)強(qiáng)度有一躍變題7.18：如圖所示，有三個(gè)點(diǎn)電荷Q1、Q2、Q3沿一條直線等間距分布，已知其中任一點(diǎn)電荷所受合力均為零，且Q1 = Q2 = Q3。求在固定Q1、Q3的情況下，將Q2從點(diǎn)O移到無窮遠(yuǎn)處外力所作的功。題7.18分析：由庫(kù)侖力的定義，根據(jù)Q1、Q3所受合力為零可求得Q3外力作功應(yīng)等于電場(chǎng)力作功W的負(fù)值，即。求電場(chǎng)力作功的方法有兩種，（l）根據(jù)功的定義，電場(chǎng)力作的功為其中是點(diǎn)電荷Q1、Q3產(chǎn)生的合電場(chǎng)強(qiáng)度。（2）根據(jù)電場(chǎng)力作功與電勢(shì)能差的關(guān)系，有其中V0是Q1、Q3在點(diǎn)O產(chǎn)生的電勢(shì)（取無窮遠(yuǎn)處為零電勢(shì)）。解1：由題意Q1

20、所受的合力為零 解得 由點(diǎn)電荷電場(chǎng)的疊加，Q1、Q3激發(fā)的電場(chǎng)在y軸上任意一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為將Q2從點(diǎn)O沿y軸移到無窮遠(yuǎn)處（沿其他路徑所作的功相同，請(qǐng)想一想為什么？），外力所作的功為解2：與解1相同，在任一點(diǎn)電荷所受合力均為零時(shí)。并由電勢(shì)的疊加得Q1、Q3在點(diǎn)O電勢(shì)將Q2從點(diǎn)O推到無窮遠(yuǎn)處的過程中，外力作功比較上述兩種方法，顯然用功與電勢(shì)能變化的關(guān)系來求解較為簡(jiǎn)潔。這是因?yàn)樵谠S多實(shí)際問題中直接求電場(chǎng)分布困難較大，而求電勢(shì)分布要簡(jiǎn)單得多。題7.19：已知均勻帶電長(zhǎng)直線附近的電場(chǎng)強(qiáng)度近似為 l為電荷線密度。（1）求在r = r1和r = r2兩點(diǎn)間的電勢(shì)差；（2）在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中，我們?cè)√幍碾妱?shì)為

21、零，求均勻帶電長(zhǎng)直線附近的電勢(shì)時(shí)，能否這樣??？試說明，題7.19解：（1）由于電場(chǎng)力作功與路徑無關(guān)，若取徑矢為積分路徑，則有 （2）不能。嚴(yán)格地講，電場(chǎng)強(qiáng)度只適用于無限長(zhǎng)的均勻帶電直線，而此時(shí)電荷分布在無限空間。處的電勢(shì)應(yīng)與直線上的電勢(shì)相等。題7.20：如圖所示，有一薄金屬環(huán)，其內(nèi)外半徑分別為R1和R2，圓環(huán)均勻帶電，電荷面密度為s（s > 0）。（1）計(jì)算通過環(huán)中心垂直于環(huán)面的軸線上一點(diǎn)的電勢(shì)；（2）若有一質(zhì)子沿軸線從無限遠(yuǎn)處射向帶正電的圓環(huán)，要使質(zhì)子能穿過圓環(huán)，它的初速度至少應(yīng)為多少？題7.20分析：（1）如圖所示，將薄金屬環(huán)分割為一組不同半徑的同心帶電細(xì)圓環(huán)，利用細(xì)環(huán)軸線上一點(diǎn)的電

22、勢(shì)公式，根據(jù)電勢(shì)疊加原理 ，將這些不同半徑的帶電圓環(huán)在軸線上一點(diǎn)的電勢(shì)相加，即可得到軸線上的電勢(shì)分布。 （2）由軸上電勢(shì)分布的結(jié)果可知，在圓環(huán)中心處（x = 0）電勢(shì)V有極大值，當(dāng)質(zhì)子從無窮遠(yuǎn)處射向圓環(huán)時(shí)，電勢(shì)能逐漸增加，而質(zhì)子的動(dòng)能隨之減少。若要使質(zhì)子穿過圓環(huán)，則質(zhì)子在圓環(huán)中心處Ek ³ 0。根據(jù)能量守恒定律，可求出電子所需初速度的最小值。解：（1）在環(huán)上割取半徑為r、寬度為 dr的帶電細(xì)回環(huán)，其所帶電荷為它在軸線上產(chǎn)生的電勢(shì)為 薄金屬環(huán)的電勢(shì)等于這些同心軸圓環(huán)電勢(shì)的疊加 （2）根據(jù)能量守恒定律，為使質(zhì)子在圓環(huán)中心處的動(dòng)能Ek³0，開始時(shí)質(zhì)子的初速率應(yīng)滿足即上式表明質(zhì)子欲

23、穿過環(huán)心，其速率不能小于題7.21：兩個(gè)同心球面的半徑分別為R1和R2，各自帶有電荷Q1和Q2。求：（1）各區(qū)域電勢(shì)分布，并畫出分布曲線；（2）兩球面間的電勢(shì)差為多少？題7.21分析：通?？刹捎脙煞N方法（1）由于電荷均勻分布在球面上，電場(chǎng)分布也具有球?qū)ΨQ性，因此，可根據(jù)電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的積分關(guān)系求電勢(shì)。取同心球面為高斯面，借助高斯定理可求得各區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度分布，再由可求得電勢(shì)分布。 （2）利用電勢(shì)疊加原理求電勢(shì)。一個(gè)均勻帶電的球面，在球面外產(chǎn)生的電勢(shì)為在球面內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度為零，電勢(shì)處處相等，等于球面的電勢(shì)其中R是球面的半徑。根據(jù)上述分析，利用電勢(shì)在加原理，將兩個(gè)球面在各區(qū)域產(chǎn)生的電勢(shì)疊加，可求得電勢(shì)

24、的分布。解1：（l）由高斯定理可求得電場(chǎng)分布由電勢(shì)可求得各區(qū)域的電勢(shì)分布。當(dāng)時(shí)，有 當(dāng)時(shí)，有 當(dāng)時(shí)，有 （2）兩個(gè)球面間的電勢(shì)差解2：（l）由各球面電勢(shì)的疊加計(jì)算電勢(shì)分布。若該點(diǎn)位于兩個(gè)球面內(nèi)，即，則 若該點(diǎn)位于兩個(gè)球面之間，即，則若該點(diǎn)位于兩個(gè)球面之外，即，則 （2）兩個(gè)球面間的電勢(shì)差題7.22：一半徑為R的無限長(zhǎng)帶電細(xì)棒，其內(nèi)部的電荷均勻分布，電荷的體密度為r。現(xiàn)取棒表面為零電勢(shì)，求空間電勢(shì)分布并畫出分布曲線 分析 無限長(zhǎng)均勻帶電細(xì)棒電荷分布呈軸對(duì)稱，其電場(chǎng)和電勢(shì)的分布也呈軸對(duì)稱。選取同軸柱面為高斯面，利用高斯定理可求得電場(chǎng)分布E(r)，再根據(jù)電勢(shì)差的定義并取棒表面為零電勢(shì)（Vb = 0），即可得空間任意點(diǎn)的電勢(shì)解：取高度為l、半徑為r且與帶電律同軸的回柱面為高斯面，由高斯定理當(dāng)時(shí) 得當(dāng)時(shí) 得取棒表面為零電勢(shì)，空間電勢(shì)的分布有當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，圖是電勢(shì)V隨空間位置r的分布曲線。題7.23：兩個(gè)很長(zhǎng)的共軸圓柱面（R1 = 3.0´10-2 m，R2 = 0.10 m），帶有等量異號(hào)的電荷，兩者的電勢(shì)差為450 V。求：（1）圓柱面單位長(zhǎng)度上帶有多少電荷？（2）兩圓柱面之間的電場(chǎng)強(qiáng)度。題7.23：兩圓柱面之間的電場(chǎng)根據(jù)電勢(shì)差的定義有解得兩圓