高中物理第十講 等效電路和電路計(jì)算

1、第十講 等效電路和電路計(jì)算湖南郴州市湘南中學(xué) 陳禮生一、知識(shí)點(diǎn)擊1穩(wěn)恒電流 電動(dòng)勢(shì)大小和方向都不隨時(shí)間變化的電流稱為穩(wěn)恒電流。穩(wěn)恒電流必須是閉合的，正電荷在電場(chǎng)力的作用下從高電勢(shì)處移到低電勢(shì)處，而一非靜電力把正電荷從低電勢(shì)處搬運(yùn)到高電勢(shì)處，提供非靜電力的裝置稱為電源電源內(nèi)的非靜電力克服電源內(nèi)靜電力作用，把流到負(fù)極的正電荷從負(fù)極移到正極若正電荷q受到非靜電力，則電源內(nèi)有非靜電場(chǎng)，非靜電場(chǎng)的強(qiáng)度也類似電場(chǎng)強(qiáng)度的定義：將非靜電場(chǎng)把單位正電荷從負(fù)極通過電源內(nèi)部移到正極時(shí)所做的功定義為電源的電動(dòng)勢(shì)，即2恒定電流的基本規(guī)律和等效電源定理歐姆定律：在恒定的條件下，通過一段導(dǎo)體的電流強(qiáng)度I與導(dǎo)體兩端的電壓U成

2、正比，這就是一段電路的歐姆定律寫成等式：，或U=IR。含源電路的歐姆定律：如圖10一1所示含有電源的電路稱為含源電路含源電路的歐姆定律就是找出電路中兩點(diǎn)間電壓與電流的關(guān)系常用“數(shù)電壓”的方法即從一點(diǎn)出發(fā)，沿一方向，把電勢(shì)的升降累加起來得到另一點(diǎn)的電勢(shì)，從而得到兩點(diǎn)間的電壓設(shè)電流從a流向b，則有 a、b兩點(diǎn)間電壓為 寫成一般形式 閉合回路的歐姆定律：對(duì)于圖10一1可把a(bǔ)、b兩點(diǎn)連起來形成一閉合回路，則，即，寫成一般形式： 等效電源定理：只有電動(dòng)勢(shì)而無內(nèi)阻的理想電源稱為穩(wěn)壓源，通常的實(shí)際電源相當(dāng)于恒壓源和一內(nèi)阻的串聯(lián)若有一理想電源，不管外電路電阻如何變化，總是提供一個(gè)不變的電流I0，則這種理想電源

3、稱為恒流源通常的實(shí)際電源，相當(dāng)于恒流源與一定內(nèi)阻的并聯(lián)實(shí)際電源既可看成電壓源，又可看成電流源對(duì)于同樣的外電路，產(chǎn)生的電壓和流經(jīng)的電流相同如圖10一2： 由于其等效性，等效電壓源定理（又稱戴維寧定理）表述為：兩端有源網(wǎng)絡(luò)可以等效于一個(gè)電壓源，其電動(dòng)勢(shì)等于網(wǎng)絡(luò)的開路端電壓，其內(nèi)阻等于從網(wǎng)絡(luò)兩端看除源（將電動(dòng)勢(shì)短路，內(nèi)阻仍保留在網(wǎng)絡(luò)中）網(wǎng)絡(luò)的電阻。利用電壓源與電流源的等效條件，可以得到等效電流源定理（又稱諾爾頓定理），內(nèi)容為：兩端有源網(wǎng)絡(luò)可等效于一個(gè)電流源，電流源的電流I0等于網(wǎng)絡(luò)兩端短路時(shí)流經(jīng)兩端點(diǎn)的電流，內(nèi)阻等于從網(wǎng)絡(luò)看除源網(wǎng)絡(luò)的電阻3基爾霍夫定律一個(gè)電路若不能通過電阻的串并聯(lián)求解，則這樣的電路

4、稱為復(fù)雜電路，復(fù)雜電路往往通過基爾霍夫定律來求解基爾霍夫第一方程組（節(jié)點(diǎn)定律組）復(fù)雜電路中，三條或三條以上支路的匯合點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)基爾霍夫第一方程內(nèi)容為：若規(guī)定流出節(jié)點(diǎn)的電流強(qiáng)度為正，流人節(jié)點(diǎn)的電流強(qiáng)度為負(fù)，則匯于節(jié)點(diǎn)的各支路電流強(qiáng)度的代數(shù)和為零即基爾霍夫第二方程組（回路定律組）復(fù)雜電路中，我們把幾條支路構(gòu)成的閉合通路稱為回路基爾霍夫第二方程內(nèi)容為：對(duì)任一閉合回路電勢(shì)增量的代數(shù)和等于零即，4無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻：任何網(wǎng)絡(luò)不管它是簡(jiǎn)單的或是復(fù)雜的，只要它有兩個(gè)引出端，且內(nèi)部又無電源，則稱為無源兩端網(wǎng)絡(luò)。若網(wǎng)絡(luò)兩端之間電壓為U，從一端流進(jìn)，另一端流出的電流為I，則U與I的比值稱

5、之二端無源網(wǎng)絡(luò)的等效電阻為求這等效電阻有一些專門的方法，其中最主要的方法有對(duì)稱性化簡(jiǎn)法、電流分布法和Y-變換三種。無限網(wǎng)絡(luò)：由無限多個(gè)電阻構(gòu)成的兩端網(wǎng)絡(luò)稱為二端無限網(wǎng)絡(luò)大致分為線型、面型和正多邊形嵌套幾種二、方法演練類型一、用電路的等效變換求電路的等效電阻的問題。 例1兩個(gè)均勻金屬圓圈和四根均勻短直金屬連成如圖103所示網(wǎng)絡(luò)，大圓弧、小圓弧和短直金屬棒的電阻均為r，求A、C兩點(diǎn)間的等效電阻。分析和解：四分之一圓弧和短金屬棒雖長(zhǎng)短不一，但電阻相等，這樣可把里面的小圓拉出來，認(rèn)為各邊相等，變平面圖形為一正立方體，再考慮到立方體相對(duì)對(duì)角面ACCA對(duì)稱，對(duì)稱點(diǎn)的電勢(shì)相等，又可沿BD,BD把正方體壓成一

6、矩形，一拉一壓把一無從下手的問題變成了一眼就能看出答案的簡(jiǎn)單問題了因大小圓的四分之一圓弧與短直金屬的電阻均為r，所以圖104所示電路與圖104中正方體ABCDABCD網(wǎng)絡(luò)等效A、C兩點(diǎn)在正方形ABCD的對(duì)角線上，設(shè)電流從A流入，從C點(diǎn)流出，那網(wǎng)絡(luò)相對(duì)對(duì)角面ACC A對(duì)稱，B、D兩點(diǎn)等電勢(shì)，B、D兩點(diǎn)等電勢(shì)，沿BD、B D將正方體壓成圖105所示平面網(wǎng)絡(luò)又考慮到對(duì)稱性，B、D點(diǎn)與BD等電勢(shì)，故其間電阻可拿掉，網(wǎng)絡(luò)等效于圖106所示電路，這是一簡(jiǎn)單電路，很容易得到類型二、用電流分布法和對(duì)稱法及基爾霍夫定律求解等效電阻的問題。 例2電阻絲網(wǎng)絡(luò)如圖107所示，每一小段的電阻均為R，試求A,B之間的等效

7、電阻RAB。分析和解：電流從A進(jìn)B出本不對(duì)稱，但通過疊加法，把A進(jìn)B出看為A進(jìn)O出和O進(jìn)B出的疊加，把不對(duì)稱的變?yōu)榱藢?duì)稱，從而就可以順利求解，在圖10-14中，有電流I從A點(diǎn)流人，B點(diǎn)流出，這電流不具有對(duì)稱性，但把它看作是圖1015中電流I從A流入，O點(diǎn)流出與圖1016中電流I從O點(diǎn)流入，B點(diǎn)流出的疊加，后兩種電流流動(dòng)都具有對(duì)稱性，從而把原來不具有對(duì)稱性的問題轉(zhuǎn)化成具有對(duì)稱性的間題，從而便于求解。如圖108所示，設(shè)從A點(diǎn)流入的電流I，由于對(duì)稱性，從A到C的電流I1應(yīng)為由于B、E因?qū)ΨQ而等勢(shì)，BDE中應(yīng)無電流，I1在C點(diǎn)分流，由于CO的電阻與CBO的電阻之比為1:3，故圖109中，考慮到對(duì)稱性，

8、各支路電流如圖表示，運(yùn)用基爾霍夫定律，可得解此方程組可得，將兩種情況疊加得 那AB兩點(diǎn)之間的電壓為類型三、用網(wǎng)絡(luò)的對(duì)稱性作等效變換求正多邊形互相嵌套的無窮網(wǎng)絡(luò)的等效電阻的問題。 例3圖1010 (a)所示的無限旋轉(zhuǎn)內(nèi)接正方形金屬絲網(wǎng)絡(luò)是由一種粗細(xì)一致、材料均勻的金屬絲構(gòu)成，其中每一個(gè)內(nèi)接正方形的頂點(diǎn)都在外側(cè)正方形四邊中點(diǎn)上。已知最外側(cè)正方形邊長(zhǎng)為，單位長(zhǎng)金屬絲的電阻為r0，求網(wǎng)絡(luò)中：（1）A，C兩端間等效電阻RAC。（2）E，G兩端間等效電阻REC.分析和解：這是一個(gè)典型的求正多邊形互相嵌套的無窮網(wǎng)絡(luò)的等效電阻的題目，利用對(duì)稱性對(duì)折之后，找出內(nèi)含的一個(gè)似形并令其阻值為RIJ，并找到RIJ與所求

9、電阻RAC之間的關(guān)系，最后列出RAC的方程，其中含有RIJ，但考慮二者之間的關(guān)系即可求解。（1）首先利用網(wǎng)絡(luò)的對(duì)稱性作等效變換。令A(yù)，C兩端加一電壓，必然使得網(wǎng)絡(luò)在BD連線上各節(jié)點(diǎn)電勢(shì)相等，可以把節(jié)點(diǎn)拆開，如圖1010（b)所示。又由于網(wǎng)絡(luò)關(guān)于AC連線兩側(cè)對(duì)稱，所以可以沿AC連線對(duì)折疊合，讓各對(duì)稱節(jié)點(diǎn)相互重合，得等效網(wǎng)絡(luò)，如圖1010（c）所示。容易發(fā)現(xiàn)，在圖（c）中，A，C間網(wǎng)絡(luò)與I，J間網(wǎng)絡(luò)在形式上相似而且在線度上后者是前者的倍，因此 再考慮到圖（c）中，AC連線兩側(cè)各對(duì)稱節(jié)點(diǎn)重合，因此，圖（c）與圖（a）相比，若金屬絲長(zhǎng)度相等，阻值應(yīng)為圖（a）中的一半，或圖（c）中每段金屬絲的電阻等于兩

10、條同長(zhǎng)金屬絲的并聯(lián)電阻。設(shè)圖（c）中AH的阻值為R1，HG的阻值為R2，易得 然后利用簡(jiǎn)單串并聯(lián)得到A，C兩端間等效電阻為 其中 將式代人式，得化簡(jiǎn)整理得RAC的一元二次方程代入，簡(jiǎn)化為得出合理解 (2)當(dāng)E，G兩端間加上電壓后，根據(jù)圖（a）網(wǎng)絡(luò)的對(duì)稱性，在HF連線上各節(jié)點(diǎn)的電勢(shì)相等。所以可把H，F(xiàn)兩節(jié)點(diǎn)拆開，改畫成網(wǎng)絡(luò)，如圖1010（d）所示。容易看出，圖（d）A，C間網(wǎng)絡(luò)與E，G間網(wǎng)絡(luò)在形式上相似，而且在線度上后者是前者的倍，因此，這里表示正方形EFGH及其內(nèi)部的網(wǎng)絡(luò)關(guān)于E，G兩端點(diǎn)的等效電阻。于是原網(wǎng)絡(luò)關(guān)于E，G兩端點(diǎn)的等效電阻RBG為 類型四、用數(shù)電壓法求解無窮網(wǎng)絡(luò)與含源含容電路的問題

11、。 例4如圖1011所示的電路中，各電源的內(nèi)阻均為零，其中B、C兩點(diǎn)與其右方由1.0的電阻和2. 0的電阻構(gòu)成的無窮組合電路相接，求圖中10F的電容器與E點(diǎn)相接的極板上的電荷量。分析和解：這是一個(gè)電阻、電容混聯(lián)的題目，電路穩(wěn)定后，把所有電容部分拆掉，而右邊是一線性無限電阻網(wǎng)絡(luò)利用常用的方法可求出其等效電阻這樣得到圖10一12所示電路，從而計(jì)算出回路電流，再利用數(shù)電壓法計(jì)算相應(yīng)點(diǎn)電勢(shì)差，再進(jìn)一步計(jì)算出電容器上的電量，圖10-14中D點(diǎn)連接三個(gè)電容器的三個(gè)極板形成一個(gè)孤島，三個(gè)板上電荷的代數(shù)和一定為零設(shè)B、C右方無窮組合電路的等效電阻為RBC，則題圖中通有電流的電路可以簡(jiǎn)化為圖1012中的電路。B

12、、C右方的電路又可簡(jiǎn)化為圖1013的電路，其中R BC是虛線右方電路的等效電阻。由于B、C右方的電路與B,C右方的電路結(jié)構(gòu)相同，而且都是無窮組合電路，故有 由電阻串、并聯(lián)公式可得 由、兩式得解得 RBC=2.0 圖1012所示回路中的電流為 電流沿順時(shí)針方向設(shè)電路中三個(gè)電容器的電容分別為C1，C2和C3，各電容器極板上的電荷量分別為Q1、Q2、Q3，極性如圖1014所示。由于電荷守恒，在虛線框內(nèi)，三個(gè)極板上電荷的代數(shù)和應(yīng)為零，即 A、E兩點(diǎn)間的電勢(shì)差 又有 B、E兩點(diǎn)間的電勢(shì)差 又有 根據(jù)、式并代人C1、C2和U之值后可得 即電容器C3與E點(diǎn)相接的極板帶負(fù)電，電荷量為1.310-4C。類型五、

13、用疊加法處理含源含容電路的問題。 例5如圖1015所示，12根電阻均為R的電阻絲連接成正六面體框架，在2根電阻絲中連有電動(dòng)勢(shì)分別為E1與E2的電源，另外5根電阻絲中連有5個(gè)相同的電容器C。設(shè)電源正、負(fù)極之間的距離可忽略，內(nèi)阻也可忽略，且E12I0 R，E2I0 R試求：（1）圖中棱AB中的電流IAB；（2）圖中棱AB中電容器極板上的電量Q AB。分析和解：本題是一個(gè)典型的含源含容電路問題，而且電路中有兩個(gè)電源，這兩個(gè)電源既不是簡(jiǎn)單的串聯(lián)，也不是簡(jiǎn)單的并聯(lián)，所以不能簡(jiǎn)單地用閉合電路的歐姆定律求解，而應(yīng)分別看作只有一個(gè)電源的電路后再用疊加法求電路中的流通量（電流）的實(shí)際效果來解題，就可求出要求的相

14、關(guān)量。(1)為計(jì)算IAB，可將圖中含電容的部分拆去，得出只含電阻和電源的電路，圖1016所示。在圖1016所示的電路中，運(yùn)用電流迭加原理。只有E1存在時(shí)（即取走E2，因其無內(nèi)阻，可短接）流過AB的電流為同理，只有E2存在時(shí)，流過AB的電流為故(2)將圖1016電路中的R替換為，I替換為Q，得出的電路如圖1017所示，這兩個(gè)電路完全可以類比，因此相應(yīng)的X1 Y1電壓、X2 Y2電壓以及AB（圖1017對(duì)應(yīng)為AB）電壓均應(yīng)相等，即得注意，圖1015中與電容有關(guān)的電路如圖1018所示，與圖1017電路有區(qū)別，少了兩個(gè)電容，但因圖1018中的、與圖1017沒有區(qū)別，故U AB也應(yīng)沒有區(qū)別，于是仍有類型

15、六、用對(duì)稱性和閉合電路歐姆定律求解無窮電阻網(wǎng)絡(luò)問題。 例9在空間有n個(gè)點(diǎn)，分別標(biāo)記為點(diǎn)1，2. n任意兩點(diǎn)間均用一電阻為R的導(dǎo)線相連接，再把點(diǎn)1和點(diǎn)n接到電動(dòng)勢(shì)為，內(nèi)阻為r的電源上，求流過連接點(diǎn)1和點(diǎn)n的電阻R上的電流強(qiáng)度值。分析和解：根據(jù)線路的對(duì)稱性，將除1、n這兩點(diǎn)以外的任一點(diǎn)上的連線和另一點(diǎn)上的連線對(duì)調(diào)，整個(gè)線路完全一樣，線路結(jié)構(gòu)沒有改變，各線上電流、各點(diǎn)的電勢(shì)均無改變，可見，由點(diǎn)2到點(diǎn)n1這n2個(gè)點(diǎn)是完全等價(jià)的，其上的電勢(shì)必然完全相同，從而這些點(diǎn)之間的所有連線上都沒有電流，在考慮本題所問時(shí)，這些連線可以全部撤去。于是電流就簡(jiǎn)化為圖1019(a)以及圖1019(b)。根據(jù)全電路歐姆定律

16、三、小試身手1已知12一8所示的電路中，電動(dòng)勢(shì)，內(nèi)阻， ，電阻，求電路中電流的分布。2由7個(gè)阻值均為r的電阻組成的網(wǎng)絡(luò)元如圖1021所示，由這種網(wǎng)絡(luò)元彼此連接形成的單向無限網(wǎng)絡(luò)如圖1022所示，試求圖1022中P、Q兩點(diǎn)之間的等效電阻RPQ。 3有一無限平面導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它由大小相同的正六邊形網(wǎng)眼組成，如圖10一23所示所有六邊形每邊的電阻均為R0求： （1）結(jié)點(diǎn)a、b間的電阻 （2）如果有電流I從a點(diǎn)流入網(wǎng)絡(luò)，由g點(diǎn)流出網(wǎng)絡(luò)，那么流過de段電阻的電流Ide為多大。4計(jì)算下列問題（1）在電路圖1024中，R0為已知，求：R1等于多少時(shí)，ab間的等效電阻才等于R0？當(dāng)通過電流時(shí)，ab兩端的電壓等于c

17、d兩點(diǎn)間電壓的多少倍？（2）在電路圖1025中，求AB兩點(diǎn)間的等效電阻等于多少？5將200個(gè)電阻連成如圖10一26所示的電路，圖中各Pn（n=1，2，3，100）點(diǎn)是各支路中連接兩個(gè)電阻的導(dǎo)線上的點(diǎn)，所有導(dǎo)線的電阻都可忽略現(xiàn)將一個(gè)電動(dòng)勢(shì)為、內(nèi)阻為r0的電源接到任意兩個(gè)Pn點(diǎn)處，然后將一個(gè)沒接電源的Pn點(diǎn)處切斷，發(fā)現(xiàn)流過電源的電流與沒切斷前一樣，則這200個(gè)電阻R1，R2， R100，r1，r2，r100應(yīng)有怎樣的關(guān)系？此時(shí)導(dǎo)線AB和CD之間的電壓為多少？6如圖10一27所示，電路中的各電阻器的電阻均相同，即R1=R2=R3=R，各電池的電動(dòng)勢(shì)1=，2=2，3=4。求通過每個(gè)電阻器以及電池的電流

18、的大小和方向（電池的內(nèi)阻不計(jì)）7在圖1028(a)中，電流表的讀數(shù)為I1 =20 Ma。如果電池x反向連接，電流增加到I2= 35 Ma。當(dāng)電燈發(fā)生短路時(shí)，電路中的電流I等于多少？燈泡的伏安特性曲線如圖1028(b)所示 參考解答1解：（1）標(biāo)定各段電路中各支路電流的方向（見圖10一20）在一個(gè)復(fù)雜的電路中，電流的方向往往不能預(yù)先判斷，暫且隨意假定（2）設(shè)未知變量I1、I2等為了使未知變量的數(shù)目盡量減少，應(yīng)充分利用基爾霍夫第一方程組例如在圖10一20中已設(shè)ABC支路的電流強(qiáng)度為I2，AEDC支路的電流強(qiáng)度為I1，在CA支路最好不再設(shè)一個(gè)變量I3，而根據(jù)基爾霍夫第一方程，直接設(shè)它為，這樣便將三個(gè)

19、未知變量減少到兩個(gè)。(3)選擇獨(dú)立回路，寫出相應(yīng)的基爾霍夫第二方程組譬如對(duì)于回路ABCDEA，我們有對(duì)于回路AEDCA，我們有 由于只有兩個(gè)未知變量，列出上面兩個(gè)方程就夠了。實(shí)際上我們也列不出第三個(gè)獨(dú)立的方程來，如果再對(duì)回路ABCA寫出一個(gè)方程，它對(duì)于上面已有的兩個(gè)方程來說不是獨(dú)立的（4）將上列方程組經(jīng)過整理后，得到將題目幾中給出的參量數(shù)值代入，從這個(gè)聯(lián)立方程組即可解得 ，從得到的結(jié)果看到，I10，I20這表明最初隨意假定的電流方向中，I1的方向是正確的，I2的實(shí)際方向與圖中所標(biāo)的相反。2解：將k個(gè)網(wǎng)絡(luò)元組成的梯形網(wǎng)絡(luò)的等效電阻記為，再連一個(gè)網(wǎng)絡(luò)元后的等效電阻記為，其間關(guān)系如圖1所示，后者又可簡(jiǎn)化為圖2所示，其間關(guān)系為，在圖2所示網(wǎng)絡(luò)中設(shè)電流I從A端流入，從B端流出，各支路電流如圖所示，據(jù)此可列出下述電壓方程 它們可等效為，由此解得，于是有將表達(dá)式代入后，可算得當(dāng)時(shí)，、同趨向于，故有 由此可得符合物理要求的解為3解：（1）設(shè)有電流I從點(diǎn)流人，沿各個(gè)方向流向無限遠(yuǎn)處，這時(shí)流過的電流為，流過cb的為；若這個(gè)I的電流又沿各個(gè)方向從無限遠(yuǎn)處匯集于b點(diǎn)流出；那流過的電流為，流過cb的為將這兩種情況合起來考慮，由電流疊加原理可知 因此、間的等效電阻（2）如有電流I從a點(diǎn)流入網(wǎng)絡(luò)，考慮到對(duì)稱性，必有因?yàn)閎、d兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以同理，如有電流I從各個(gè)方向匯