二項(xiàng)分布和正態(tài)分布

1、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布Journals Ranked by Impact概率分布：概率分布：二項(xiàng)分布與正態(tài)分布二項(xiàng)分布與正態(tài)分布試試 驗(yàn)驗(yàn)(experiment)對試驗(yàn)對象進(jìn)行一次觀察或測量的過程對試驗(yàn)對象進(jìn)行一次觀察或測量的過程 擲一顆骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)擲一顆骰子，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)從一副從一副52張撲克牌中抽取一張，并觀察其結(jié)果張撲克牌中抽取一張，并觀察其結(jié)果(紙牌的數(shù)紙牌的數(shù)字或花色字或花色)試驗(yàn)的特點(diǎn)試驗(yàn)的特點(diǎn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行每次試驗(yàn)的可能結(jié)果可能不止一個，但試驗(yàn)的所有可每次試驗(yàn)的可能結(jié)果可能不止一個，但試驗(yàn)的所有可能結(jié)果在試驗(yàn)之前是確切知道的能結(jié)果在

2、試驗(yàn)之前是確切知道的在試驗(yàn)結(jié)束之前，不能確定該次試驗(yàn)的確切結(jié)果在試驗(yàn)結(jié)束之前，不能確定該次試驗(yàn)的確切結(jié)果4事件事件(event)事件：試驗(yàn)的每一個可能結(jié)果事件：試驗(yàn)的每一個可能結(jié)果(任何樣本任何樣本點(diǎn)集合點(diǎn)集合)擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為3用大寫字母用大寫字母A，B，C，表示表示隨機(jī)事件隨機(jī)事件(random event)：每次試驗(yàn)可能：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件擲一顆骰子可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)擲一顆骰子可能出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)5事件的概率事件的概率(probability)事件事件A的概率是一個介于的概率是一個介于0和和1之間的一個值，用以之間的一個值，用以度量

3、試驗(yàn)完成時(shí)事件度量試驗(yàn)完成時(shí)事件A發(fā)生的可能性大小，發(fā)生的可能性大小， 記為記為P(A)當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)很多時(shí)，概率當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)很多時(shí)，概率P(A)可以由所觀察到的事可以由所觀察到的事件件A發(fā)生次數(shù)發(fā)生次數(shù)(頻數(shù)頻數(shù))的比例來逼近的比例來逼近1. 在相同條件下，重復(fù)進(jìn)行在相同條件下，重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，事件次試驗(yàn)，事件A發(fā)生了發(fā)生了m次，則事件次，則事件A發(fā)生的概率可以寫為發(fā)生的概率可以寫為 6事件的概率例如，投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面和反面的頻率，隨著投擲次數(shù) n 的增大，出現(xiàn)正面和反面的頻率穩(wěn)定在1/2左右7隨機(jī)變量隨機(jī)變量(random variables)一次試驗(yàn)的結(jié)果的數(shù)值性描述一次試驗(yàn)的結(jié)果

4、的數(shù)值性描述一般用一般用 X，Y，Z 來表示來表示例如：例如： 投擲兩枚硬幣出現(xiàn)正面的數(shù)量投擲兩枚硬幣出現(xiàn)正面的數(shù)量根據(jù)取值情況的不同分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)根據(jù)取值情況的不同分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量變量89變量類型小結(jié)變量類型小結(jié)10變量的類型變量的類型 定性（定性（Qualitative）或）或 類別（類別（attribute）變量）變量 研究的研究的變量或特質(zhì)是非數(shù)字的。變量或特質(zhì)是非數(shù)字的。 例例: 性別性別, 宗教信仰宗教信仰, 汽車類型汽車類型, 出生省份出生省份, 眼睛顏色。眼睛顏色。 11變量的類型變量的類型 定量的變量（定量的變量（Quantitative v

5、ariables）可以被分類為）可以被分類為間斷變量或連續(xù)變量。間斷變量或連續(xù)變量。 間斷變量（間斷變量（Discrete variables） 只能被賦予特定的值，只能被賦予特定的值，在數(shù)值之間經(jīng)常有裂口在數(shù)值之間經(jīng)常有裂口 （gaps）。）。 例例:客房數(shù)目客房數(shù)目 (1,2,3,., etc.).12變量的類型變量的類型 定量的變量（定量的變量（Quantitative variables）可以被分類為間）可以被分類為間斷變量或連續(xù)變量。斷變量或連續(xù)變量。 連續(xù)變量（連續(xù)變量（Continuous variables） 可以被賦予一個特定可以被賦予一個特定區(qū)間的任何值。區(qū)間的任何值。 例

6、例: 從廣州飛到紐約的時(shí)間。從廣州飛到紐約的時(shí)間。離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量(discrete random variables)隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 取有限個值或所有取值都可以逐個列舉出來取有限個值或所有取值都可以逐個列舉出來 x1 , x2，以確定的概率取這些不同的值以確定的概率取這些不同的值離散型隨機(jī)變量的一些例子離散型隨機(jī)變量的一些例子13連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量(continuous random variables)可以取一個或多個區(qū)間中任何值可以取一個或多個區(qū)間中任何值 所有可能取值不可以逐個列舉出來，而是取數(shù)軸上某一區(qū)所有可能取值不可以逐個列舉出來，而是取數(shù)軸上某一區(qū)間內(nèi)

7、的任意點(diǎn)間內(nèi)的任意點(diǎn)連續(xù)型隨機(jī)變量的一些例子連續(xù)型隨機(jī)變量的一些例子14離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布列出離散型隨機(jī)變量列出離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值的所有可能取值列出隨機(jī)變量取這些值的概率列出隨機(jī)變量取這些值的概率通常用下面的表格來表示通常用下面的表格來表示15離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的概率分布 (例題分析例題分析) 16離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(expected value)離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值的所有可能取值xi與其取相對應(yīng)的概率與其取相對應(yīng)的概率pi乘乘積之和積之和描述離散型隨機(jī)變量取值的集中程度描述離散

8、型隨機(jī)變量取值的集中程度記為記為 或或E(X)計(jì)算公式為計(jì)算公式為17離散型隨機(jī)變量的方差離散型隨機(jī)變量的方差(variance)隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的每一個取值與期望值的離差平方和的數(shù)學(xué)期望，的每一個取值與期望值的離差平方和的數(shù)學(xué)期望，記為記為 2 或或D(X)描述離散型隨機(jī)變量取值的分散程度描述離散型隨機(jī)變量取值的分散程度計(jì)算公式為計(jì)算公式為方差的平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差，記為方差的平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差，記為 或或18離散型數(shù)學(xué)期望和方差離散型數(shù)學(xué)期望和方差 (例題分析例題分析) 19常用離散型概率分布常用離散型概率分布20二項(xiàng)試驗(yàn)二項(xiàng)試驗(yàn)(伯努利試驗(yàn)伯努利試驗(yàn)) 二項(xiàng)分布與伯努利試驗(yàn)有關(guān)二項(xiàng)分布與伯努

9、利試驗(yàn)有關(guān)貝努里試驗(yàn)滿足下列條件貝努里試驗(yàn)滿足下列條件一次試驗(yàn)只有兩個可能結(jié)果，即一次試驗(yàn)只有兩個可能結(jié)果，即“成功成功”和和“失敗失敗”“成功成功”是指我們感興趣的某種特征是指我們感興趣的某種特征一次試驗(yàn)一次試驗(yàn)“成功成功”的概率為的概率為p ，失敗的概率為，失敗的概率為q =1- p，且概率且概率p對每對每次試驗(yàn)都是相同的次試驗(yàn)都是相同的 試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，并試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，并可以重復(fù)進(jìn)行可以重復(fù)進(jìn)行n次次 1.在在n次試驗(yàn)中，次試驗(yàn)中，“成功成功”的次數(shù)對應(yīng)一個離散型隨機(jī)變量的次數(shù)對應(yīng)一個離散型隨機(jī)變量X X 21二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布(Binomial distribution)重復(fù)進(jìn)行重

10、復(fù)進(jìn)行 n 次試驗(yàn)，出現(xiàn)次試驗(yàn)，出現(xiàn)“成功成功”的次數(shù)的概率分布的次數(shù)的概率分布稱為二項(xiàng)分布，記為稱為二項(xiàng)分布，記為XB(n，p)設(shè)設(shè)X為為 n 次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)成功的次數(shù)，次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)成功的次數(shù)，X 取取 x 的概率為的概率為22二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布對于P(X=x) 0， x =1,2,n，有同樣有2.當(dāng) n = 1 時(shí)，二項(xiàng)分布化簡為23二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布(數(shù)學(xué)期望和方差數(shù)學(xué)期望和方差)數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望=E(X) = np方差方差2. 2 =D(X) = npq0.00.20.40.6012345XP(X)n = 5 p = 0.50.20.40.6012345XP(X)n = 5 p =

11、0.124二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 (例題分析例題分析) 25連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間或整個實(shí)數(shù)軸上的任意一個值它取任何一個特定的值的概率都等于0不能列出每一個值及其相應(yīng)的概率通常研究它取某一區(qū)間值的概率用概率密度函數(shù)的形式和分布函數(shù)的形式來描述26概率密度函數(shù)(probability density function)設(shè)X為一連續(xù)型隨機(jī)變量，x 為任意實(shí)數(shù)，X的概率密度函數(shù)記為f(x)，它滿足條件27概率密度函數(shù) 密度函數(shù) f(x)表示X 的所有取值 x 及其頻數(shù)f(x)28概率密度函數(shù) 在平面直角坐標(biāo)系中畫出f(x)的圖形，則對于任何實(shí)數(shù) x1 x2，P(x1 X x2

12、)是該曲線下從x1 到 x2的面積xab29分布函數(shù) (distribution function)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率可以用分布函數(shù)F(x)來表示分布函數(shù)定義為30分布函數(shù)與密度函數(shù)的圖示密度函數(shù)曲線下的面積等于1分布函數(shù)是曲線下小于 x0 的面積31連續(xù)型隨機(jī)變量的期望和方差連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望方差32常用連續(xù)型概率分布常用連續(xù)型概率分布331. 概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)正態(tài)分布正態(tài)分布 (Normal Distribution(Normal Distribution）2. 概率分布函數(shù)概率分布函數(shù)3435 （1 1）正態(tài)分布在橫軸上方均數(shù)處最高。）正態(tài)分布在橫軸上方均數(shù)處最高。 （2

13、 2） 正態(tài)分布以均數(shù)正態(tài)分布以均數(shù)為中心，左右對稱。為中心，左右對稱。 （3 3）正態(tài)分布由參數(shù)）正態(tài)分布由參數(shù)和和確定。確定。是位置參數(shù)，當(dāng)是位置參數(shù)，當(dāng)不變時(shí)，不變時(shí)，越大，則曲線沿橫軸越向右移動；反之，越大，則曲線沿橫軸越向右移動；反之，越小，曲線沿橫軸越向左移動。越小，曲線沿橫軸越向左移動。是變異度參數(shù)，當(dāng)是變異度參數(shù)，當(dāng)不變時(shí)，不變時(shí)，越大，表示數(shù)據(jù)越分散，曲線越平坦；越大，表示數(shù)據(jù)越分散，曲線越平坦；越小，表示數(shù)據(jù)越集中，曲線越陡峭。越小，表示數(shù)據(jù)越集中，曲線越陡峭。 （4 4）正態(tài)分布曲線與）正態(tài)分布曲線與X X軸所圍成的面積為軸所圍成的面積為1 1。 （5 5）在）在的 區(qū)

14、間 內(nèi) 占 總 面 積 的的 區(qū) 間 內(nèi) 占 總 面 積 的68.27%68.27%， 在， 在1.961.96的區(qū)間內(nèi)占總面積的的區(qū)間內(nèi)占總面積的95%95%；在；在2.582.58的的區(qū)間內(nèi)占總面積的區(qū)間內(nèi)占總面積的99%99%。正態(tài)分布特征正態(tài)分布特征 3637標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 標(biāo)準(zhǔn)分標(biāo)準(zhǔn)分 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：N(0,1)38 此概率密度函數(shù)實(shí)質(zhì)上就是正態(tài)分布的概此概率密度函數(shù)實(shí)質(zhì)上就是正態(tài)分布的概率密度函數(shù)中率密度函數(shù)中=0=0，=1=1的情形。從幾何的情形。從幾何意義上說，此變換實(shí)質(zhì)上是作了一個坐標(biāo)意義上說，此變換實(shí)質(zhì)上是作了一個坐標(biāo)軸的平移和尺度變換，使正態(tài)分布具

15、有平軸的平移和尺度變換，使正態(tài)分布具有平均數(shù)為均數(shù)為=0=0，標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差=1=1。這種變換稱為。這種變換稱為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)變換。因此將這種具有平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)變換。因此將這種具有平均數(shù)為為=0=0，標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差=1=1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為正態(tài)分布，記為N N（0 0，1 1）。）。39普通正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布普通正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布XZ(Z)(Z)40標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積概率函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積概率函數(shù) 正態(tài)分布概率密度曲線在正態(tài)分布概率密度曲線在-1-1+1+1的區(qū)間內(nèi)占總面的區(qū)間內(nèi)占總面積的積的68.27%68.27%，在，在-1.96-1.96+1.9

16、6+1.96的區(qū)間內(nèi)占總面積的區(qū)間內(nèi)占總面積的的95%95%；在；在-2.58 -2.58 +2.58+2.58的區(qū)間內(nèi)占總面積的的區(qū)間內(nèi)占總面積的99%99%。41曲線下面積分布規(guī)律曲線下面積分布規(guī)律0-11-1.961.96-2.582.5868.27%95.00%99.00%-+-1.96+1.96-2.58+2.5868.27%95.00%99.00% 正態(tài)分布的特征，歸納起來有兩點(diǎn)：正態(tài)分布的特征，歸納起來有兩點(diǎn)： 一是對稱性（一是對稱性（symmetrysymmetry） 若分布不對稱就是偏態(tài)，長尾拖向右側(cè)若分布不對稱就是偏態(tài)，長尾拖向右側(cè)（變量值較大的一側(cè)）叫做正偏態(tài)（變量值較大的一側(cè)）叫做正偏態(tài), ,或右偏或右偏態(tài)；長尾拖向左側(cè)（變量值較小的一側(cè)）叫態(tài)；長尾拖向左側(cè)（變量值較小的一側(cè)）叫做負(fù)偏態(tài)，或左偏態(tài)。做負(fù)偏態(tài)，或左偏態(tài)。 二是正態(tài)峰二是正態(tài)峰(