線性代數(shù)課件：3正交矩陣

1、 3 正交矩陣正交矩陣一、內(nèi)積及其性質(zhì)一、內(nèi)積及其性質(zhì)二、正交向量組二、正交向量組三、正交矩陣及其性質(zhì)三、正交矩陣及其性質(zhì)一、內(nèi)積及其性質(zhì)一、內(nèi)積及其性質(zhì)定義定義1 設(shè)有設(shè)有n維向量維向量 , , T21),(naaa T21),(nbbb nnbababa2211 ),( .),( T2211nnbababa則則 稱為向量稱為向量 與與 的內(nèi)積，的內(nèi)積，記為記為 ，即，即內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì)內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì) :,為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)維維向向量量為為其其中中 nzyx ;,)(xyyx1;,)(yxyx 2 ;,)(zyzxzyx3.,)(000 4xxxxx時(shí)有時(shí)有且當(dāng)且當(dāng)定義定義2 2 設(shè)設(shè)非負(fù)性非負(fù)性.

2、 1齊次性齊次性. 2三角不等式三角不等式. 3 . 或或的的維維向向量量為為稱稱xnx長(zhǎng)度長(zhǎng)度范數(shù)范數(shù)向量的長(zhǎng)度具有下述性質(zhì)：向量的長(zhǎng)度具有下述性質(zhì)：;,;,0000 xxxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng);xx ；yxyx,22221nxxxxxx 4.施瓦茨不等式施瓦茨不等式 .),(yxyx .15133221的夾角的夾角與與求向量求向量, 例1例1解解 ),(cos 2262318 .4 .,11 為為稱稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xx 單位向量單位向量 yxyxyx),(arccos,0, 02 時(shí)當(dāng). 的的與與維向量維向量稱為稱為yxn夾角夾角 正交的概念正交的概念 正交向量組的概念正交向量組的概念., 0yx

3、yx與與稱向量稱向量時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)正交正交.,與任何向量都正交與任何向量都正交則則若若由定義知由定義知 0 xx 若若一一非零非零向量組中的向量向量組中的向量?jī)蓛烧粌蓛烧?，則稱該向，則稱該向量組為量組為正交向量組正交向量組二、正交向量組二、正交向量組, 0021111 T由由. 02 r 同理可得同理可得.,21線性無關(guān)線性無關(guān)故故r 使使設(shè)有設(shè)有r ,21證明證明02211 rr 得得左左乘乘上上式式兩兩端端以以,1T 0111 T 正交向量組的性質(zhì)正交向量組的性質(zhì)線性無關(guān).線性無關(guān).則則是正交的向量是正交的向量維向量維向量若若rrn , 2121組組組組定理定理14 4 標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)正交化方法正

4、交化方法稱稱為為這這樣樣一一個(gè)個(gè)問問題題價(jià)價(jià)等等與與使使位位向向量量要要找找一一組組兩兩兩兩正正交交的的單單設(shè)設(shè), 21212121rrrraaaeeeeeeaaa線性無關(guān).,21正正交交化化把把標(biāo)準(zhǔn)raaa下面介紹下面介紹施密特正交化施密特正交化方法方法 111122221111, rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab.,111等價(jià)等價(jià)與與且且兩兩正交兩兩正交那么那么rrraabbbb(2) 單位化單位化 , 取取,1,1,1222111rrrbbebbebbe 222321113133,bbbabbbbabab ,1112122bbbabab (1) 正交化正交化 , 取取

5、 ，11ab ,線性無關(guān)21raaa例例 用施密特正交化方法，將向量組用施密特正交化方法，將向量組)1, 1 , 5 , 3(),4 , 0 , 1, 1(),1 , 1 , 1 , 1(321 aaa標(biāo)準(zhǔn)正交化標(biāo)準(zhǔn)正交化.解解 先先正交化正交化， 1 , 1 , 1 , 111 ab 1112122,bbbabab 1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 3 , 1, 2, 0 取取.,11 稱稱為為的的過過程程向向量量組組構(gòu)構(gòu)造造出出正正交交上上述述由由線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組rrbbaa施密特正交化過程施密特正交化過程 222321113133,bbbabb

6、bbabab 3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 , 3 0 , 2, 1 , 1 再再單位化單位化， 143,141,142, 03 , 1, 2, 01411222bbe 0 ,62,61,610 , 2, 1 , 1611333bbe得標(biāo)準(zhǔn)正交向量組如下得標(biāo)準(zhǔn)正交向量組如下 21,21,21,211 , 1 , 1 , 1211111bbe.,兩兩正交兩兩正交使使求非零向量求非零向量已知已知例例3213211113 aaaaaaT解解. 0, 0),(32111321 xxxaaaxxxaTT即即正交正交與與設(shè)向量設(shè)向量.110,10121 它的

7、基礎(chǔ)解系為它的基礎(chǔ)解系為把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求亦即取把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求亦即取,12 a .,1112123 a,1012 a.12121101211103 a定義定義3 3., 1正交矩陣正交矩陣為為稱稱則則即即滿足滿足階方陣階方陣若若AAAEAAAnTT三、正交矩陣及其性質(zhì)三、正交矩陣及其性質(zhì)；EAA T(4) 方陣方陣A為正交矩陣的充要條件是為正交矩陣的充要條件是A的列的列( (行行) )向量都是單位向量且兩兩正交向量都是單位向量且兩兩正交正交矩陣還具有下述性質(zhì)：正交矩陣還具有下述性質(zhì)： (1) 若若A為正交矩陣，則為正交矩陣，則(2) 若若A為正交矩陣，則為正交矩陣，則 (3) 若若A，B為同階數(shù)的正交矩陣，則為同階數(shù)的正交矩陣，則AB為正為正交矩陣；交矩陣；1A解解 1213121121312111, 02131121211 所以它不是正交矩陣所以它不是正交矩陣考察矩陣的第一列和第二列，考察矩陣的第一列和第二列，由于由于例例4 4 判別下列矩陣是否為正交陣判別下列矩陣是否為正交陣 ,1213121121312111 .9794949491989498912 979494949198949891 979494949198949891T所以它是正交矩陣所以它是正交矩陣 100010001由于由于 9794949491989498912定義定