高中數(shù)學(xué)線性規(guī)劃知識復(fù)習(xí)

1、高中必修5線性規(guī)劃最快的方法簡單的線性規(guī)劃問題一、知識梳理1. 目標函數(shù): 是一個含有兩個變 量 和 的 函數(shù)，稱為目標函數(shù)2.可行域:約束條件所表示的平面區(qū)域稱為可行域.3. 整點:坐標為整數(shù)的點叫做整點4.線性規(guī)劃問題:求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，通常稱為線性規(guī)劃問題只含有兩個變量的簡單線性規(guī)劃問題可用圖解法來解決5. 整數(shù)線性規(guī)劃:要求量取整數(shù)的線性規(guī)劃稱為整數(shù)線性規(guī)劃二、疑難知識導(dǎo)析線性規(guī)劃是一門研究如何使用最少的人力、物力和財力去最優(yōu)地完成科學(xué)研究、工業(yè)設(shè)計、經(jīng)濟管理中實際問題的專門學(xué)科.主要在以下兩類問題中得到應(yīng)用：一是在人力、物力、財務(wù)等資源一定的條件下

2、，如何使用它們來完成最多的任務(wù)；二是給一項任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務(wù).1.對于不含邊界的區(qū)域，要將邊界畫成虛線2.確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域有多種方法，常用的一種方法是“選點法”：任選一個不在直線上的點，檢驗它的坐標是否滿足所給的不等式，若適合，則該點所在的一側(cè)即為不等式所表示的平面區(qū)域；否則，直線的另一側(cè)為所求的平面區(qū)域若 直 線 不 過 原點，通 常 選 擇 原 點 代入檢驗3. 平 移 直 線 k 時，直線必須經(jīng)過可行域4.對于有實際背景的線性規(guī)劃問題，可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個凸多邊形區(qū)域，此時變動直線的最佳位置一般通過這個凸

3、多邊形的頂點5.簡單線性規(guī)劃問題就是求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無論此類題目是以什么實際問題提出，其求解的格式與步驟是不變的：（1）尋找線性約束條件，線性目標函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）在可行域內(nèi)求目標函數(shù)的最優(yōu)解.積儲知識：一 1.點P(x0,y0)在直線Ax+By+C=0上，則點P坐標適合方程，即Ax0+By0+C=02. 點P(x0,y0)在直線Ax+By+C=0上方（左上或右上），則當B>0時，Ax0+By0+C>0;當B<0時，Ax0+By0+C<03. 點P(x0,y0)在直線Ax+By+C=0下方（左下或右下），

4、當B>0時，Ax0+By0+C<0;當B<0時，Ax0+By0+C>0注意：（1）在直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點，把它的坐標(x,y)代入Ax+By+C,所得實數(shù)的符號都相同, （2）在直線Ax+By+C=0的兩側(cè)的兩點，把它的坐標代入Ax+By+C,所得到實數(shù)的符號相反,即：1.點P(x1,y1)和點Q(x2,y2)在直線 Ax+By+C=0的同側(cè)，則有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)>02.點P(x1,y1)和點Q(x2,y2)在直線 Ax+By+C=0的兩側(cè)，則有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)<0二.二元一次不等式

5、表示平面區(qū)域:二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐標系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域. 不包括邊界;二元一次不等式Ax+By+C0（或0）在平面直角坐標系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域且包括邊界;注意：作圖時,不包括邊界畫成虛線;包括邊界畫成實線.三、判斷二元一次不等式表示哪一側(cè)平面區(qū)域的方法:方法一:取特殊點檢驗; “直線定界、特殊點定域原因:由于對在直線Ax+By+C=0的同一側(cè)的所有點(x,y),把它的坐標(x,y)代入Ax+By+C,所得到的實數(shù)的符號都相同,所以只需在此直線的某一側(cè)取一個特殊點(x0,y0)

6、,從Ax0+By0+C的正負即可判斷Ax+By+C>0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.特殊地, 當C0時，常把原點作為特殊點，當C=0時，可用（0，1）或（1，0）當特殊點，若點坐標代入適合不等式則此點所在的區(qū)域為需畫的區(qū)域，否則是另一側(cè)區(qū)域為需畫區(qū)域。方法二：利用規(guī)律：1.Ax+By+C>0,當B>0時表示直線Ax+By+C=0上方（左上或右上），當B<0時表示直線Ax+By+C=0下方（左下或右下）;2.Ax+By+C<0,當B>0時表示直線Ax+By+C=0下方（左下或右下）當B<0時表示直線Ax+By+C=0上方（左上或右上）。四、線性規(guī)劃的有關(guān)概念

7、：線性約束條件： 線性目標函數(shù)：線性規(guī)劃問題： 可行解、可行域和最優(yōu)解：典型例題一-畫區(qū)域1. 用不等式表示以，為頂點的三角形內(nèi)部的平面區(qū)域分析：首先要將三點中的任意兩點所確定的直線方程寫出，然后結(jié)合圖形考慮三角形內(nèi)部區(qū)域應(yīng)怎樣表示。解：直線的斜率為：，其方程為可求得直線的方程為直線的方程為的內(nèi)部在不等式所表示平面區(qū)域內(nèi)，同時在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)，同時又在不等式所表示的平面區(qū)域內(nèi)（如圖）所以已知三角形內(nèi)部的平面區(qū)域可由不等式組表示說明：用不等式組可以用來平面內(nèi)的一定區(qū)域，注意三角形區(qū)域內(nèi)部不包括邊界線2 畫出表示的區(qū)域，并求所有的正整數(shù)解解：原不等式等價于而求正整數(shù)解則意味著，還有限制條

8、件，即求依照二元一次不等式表示的平面區(qū)域，知表示的區(qū)域如下圖：對于的正整數(shù)解，容易求得，在其區(qū)域內(nèi)的整數(shù)解為、3設(shè)，；，用圖表示出點的范圍分析：題目中的，與，是線性關(guān)系可借助于，的范圍確定的范圍解：由得由，得畫出不等式組所示平面區(qū)域如圖所示說明：題目的條件隱蔽，應(yīng)考慮到已有的，的取值范圍借助于三元一次方程組分別求出，從而求出，所滿足的不等式組找出的范圍4、已知x,y,a,b滿足條件：,2x+y+a=6,x+2y+b=6（1）試畫出（）的存在的范圍； （2）求的最大值。典型例題二-畫區(qū)域，求面積例3 求不等式組所表示的平面區(qū)域的面積分析：關(guān)鍵是能夠?qū)⒉坏仁浇M所表示的平面區(qū)域作出來，判斷其形狀進而

9、求出其面積而要將平面區(qū)域作出來的關(guān)鍵又是能夠?qū)Σ坏仁浇M中的兩個不等式進行化簡和變形，如何變形？需對絕對值加以討論解：不等式可化為或；不等式可化為或在平面直角坐標系內(nèi)作出四條射線：， ，則不等式組所表示的平面區(qū)域如圖，由于與、與互相垂直，所以平面區(qū)域是一個矩形0ABC（圖1）根據(jù)兩條平行線之間的距離公式可得矩形的兩條邊的長度分別為和所以其面積為典型例題三-求最值一、與直線的截距有關(guān)的最值問題 1.如圖1所示，已知中的三頂點，點在內(nèi)部及邊界運動，請你探究并討論以下問題：在 點A 處有最大值 6 ，在邊界BC處有最小值 1 ；在 點C 處有最大值 1 ，在 點B 處有最小值0ABC（ 圖2 ）0AB

10、C2若、滿足條件求的最大值和最小值分析：畫出可行域，平移直線找最優(yōu)解解：作出約束條件所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖所示作直線，即，它表示斜率為，縱截距為的平行直線系，當它在可行域內(nèi)滑動時，由圖可知，直線過點A時，取得最大值，當過點時，取得最小值 注：可化為表示與直線平行的一組平行線，其中為截距，特別注意：斜率范圍及截距符號。即注意平移直線的傾斜度和平移方向。變式：設(shè)x,y滿足約束條件分別求：(1)z=6x+10y，(2)z=2x-y,(3)z=2x-y，的最大值，最小值。二、與直線的斜率有關(guān)的最值問題 表示定點P（x0,y0)與可行域內(nèi)的動點M(x,y)連線的斜率.例2設(shè)實數(shù)滿足，則的最大值

11、是_ 解析：畫出不等式組所確定的三角形區(qū)域ABC，表示兩點確定的直線的斜率，要求z的最大值，即求可行域內(nèi)的點與原點連線的斜率的最大值0ABC（圖1）可以看出直線OP的斜率最大，故P為與的交點，即A點故答案為3.如圖1所示，已知中的三頂點，點在內(nèi)部及邊界運動，請你探究并討論以下問題：若目標函數(shù)是或，你知道其幾何意義嗎？你能否借助其幾何意義求得和？三、與距離有關(guān)的最值問題（配方）的結(jié)構(gòu)表示定點Q （x0,y0)到可行域內(nèi)的動點N(x,y)的距離的平方或距離。1.已知，求的最大、最小值分析：令，目標函數(shù)是非線性的而可看做區(qū)域內(nèi)的點到原點距離的平方問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題解：由得可行域(如圖所示)為，而到，的距離分別為和 所以的最大、最小值分別是50和2.已知求的最小值 解析：作出可行域如圖3，并求出頂點的坐標A（1，3）、B（3，1）、C（7，9）而表示可行域內(nèi)任一點（x，y）到定點M（0，5）的距離的平方，過M作直線AC的垂線，易知垂