淺談條件概率在生活中的應用

1、淺談條件概率在生活中的應用摘要：條件概率在概率論中占著舉足輕重的地位,其在生活中更是存在廣泛的應用.之前有許多學者在應用方面對它進行了研究,取得很多重要成果.本文在其基礎上,通過查閱各類資料,總結分析收集到的各方面信息,在深刻理解條件概率的定義、相關性質、概率計算以及三個重要公式的基礎上,主要討論了條件概率在生活中的廣泛應用.其應用除進行舉例分析外,還作了進一步的說明和拓展.關鍵詞:條件概率 概率 應用Discuss Conditional Probability of application in lifeAbstract：Conditional probability in the pro

2、bability of a pivotal position occupied, in life there is more widely used. before the application of many scholars studied it, made many important achievements. In this paper, its basis, through access to various types of Data, analyzed all aspects of the information collected, in a deep understand

3、ing of the definition of conditional probability, related to the nature, probability calculations and formulas on the basis of three important, mainly to discuss the conditions for the probability of a wide range of applications in life. In addition to the examples of its application Analysis, but a

4、lso made a further explanation and expansion.Keywords: Conditional probability Probability Application1 條件概率的相關概念1.1 概率定義概率（英文名：probability）,全國科學技術名詞審定委員會審定公布的結果將其定義為：表征隨機事件發(fā)生可能性大小的量,是事件本身所固有的不隨人的主觀意愿而改變的一種屬性.通俗的講：概率是隨機事件發(fā)生的可能性大小,它是隨機事件出現(xiàn)可能性的量度.1.2 條件概率定義我們知道對概率的討論總是在某些固定的條件下進行的,以前的討論經常是假定除此之外無別的信息可

5、用.但是,有時我們卻會碰到這樣的情況,即已知在某事件B發(fā)生的條件下,求另一事件A的概率.下面我們看一個例子：例1.1 考慮拋硬幣事件,假定硬幣出現(xiàn)正反面概率相同,則分別做上記號1、2的兩枚硬幣同時拋出后向上面分別為：（正,反）,（正,正）,（反,正）,（反,反）的可能性是一樣的. 若以A記隨機選取一次拋物中出現(xiàn)一正一反這一事件,則顯然P（A）1/2,但是,若預先知道這次事件中至少有一個反面,那么這個事件的概率就應該是2/3.顯然兩種情況下算出的概率不同的,因為在第二種情況下,我們多知道了一個條件：事件B（至少有一反面）發(fā)生,因此我們算得的概率事實上是"在已知事件B發(fā)生的條件下,事件A

6、發(fā)生的概率",這個概率我們記為P（AB）.條件概率是概率論中一個重要而實用的概念,所考慮的是在事件A已發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率.對于條件概率,一是知道實際生活中哪些是條件概率,條件是什么；二是如何計算條件概率.設A與B是樣本空間中的兩事件,若P（B）> 0,則稱P（AB）P（AB）/P（B）為“在B的發(fā)生下A的條件概率”,簡稱條件概率.類似地,當P（A）> 0時,在事件A發(fā)生下事件B發(fā)生的條件概率為: P（BA）P（AB）/P（A）1.3 條件概率計算方法結合實例談談條件概率的計算方法：方法一，由公式P（AB）P（AB）/P（B）計算：例1.1中,AB“出現(xiàn)一正一反這

7、一事件”, P（AB）=，則P（AB）P（AB）/P（B）=/=方法二，“改變樣本空間法”：硬幣拋出后,我們得到的樣本空間是C=（正,反）,（正,正）,（反,正）,（反,反）,當?shù)弥诙€條件“事件B發(fā)生”時,則轉而在“新樣本空間”D=（正,反）,（反,正）,（反,反）的基礎上計算了,于是很容易得到P（AB）.前面給出的概率公理化定義是比較嚴密的數(shù)學定義，我們可以通過定義對概率進行討論，但是它并沒有給出具體的計算方法，下面就讓我們從幾個公式入手重點談談條件概率的計算問題：2 條件概率三公式及其簡單應用2.1乘法公式我們把條件概率公式改寫為：P（AB）P（B）P（AB） （1）將其進一步延伸我們

8、得到另一個式子： （2）這就是乘法公式,可見乘法公式是利用條件概率P（AB）來計算P（AB）的.乘法公式是普遍成立的,只要作為“條件的事件“的概率不等于零即可.例2.1 （配對問題）在一次生日聚會上,嘉賓的把傘（各不相同）被放在了同一個櫥柜,離開的時候每人從櫥柜中任意取出一把傘,求沒有一個人拿到自己傘的概率.解：令=“第個人拿到了自己的傘”, =1,2,則表示“個人中至少有一個人拿到了自己的傘”,所以=1-.每個人可以從n把傘中隨意拿一把,所以第個人拿到自己傘的概率=,故若出現(xiàn),第個人共有把傘可以選擇,故, 從而同理,(=1,2,)所以,=1-1-.從式子中我們可以看出,與有關,進一步計算知2

9、.2全概率公式設,為樣本空間的一個分割（見圖）,即,互不相容,且,如果P（）>0,=1,2,n,則對任一事件A有P（A）= （3）樣本空間的一個分割（n=5）全概率公式由兩類概率組成,一類是完備事件組的概率,另一類是條件概率.在較復雜的問題中,只有一類概率是已知的,而另一類概率需用其他方法計算得到.例2.2 （摸獎模型）個燈泡中有一個是壞的（假設分辨不出好壞）,現(xiàn)在有個人去任意挑選,求第二個人挑到壞燈泡的概率是多少?解：設“第個人挑到壞燈泡”為事件,=1,2,.第二個人挑到壞燈泡的概率即,根據(jù)題意,可知,.又因為,所以,由全概率公式可得類似方法我們可以知道,不分先后,每個人挑到壞燈泡的概

10、率都是相同的.2.3貝葉斯公式在乘法公式和全概率公式的基礎上可推得一個很著名的貝葉斯公式： （4）其中,為樣本空間的一個分割,且, P（）>0，P（A）>0 ，例題2.3 （確診率問題）某地區(qū)白化病被準確診斷出的概率是0.98,無這種病卻被誤診的概率是0.3%,現(xiàn)假設該地區(qū)患此病的概率0.06%,若隨機選出一個人診斷患有白化病,求這個人確實患有此病的概率是多少?解：令事件A為“此人被診斷出患有白化病”,事件B為“此人確實患有白化病”,則所求的概率為,我們又知道=0.0006,=0.98,=0.003.所以,由貝葉斯公式得：=0.161答：這個人確實患有此病的概率是0.161.從形式

11、上看,貝葉斯公式是條件概率、乘法公式、全概率公式的結合,事實上,貝葉斯公式總是和全概率公式連在一起的.條件概率的這三個公式中，乘法公式是求事件交的概率，全概率公式是求復雜事件的概率，而貝葉斯公式是求一個條件概率.在討論了有關條件概率的定義、性質以及三個重要公式之后,我們進一步研究條件概率的應用.3 條件概率公式的綜合應用一位哲學家曾經說過：“概率是人生的真正指南”.隨著生產的發(fā)展和科學技術水平的提高,概率已滲透到我們生活的各個領域.眾所周知的保險、招工考試錄取分數(shù)線的預測甚至經濟學中的很多領域無不充分利用概率知識，下面我們就一起來看看條件概率在我們身邊的應用.例31 兩個車床加工同一種鞋,已知

12、甲車床出現(xiàn)不合格品的概率是0.02,乙車床出現(xiàn)不合格品的概率是0.04,加工出來的鞋子放在一起,并且已知甲車床加工的鞋子數(shù)量是乙車床的二倍.求：（1）任取一雙鞋子合格的概率；（2）若取出的鞋子不合格,試求它是由乙車床加工的概率；解：設事件A為“取到甲車床加工的鞋”,事件B為“取到的是合格品”.則=.所以（1）由全概率公式得=+=（2）由貝葉斯公式得=答：（1）任取一雙鞋子合格的概率為;（2）不合格鞋子由乙車床加工的概率為.例3.2 某大型超市整盒出售中性筆替芯，每盒20只，已知盒中有0、1、2個次品（假設不下水即是次品）的概率別是0.7、0.2、0.1，今有一顧客隨機取了一盒，并當場開盒隨機的

13、取2個檢查，若沒有發(fā)現(xiàn)次品就買下，求買下的一盒無次品的概率.解 設事件、分別表示盒中有0、1、2個次品；事件A表示顧客買下，則由題意可知：，全概率公式：=1+=0.961,又由貝葉斯公式得，=答：買下的一盒無次品的概率為0.728結束語以上就是我對概率及條件概率的理解，以及它們在實際生活中的應用，事實上只要我們認真觀察生活，就會發(fā)現(xiàn)其實我們的生活中到處充滿著概率知識，對概率的實際應用會使我們的生活更加美好.參考文獻【1】 張麗霞，韓積成.關于條件概率的幾點注記【D】. 張掖師范高等?？茖W校數(shù)學系，2001.【2】 張繼昌.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（修訂版）【M】.浙江大學出版社，2008.1727.【3】 孫榮恒.應用概率論【M】.科學出版社，2001.3040.【4】 茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程【M】.高等教育出版社，2009.3848.【5】 王梓坤.概率論基礎及其應用【M】.北京師范大學出版社，1996.2026.【6】 李子強，李逢高等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第二