常微分方程積分因子法的求解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上用積分因子法解常微分方程摘 要：每一個微分方程通過轉(zhuǎn)化為恰當方程之后，可以運用恰當方程的公式進行求解，因此非恰當微分方程轉(zhuǎn)化成恰當方程是求解微分方程的重要步驟，轉(zhuǎn)化成恰當方程需要求解出積分因子，因此積分因子的求解變得非常重要.此論文主要研究幾類微分方程積分因子，從而使微分方程的求解變得較簡便.關(guān)鍵詞：微分方程 恰當微分方程 積分因子 通解Abstract：After each differential equation through into the appropriate equation, can use the appropriate equations fo

2、r solving non appropriate formula, the differential equation is transformed into an appropriate equation is an important step in solving differential equations, into the appropriate equation requires the solution of the integral factor, thus solving the integral factor becomes very important. This p

3、aper mainly research for several kinds of differential equation of integral factor, to make it easy for solving differential equations.Key Words：Differential equation Exact differential equation Integrating factor General solution自變量只有一個的微分方程稱為常微分方程.常微分方程是數(shù)學(xué)分析或基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個組成部分，在整個數(shù)學(xué)大廈中占據(jù)著重要位置.本文通過運用求微分方程

4、的積分因子來將微分方程轉(zhuǎn)化為恰當微分方程求解.常微分方程是解決實際問題的重要工具1.1 恰當微分方程1.1 常微分方程聯(lián)系自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)（或微分）之間的關(guān)系式稱為微分方程. 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程，未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程.方程 （1.1） （1.2）就是常微分方程的例子，這里是未知數(shù)，是自變量.1.2 恰當微分方程考慮一階方程 （1.3）這里假設(shè)，在某矩形區(qū)域內(nèi)是，的連續(xù)函數(shù)且具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù).若方程（1.3）的左端恰好是某個二元函數(shù)的全微分，即 （1.4）則稱（1.3）為恰當微分方程（全微分方程）.恰當微分方程（1.3）的通

5、解就是 （1.5）這里是任意常數(shù). 定理12 設(shè)函數(shù)和在一個矩形區(qū)域中連續(xù)且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則稱（2.1）為恰當微分方程的充要條件是 （1.6）1.3 恰當微分方程的解法方法1 湊微分法：利用熟知的二元函數(shù)微分公式，重新分組組合，分塊湊成全微分式方法2 不定積分法：利用關(guān)系式：由此，函數(shù)應(yīng)適合方程組對關(guān)于積分得 兩端關(guān)于求導(dǎo)數(shù)，并利用恰當微分方程的充要條件，得通過對方程 關(guān)于積分，解出，從而可得的表達式，令即得方程的通解.如果對關(guān)于積分，同理可得方程的通解為其中可類似于求解的方法得到. 方法3 公式法：方程的通解為 或 其中是任意常數(shù)3.例1 求的通解解 這里,在平面上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，這時因

6、此方程為恰當微分方程. 方法1（不定積分法） 現(xiàn)在求，使它同時滿足如下兩個方程： ， （1） . （2）由（1）對積分，得到 ， （3）將（3）對求導(dǎo)數(shù)，并使它滿足（2），即得，于是積分后得將代入（3），得到因此，方程的通解為這里是任意常數(shù). 方法2 （公式法） 取因此因此，方程的通解為這里是任意常數(shù).方法3（湊微分法） 將方程重新“分項組合”，得到 即或者寫成因此，方程的通解為這里是任意常數(shù).2 用積分因子法解常微分方程恰當微分方程可通過積分求出它的通解,但并非所有的微分方程均為恰當微分方程。如果能將一個非恰當微分方程化為恰當微分方程，則求其通解將變得簡單。為此本文尋求微分方程各類積分因子,

7、化微分方程為恰當方程求解，這樣給解題帶來很大的方便。2.1 積分因子的基本概念如果存在連續(xù)可微的函數(shù)，使得 （2.1）為一恰當微分方程，即存在函數(shù)，使 ， （2.2）則稱為方程（2.1）的積分因子.因此求解非恰當方程的關(guān)鍵是尋找合適的積分因子，從而將非恰當微分方程轉(zhuǎn)化為恰當微分方程的求解問題.性質(zhì)1 只要方程（1.3）有解，則必有積分因子，而且不是唯一的，對于不同的積分因子，通解可能具有不同的形式.性質(zhì)2 方程（1.3）的任意兩個積分因子和之間必有函數(shù)關(guān)系.性質(zhì)3 若方程（1.3）的有兩個積分因子和，且常數(shù)，則該方程的通積分為 .注意：方程兩端同乘以積分因子可能出現(xiàn)使此因子為零的多余特解，注意

8、檢查.2.2 積分因子的存在的充要條件根據(jù)微分方程為全微分方程的充要條件是即令，.整理上式即 . (2.3)故為方程（1.3）的積分因子的充要條件是為方程（2.3）的解4.2.3 積分因子法解常微分方程積分因子的形式各異，以致積分因子存在的充要條件的形式各異.函數(shù)為方程（1.3）的積分因子的充要條件是（1） 有關(guān)的積分因子充要條件是此時，積分因子為.例2 求的積分因子及通解.解 這里,在平面上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，這時 (不是恰當微分方程)因為 所以 與有關(guān)，積分因子為， 將積分因子同時乘以方程兩邊得即因此，方程的通解為這里為任意常數(shù).（2） 有關(guān)的積分因子充要條件是此時，積分因子為.例3 求的積分因

9、子及通解解 這里,在平面上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，這時 (不是恰當微分方程)因為 所以 與有關(guān)，積分因子為， 將積分因子同時乘以方程兩邊得即因此，方程的通解為這里為任意常數(shù).（3） 有關(guān)的積分因子充要條件是此時，積分因子為.例4 求方程的積分因子及通解解 這里,在平面上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，這時 (不是恰當微分方程)因為 所以 與有關(guān)，積分因子為， 將積分因子同時乘以方程兩邊得此時是恰當微分方程.即因此，方程的通解為這里為任意常數(shù).（4） 有關(guān)的積分因子充要條件是此時，積分因子為.例5 求方程的積分因子及通解.解 這里,在平面上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，這時 (不是恰當微分方程)因為 所以 與有關(guān)，積分因子為， 將積分因子

10、同時乘以方程兩邊得此時是恰當微分方程.所以 又，那么則，故，因此，方程的通解為這里為任意常數(shù).(5) 形式的積分因子5充要條件為此時，積分因子為.例6 求方程 的積分因子及通解.解 這里， ，在平面上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，、均為、的多項式，這時 (不是恰當微分方程)因為 所以 與有關(guān)，積分因子為將積分因子同時乘以方程兩邊得此時是恰當微分方程.湊微分將方程為因此，方程的通解為這里為任意常數(shù).（6） （、為待定常數(shù)）有關(guān)的積分因子的充要條件是且積分因子為（、為待定常數(shù)）.此結(jié)論適用于、均為、的多項式.例7 求方程的積分因子及通解.解 這里,在平面上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，、均為、的多項式，這時 (不是恰當微分方程)

11、因為 所以 解得積分因子為，將積分因子同時乘以方程兩邊得此時是恰當微分方程.湊微分將方程為因此，方程的通解為這里為任意常數(shù).（7）分組組合法6.分組組合方法的原理：若方程（2.1）可進行下列分組組合并且 尋找適當?shù)目晌⒑瘮?shù)和使得，則原方程的積分因子為. 例8 求方程的積分因子及通解解 將方程重新組合為 ， （1）前一組有積分因子和通積分，后一組有積分因子和通積分，可為函數(shù)和使，取，從而得到方程的積分因子 ，將積分因子同時乘以（1）兩邊，得到即因此，方程的通解為這里為任意常數(shù).3 常見一階微分方程的積分因子解法根據(jù)微分方程為分方程的積分因子的充要條件是.積分因子的形式各異，用形式簡單、易行的方法

12、解出常見的一階微分方程，相比傳統(tǒng)的解法更快捷、省時.下面給出常見的幾種一階微分方程的積分因子存在形式.3.1 一階線性方程的積分因子解法形如 （3.1） 的方程為一階線性微分方程.將方程改為對稱式為令，那么是關(guān)于的函數(shù),此時，積分因子為.例9 求方程的積分因子及通解解 這里,在平面上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，這時積分因子將積分因子同時乘以方程兩邊得湊微分得兩邊積分得因此，方程的通解為這里為任意常數(shù).3.2 伯努力微分方程的積分因子解法形如 （3.2）的方程，稱為伯努力微分方程，這里，為的連續(xù)函數(shù)，是常數(shù). 方程兩邊同時乘以并令得 （3.3）由線性方程的積分因子知方程（3-3）的積分因子為例10 求方程的積

13、分因子及通解解 這里,在平面上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，這時積分因子將積分因子同時乘以方程兩邊，并化對稱式為：湊微分得兩邊積分得因此，方程的通解為這里為任意常數(shù).3.3 可分離變量方程的積分因子解法形如 （3.4）用觀察法可以求得可分離變量方程的積分因子，方程兩邊同時乘以 得 這里因此可分離變量方程的積分因子為例11 求方程的積分因子及通解.解 將方程變形為方程的積分因子為將積分因子同時乘以方程兩邊，并化為：湊微分得兩邊積分得即因此，方程的通解為這里為任意常數(shù).3.4 齊次方程的積分因子的解法設(shè) （3.5）的方程為齊次方程.將方程化為： （形如） （3.6）將方程（3-6）兩邊同時乘以，并令代入得 （3.7）方程（3-7）為可分離變量方程，其積分因子為： 將代入并乘以得齊次方程（3-5）的積分因子為：注：當時有相同的積分因子. 例12 求方程的積分因子及通解.解 方程的積分因子為將積分因子同時乘以方程兩邊得取因此，由全微分公式得因此，方程的通解為即（）這里是任意常數(shù).一般說來,對于以上常見的四種類型的微分方程,均可以找到以上類型的積分因子從而化為全微分方程求解.參考文獻1王高雄，朱思銘，周之銘，王壽松.常微分方程第三版M.北京：高等教育出版社，2006.2周義倉，靳