泰勒公式及其應(yīng)用黃小強(qiáng)

1、韶 關(guān) 學(xué) 院畢 業(yè) 設(shè) 計題 目：泰勒公式及其應(yīng)用學(xué)生姓名：黃小強(qiáng)學(xué) 號：061110134016院 系：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專 業(yè)：信息與計算科學(xué)班 級： （1）班指導(dǎo)老師姓名及職稱：莊思發(fā) 講師起止時間： 2009 年 06 月 2010 年 01 月泰勒公式及其應(yīng)用摘要：泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中的重要內(nèi)容，集中體現(xiàn)了微積分中“逼近法”的思想，在理論分析和實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常涉及。本文首先闡述了泰勒公式的定義和基本內(nèi)容，然后在基本概念的基礎(chǔ)上舉例實(shí)證，探討了泰勒公式在求極限，級數(shù)收斂，定積分，近似計算，根的存在性，函數(shù)的凹凸性及拐點(diǎn)，行列式計算這幾個方面的應(yīng)用與技巧。通過這幾個方面的研究，使我們在特

2、定的題設(shè)條件下形成特定的解題思路，使一些問題得到更好的解答。關(guān)鍵詞：泰勒公式；導(dǎo)數(shù)；極限；近似計算Taylor Formula and It”s ApplicationsAbstract:Taylor Formula is a very important content of mathematical analysis, it can intensively embody the soul of “approximation“ of calculus, and it is extensively applied in the theoretical analysis and practica

3、l application. Firstly, this paper states the definition and primary content about it, then discusses its applications and skills in some aspects by enumerating examples basing on the concept, such as limitation, series convergence, definite integral, approximate calculation, existence of roots, con

4、cavity and convexity of function, flecnode of function, determinant calculation. Through the study of the aspects above, this paper aims to form the special thoughts in special situations, and enable us to solve the problem more efficiently.Keyword: Taylor formula;derivative;limit;approximately cons

5、iderations目錄 1 引言 （1） 2 泰勒公式的基本理論 （1） 2.1 泰勒公式的定義 （1）2.2 泰勒公式的類型 （2）3 泰勒公式的應(yīng)用 （4）3.1 利用泰勒公式判斷級數(shù)斂散性 （4）3.2 利用泰勒公式求極限 （5）3.3 利用泰勒公式求近似值 （6）3.4 利用泰勒公式證明不等式 （7）3.5 利用泰勒公式研究函數(shù)的性質(zhì) （8）3.6 利用泰勒公式求初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式 （9）4 結(jié)論 （10）致謝 （11）參考文獻(xiàn) （12）泰勒公式及其應(yīng)用06級信息與計算科學(xué)本科班 黃小強(qiáng)指導(dǎo)老師：莊思發(fā) 講師1 引言 1715年，泰勒在其著作正的和反的增量方法中首先提出了著名的泰

6、勒公式：當(dāng)時變稱作麥克勞林公式。1772年，拉格朗日強(qiáng)調(diào)了這條公式的重要性，而且稱之為微分學(xué)基本定理，但是泰勒在證明中并沒有考慮級數(shù)的收斂性，因而使證明不嚴(yán)謹(jǐn)，直到十九世紀(jì)二十年代才由柯西完成。在初等函數(shù)中，多項(xiàng)式是最簡單的函數(shù)。因?yàn)槎囗?xiàng)式函數(shù)的運(yùn)算只有加、減、乘三種運(yùn)算。如果能將有理分式函數(shù)，特別是無理函數(shù)和初等超越函數(shù)用多項(xiàng)式函數(shù)近似代替，而誤差又能滿足要求，顯然，這對函數(shù)性態(tài)的研究和函數(shù)值的近似計算都有重要意義。那么一個函數(shù)只有什么條件才能用多項(xiàng)式函數(shù)近似代替呢？這個多項(xiàng)式函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)與這個函數(shù)有什么關(guān)系呢？用多項(xiàng)式函數(shù)近似代替這個函數(shù)誤差又怎么樣呢？通過對數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)，我感覺到泰勒

7、公式是微積分學(xué)中的重要內(nèi)容，在函數(shù)值估測及近似計算，用多項(xiàng)式逼近函數(shù)，求函數(shù)的極限和定積分不等式、等式的證明等方面，泰勒公式是有用的工具2 泰勒公式的基本理論 2.1泰勒公式的定義 我們在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)和微分概念時已經(jīng)知道，如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則有即在點(diǎn)附近，用一次多項(xiàng)式逼近函數(shù)時，其誤差為的高階無窮小量。然而在很多場合，取一次多項(xiàng)式逼近是不夠的，往往需要用二次或高于二次的多項(xiàng)式去逼近，并要求誤差為，其中為多項(xiàng)式的次數(shù)。為此，我們考察任一次多項(xiàng)式逐次求它在點(diǎn)處的各階導(dǎo)數(shù)，得到即由此可見，多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)由其在點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值所唯一確定。 對于一般函數(shù)，設(shè)它在點(diǎn)存在直到階的導(dǎo)數(shù)。由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)造一個次多項(xiàng)

8、式 稱為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒多項(xiàng)式，的各項(xiàng)系數(shù)稱為泰勒系數(shù)。 2.2 泰勒公式的類型 1 帶有佩亞諾余項(xiàng)型的泰勒公式： 若函數(shù)在點(diǎn)存在直到階導(dǎo)數(shù)，則有 2 帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式 泰勒定理 若函數(shù)在上有階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù)，則對任意的，必存在一點(diǎn)，使得 （1） 其中稱為拉格朗日型余項(xiàng)。3 帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公式在（1）式中設(shè)，有 下面是5個常用的麥克勞林公式 （2） 3 泰勒公式的應(yīng)用泰勒公式及其幾個常見函數(shù)的展開式，闡述了泰勒公式在判斷級數(shù)斂散性，求行列式的值，求近似計算，證明不等式，求函數(shù)極限等方面的應(yīng)用。下面從討論級數(shù)斂散性、計算極限、證明不等式、研究函數(shù)性質(zhì)、證

9、明不等式等幾個方而來探討泰勒公式的應(yīng)用。3.1 利用泰勒公式判斷級數(shù)的斂散性判斷級數(shù)的斂散性，最主要的問題是求出級數(shù)的極值，且希望極值，利用泰勒公式就可以較容易的解決。例1：討論級數(shù)的斂散性解：由泰勒展開式（2）得： 選取比較級數(shù)因?yàn)槎墧?shù)收斂，所以由級數(shù)斂散性判別定理1知級數(shù)收斂。3.2 利用泰勒公式求極限 有時候利用洛必達(dá)法則求極限會遇到比較復(fù)雜的運(yùn)算，步驟也多，而利用泰勒公式來求極限，則會簡單得多。例2：假設(shè)，并且， 證明：證：按題設(shè)有其中又因?yàn)榇嬖?，?所以 從而有 注意到 上式兩邊去極限可得3.3 利用泰勒公式求近似值當(dāng)要求的算式不能得出它的準(zhǔn)確值，只能求得靠近似值，這時候，泰勒公式

10、是解決這種問題的好方法。例3：當(dāng)充分小時，推導(dǎo)近似公式，解：因?yàn)樵卩徲騼?nèi)任意階可導(dǎo)，故由帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式，可得 另一方面，因?yàn)樵卩徲騼?nèi)任意階可導(dǎo)，且在該鄰域內(nèi)。由帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式的唯一性得對比上面兩個式子，由泰勒公式的唯一性得所以 即有 可得 ， ， ， 于是 由此可見，當(dāng)足夠小時，有 。3.4 利用泰勒公式證明不等式利用泰勒公式的各種展開式，可以比較容易的證明不等式 。 例4：假設(shè)是可微分二次的函數(shù)，且 ，證明不等式證： 由泰勒公式對任何都有 （3） （4）其中位于與之間，位于與之間（3）式減去（4）式得到即 所以 即 上式對任何都成立，故左邊二次式的判別式必小于等于0，即 即

11、由的任意性有 。3.5 利用泰勒公式研究函數(shù)的性質(zhì)在利用泰勒公式研究各種函數(shù)的性質(zhì)時，往往都要用到泰勒展開式。例5：設(shè)為一次多項(xiàng)式，若皆為正值。證明在上無根。證：在題設(shè)條件下，假定，使得，注意多項(xiàng)式處處任意階可導(dǎo)，故存在，使得，于是，由泰勒公式，在上，有注意，故中，所以任一項(xiàng) 即，假定有誤，由的任意性及知在上無根。3.6 利用泰勒公式求初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式例6：將多項(xiàng)式表為的冪的多項(xiàng)式解：令，則，代入表達(dá)式中得 故關(guān)于的冪的多項(xiàng)式為 其實(shí)泰勒公式的應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些，在這里只能說明一部分，也證明了泰勒公式的應(yīng)用面之廣。但是，在某些特定的情況下，使用泰勒公式才能做到方便和快捷，例如在證明不等式時

12、，當(dāng)所要證明的不等式是含有多項(xiàng)式和初等函數(shù)的混合不等式時，作一個輔助函數(shù)并用泰勒公式代替，往往使證明簡單不少；還有就是利用泰勒公式求近似值時，當(dāng)離越來越遠(yuǎn)，效果會越來越差，甚至產(chǎn)生完全錯誤的結(jié)果。所以，泰勒公式不是萬能的，利用泰勒公式的時候要對具體的情況進(jìn)行分析，否則可能會得到相反的結(jié)果。4 結(jié)論 在對函數(shù)的某些形態(tài)進(jìn)行理論分析時，泰勒公式大有用武之地，是最有力的數(shù)學(xué)工具之一，在數(shù)學(xué)的各個分支中等都有廣泛的應(yīng)用，包括求極限，級數(shù)的斂散性，近似值，不等式，函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式等。從近似計算角度來說，泰勒公式對附近的有較高的精度，在求極限方面節(jié)省的很多步驟和時間。致 謝 首先我要謝謝

13、我的導(dǎo)師莊思發(fā)老師在我畢業(yè)論文設(shè)計過程中給我的幫助和，指導(dǎo)和鼓勵，讓我能夠順利的完成畢業(yè)論文。莊思發(fā)老師學(xué)識淵博，治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，寬厚待人，讓我在論文設(shè)計過程中獲益匪淺，更使我在為人處事上受益終身。在此，向莊思發(fā)老師致以崇高的敬意，由衷的感謝和美好的祝愿。其次要感謝每一位教導(dǎo)過我的老師。沒有他們的教導(dǎo)，我就沒有較好的專業(yè)技能，也就無法順利的完成畢業(yè)論文，再次感謝他們。還有就是謝謝我身邊的同學(xué)和好友，他們都給了我很大的幫助。最后要感謝的是我的父母，他們的支持，鼓勵和關(guān)愛，讓我能夠茁壯成長。參考文獻(xiàn)1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）M.北京：高等教育出版社，2005，134-141.2吳良森，毛羽輝，韓士安，吳畏.數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書M.北京：高等教育出版社，2004.158-163.3劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義M.北京：高等教育出版社，1960，226-235.4蕭治經(jīng).D語言數(shù)學(xué)分析M.廣州：廣東高等教育出版社，2004，115-120.5廖良文，許寧.數(shù)學(xué)分析習(xí)題全解M.合肥：安徽人民出版社，2005，286-316.6陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析M.北京：高等教育出版社，1999，192-207.