高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)課后強化作業(yè)43空間向量及其應(yīng)用理Word版含詳解

1、基本素能訓(xùn)練一、選擇題1(2013·天津和平區(qū)模擬)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E是AA1的中點，則異面直線D1C與BE所成角的余弦值為()A.B.C. D.答案B解析以A為原點，AB、AD、AA1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB1，則B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，AA12AB，E(0,0,1)，(1,0,1)，(1,0,2)，D1(0,1,2)，cos，故選B.2已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于()A. B.C. D

2、.答案B解析如圖，設(shè)A1在平面ABC內(nèi)的射影為O，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA、OA1分別為x軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖設(shè)ABC邊長為1，則A(，0,0)，B1(，)，(，)平面ABC的法向量n(0,0,1)，則AB1與底面ABC所成角的正弦值為sin|cos，n|.3在90°的二面角的棱上有A、B兩點，AC，BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，且都垂直于棱AB，已知AB5，AC3，BD4，則CD()A5 B5C6 D7答案A解析由條件知ACAB，BDAB，ACBD，又CCAB，2(CAB)2|C|2|A|2|B|232524250.|C|5，CD5.4如圖，四棱錐SABCD的底面為正方形，

3、SD底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是()AACSBBAB平面SCDCSA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角DAB與SC所成的角等于DC與SA所成的角答案D解析四邊形ABCD是正方形，ACBD.又SD底面ABCD，SDAC.SDBDD，AC平面SDB，從而ACSB.故A正確易知B正確設(shè)AC與DB交于O點，連接SO.則SA與平面SBD所成的角為ASO，SC與平面SBD所成的角為CSO，又OAOC，SASC，ASOCSO.故C正確由排除法可知選D.5(2012·安順模擬)正四面體ABCD的棱長為1，G是ABC的中心，M在線段DG上，且AMB90°，則GM的長為(

4、)A. B.C. D.答案D解析法一：取AB的中點N，由正四面體的對稱性可知AMB為等腰三角形，MNAB.又G為ABC的中心，NG，故MG.法二：設(shè)a，b，c，a(abc)(1)abc，(ab)(1)abca(1)bc.由·0，abbcac，可解得.|.二、填空題6如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1，點M是線段DC1上的動點，則點M到直線AD1距離的最小值是_答案a解析設(shè)M(0，m，m)(0ma)，(a,0，a)，直線AD1的一個單位方向向量s(，0，)，(0，m，am)，故點M到直線AD1的距離d，根式內(nèi)的二次函數(shù)當(dāng)m時取最小值()2a×a

5、2a2，故d的最小值為a.7.(2012·江南十校聯(lián)考)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，點MAB1，NBC1，且AMBN，有以下四個結(jié)論：AA1MN；A1C1MN；MN平面A1B1C1D1；MN與A1C1是異面直線其中正確命題的序號是_(注：把你認(rèn)為正確命題的序號都填上)答案解析在正方體中，AB1BC1，MAB1，NBC1，且AMBN，當(dāng)M為AB1的中點時，N為BC1的中點，即B1C的中點，此時MNACA1C1，否則MN與A1C1異面，都錯；在BB1上取點E，使NEB1C1，則，MEABA1B1，平面MNE平面A1B1C1，MN平面A1B1C1D1，又AA1平面A1B

6、1C1D1，AA1MN，故正確三、解答題8.(2012·濰坊質(zhì)檢)如圖，已知ABCDA1B1C1D1是底面為正方形的長方體，A1D12，A1A2，點P是AD1上的動點(1)當(dāng)P為AD1的中點時，求異面直線AA1與B1P所成角的余弦值；(2)求PB1與平面AA1D1所成角的正切值的最大值解析(1)(法一)過點P作PEA1D1，垂足為E，連接B1E，則PEAA1，B1PE是異面直線AA1與B1P所成的角在RtAA1D1中，A1D12，AA12，A1EA1D11，B1E.又PEAA1，在RtB1PE中，B1P2，cosB1PE.異面直線AA1與B1P所成角的余弦值為.(法二)以A1為原點，

7、A1B1所在的直線為x軸，A1D1所在直線為y軸，A1A所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則A1(0,0,0)，A(0,0,2)，B1(2,0,0)，P(0，1，)，(0,0,2)，(2,1，)，cos，.異面直線AA1與B1P所成角的余弦值為.(2)由(1)知，B1A1平面AA1D1，B1PA1是PB1與平面AA1D1所成的角，且tanB1PA1.當(dāng)A1P最小時，tanB1PA1最大，這時A1PAD1，由A1P，得tanB1PA1，即PB1與平面AA1D1所成角的正切值的最大值為.9(2013·北京海淀模擬)如圖所示，PA平面ABC，點C在以AB為直徑的O上，CBA30&#

8、176;，PAAB2，點E為線段PB的中點，點M在上，且OMAC.(1)求證：平面MOE平面PAC；(2)求證：平面PAC平面PCB；(3)設(shè)二面角MBPC的大小為，求cos的值解析(1)因為點E為線段PB的中點，點O為線段AB的中點，所以O(shè)EPA.因為PA平面PAC，OE平面PAC，所以O(shè)E平面PAC.因為OMAC，又AC平面PAC，OM平面PAC，所以O(shè)M平面PAC.因為OE平面MOE，OM平面MOE，OEOMO，所以平面MOE平面PAC.(2)因為點C在以AB為直徑的O上，所以ACB90°，即BCAC.因為PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC.因為AC平面PAC，PA平

9、面PAC，PAACA，所以BC平面PAC.因為BC平面PBC，所以平面PAC平面PBC.(3)如圖，以C為原點，CA所在的直線為x軸，CB所在的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.因為CBA30°，PAAB2，所以CB2cos30°，AC1.延長MO交CB于點D.因為OMAC，所以MDCB，MD1，CDCB.所以P(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0，0)，M(，0)所以(1,0,2)，(0，0)設(shè)平面PCB的法向量m(x，y，z)因為所以即令z1，則x2，y0.所以m(2,0,1)同理可求平面PMB的一個法向量n(1，1)所以cosm，n.所以cos.能力提高訓(xùn)練

10、一、解答題1如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB，CEEF1.(1)求證：AF平面BDE；(2)求證：CF平面BDE；(3)求二面角ABED的大小解析(1)設(shè)AC與BD交于點G，因為EFAG，且EF1，AGAC1，所以四邊形AGEF為平行四邊形所以AFEG.因為EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE.(2)因為正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD.如圖以C為原點，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.則C(0,0,0)，A(，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，B(0，0)，F(xiàn)(，1)所以(，1)，(

11、0，1)，(，0,1)所以·0110，·1010.所以CFBE，CFDE，所以CF平面BDE.(3)由(2)知，(，1)是平面BDE的一個法向量，設(shè)平面ABE的法向量n(x，y，z)，則n·0，n·0.即所以x0，zy.令y1，則z.所以n(0,1，)，從而cos(n，)因為二面角ABED為銳角，所以二面角ABED為.點評綜合法更注重推理，方法巧妙，計算量不大，對空間想象能力以及邏輯推理能力要求較高，而向量法更多的是計算而且方法統(tǒng)一，具有格式化，易于掌握從近幾年高考尤其新課標(biāo)地區(qū)的高考題來看主要以向量法的考查為主，較少使用綜合法2(2013·桂

12、東一中月考)如圖，四棱錐PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，點E在棱PB上(1)求證：平面AEC平面PDB；(2)當(dāng)PDAB且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小解析(1)四邊形ABCD是正方形，ACBD，PD底面ABCD，PDAC，AC平面PDB，又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.(2)設(shè)ACBDO，連接OE，由(1)知AC平面PDB于O，AEO為AE與平面PDB所成的角，O，E分別為DB、PB的中點，OEPD，OEPD，又PD底面ABCD，OE底面ABCD，OEAO，在RtAOE中，OEPDABAO，AOE45°，即AE與平面PDB所成的角的大小為45

13、°.3(2013·湖南理，19)如下圖，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90°，ACBD，BC1，ADAA13.(1)證明：ACB1D；(2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值解析解法1：(1)如圖1，因為BB1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACBB1.又ACBD，所以AC平面BB1D.而B1D平面BB1D，所以ACB1D.(2)因為B1C1AD，所以直線B1C1與平面ACD1所成的角等于直線AD與平面ACD1所成的角(記為)如圖1，連接A1D.因為棱柱ABCDA1B1C1D1是直棱柱，且B1A1D1BAD90°，所以A

14、1B1平面ADD1A1.從而A1B1AD1.又ADAA13，所以四邊形ADD1A1是正方形，于是A1DAD1.故AD1平面A1B1D，于是AD1B1D.由(1)知，ACB1D，所以B1D平面ACD1，故ADB190°.在直角梯形ABCD中，因為ACBD，所以BACADB.從而RtABCRtDAB，故.即AB.連接AB1，易知AB1D是直角三角形，且B1D2BBBD2BBAB2AD221，即B1D.在RtAB1D中，cosADB1，即cos(90°)，從而sin.即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.解法2：(1)易知，AB，AD，AA1兩兩垂直如圖2，以A為坐標(biāo)原點

15、，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABt，則相關(guān)各點的坐標(biāo)為：A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)從而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)因為ACBD，所以·t2300.解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)因為·3300，所以，即ACB1D.(2)由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)設(shè)n(x，y，z)是平面ACD1的一個法向量，則即令x1，則n(1，)設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為，則sin|cosn，|.即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.4如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA12，C1H平面AA1B1B，且C1H.(1)求異面直線AC與A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角AA1C1B1的正弦值；(3)設(shè)N為棱B1C1的中點，點M在平面AA1B1B內(nèi)，且MN平面A1B1C1，求線段BM的長解析如圖所示 ，建立空間直角坐標(biāo)系，點B為坐標(biāo)原點依題意得A(2，0,0)，B(0,0,0)，C(，)，A1(2，2，0)，B1