利用均值不等式求最值的方法

1、利用均值不等式求最值的方法李海港 張傳法均值不等式當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立）是一個重要的不等式，利用它可以求解函數(shù)最值問題。對于有些題目，可以直接利用公式求解。但是有些題目必須進(jìn)行必要的變形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的變形方法。一、配湊1. 湊系數(shù)例1. 當(dāng)時，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個系數(shù)即可。當(dāng)且僅當(dāng)，即x2時取等號。所以當(dāng)x2時，的最大值為8。評注：本題無法直接運用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。2. 湊項例2. 已知，求函數(shù)

2、的最大值。解析：由題意知，首先要調(diào)整符號，又不是定值，故需對進(jìn)行湊項才能得到定值。當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立。評注：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。3. 分離例3. 求的值域。解析：本題看似無法運用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x1）的項，再將其分離。當(dāng)，即時（當(dāng)且僅當(dāng)x1時取“”號）。當(dāng)，即時（當(dāng)且僅當(dāng)x3時取“”號）。的值域為。評注：分式函數(shù)求最值，通?；桑琯(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運用均值不等式來求最值。二、整體代換例4. 已知，求的最小值。解法1：不妨將乘以1，而1用a2b代換。當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由即時，的最小值為。解法2：將分子中的1用代換。評注：本題巧

3、妙運用“1”的代換，得到，而與的積為定值，即可用均值不等式求得的最小值。三、換元例5. 求函數(shù)的最大值。解析：變量代換，令，則當(dāng)t0時，y0當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號。故。評注：本題通過換元法使問題得到了簡化，而且將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的分式型函數(shù)的求最值問題，從而為構(gòu)造積為定值創(chuàng)造有利條件。四、取平方例6. 求函數(shù)的最大值。解析：注意到的和為定值。又，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號。故。評注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件?？傊?，我們利用均值不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。練一練1. 若，求的最大值。2. 求函數(shù)的最小