步步高大一輪復(fù)習(xí)講義數(shù)學(xué)4.1任意角弧度制及任意角的三角函數(shù)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上4.1任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)1任意角(1)角的概念的推廣按旋轉(zhuǎn)方向不同分為_、_、_.按終邊位置不同分為_和_(2)終邊相同的角終邊與角相同的角可寫成_(3)弧度制1弧度的角：_叫做1弧度的角規(guī)定：正角的弧度數(shù)為_，負角的弧度數(shù)為_，零角的弧度數(shù)為_，|_，l是以角作為圓心角時所對圓弧的長，r為半徑用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制比值與所取的r的大小_，僅與_有關(guān)弧度與角度的換算：360_弧度；180_弧度弧長公式：_，扇形面積公式：S扇形_.2任意角的三角函數(shù)(1)任意角的三角函數(shù)定義設(shè)是一個任意角，角的終邊上任意一點P(x，y)，它與原點的距離為

2、r (r0)，那么角的正弦、余弦、正切分別是：sin _，cos _，tan _，它們都是以角為_，以比值為_的函數(shù)(2)三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號口訣是：一全正、二正弦、三正切、四余弦3三角函數(shù)線設(shè)角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊與單位圓相交于點P，過P作PM垂直于x軸于M，則點M是點P在x軸上的_由三角函數(shù)的定義知，點P的坐標(biāo)為_，即_，其中cos _，sin _，單位圓與x軸的正半軸交于點A，單位圓在A點的切線與的終邊或其反向延長線相交于點T，則tan _.我們把有向線段OM、MP、AT叫做的_、_、_.三角函數(shù)線()() ()() 有向線段_為正弦線；有向線段_為余弦線；有

3、向線段_為正切線難點正本疑點清源1對角概念的理解要準(zhǔn)確(1)不少同學(xué)往往容易把“小于90的角”等同于“銳角”，把“090的角”等同于“第一象限的角”其實銳角的集合是|090，第一象限角的集合為|k360k36090，kZ(2)終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等2對三角函數(shù)的理解要透徹三角函數(shù)也是一種函數(shù)，它可以看成是從一個角(弧度制)的集合到一個比值的集合的函數(shù)，也可以看成是以實數(shù)為自變量的函數(shù)，定義域為使比值有意義的角的范圍如tan 有意義的條件是角終邊上任一點P(x，y)的橫坐標(biāo)不等于零，也就是角的終邊不能與y軸重合，故正切函數(shù)的定義域為.3三角

4、函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何表示(1)正弦線、正切線的方向同縱軸一致，向上為正，向下為負(2)余弦線的方向同橫軸一致，向右為正，向左為負(3)當(dāng)角的終邊在x軸上時，點T與點A重合，此時正切線變成了一個點，當(dāng)角的終邊在y軸上時，點T不存在，即正切線不存在(4)在“數(shù)”的角度認識任意角的三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，還可以從圖形角度考察任意角的三角函數(shù)，即用有向線段表示三角函數(shù)值，這是三角函數(shù)與其他基本初等函數(shù)不同的地方1(課本改編題)已知角的終邊經(jīng)過點P(x，6)，且cos ，則x的值為_2(課本改編題)若點P在角的終邊上，且|OP|2，則點P的坐標(biāo)是_3若46且與終邊相同，則_.4(2011江西)已知角的頂點為

5、坐標(biāo)原點，始邊為x軸的正半軸，若P(4，y)是角終邊上一點，且sin ，則y_.5已知扇形的周長是6 cm，面積是2 cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是()A1 B4 C1或4 D2或4題型一求與已知角終邊相同的角例1已知角45，(1)在區(qū)間720，0內(nèi)找出所有與角有相同終邊的角；(2)設(shè)集合M，N，那么兩集合的關(guān)系是什么？探究提高第(1)小題與角終邊相同的角(連同角在內(nèi))，可以表示為k360，kZ.第(2)小題也可對整數(shù)k的奇、偶數(shù)情況展開討論 (1)如果是第三象限的角，那么，2的終邊落在何處？(2)寫出終邊在直線yx上的角的集合；(3)若角的終邊與角的終邊相同，求在0,2)內(nèi)終邊與角的終邊相

6、同的角題型二三角函數(shù)的定義例2已知角的終邊經(jīng)過點P(x，) (x0)，且cos x，求sin 的值探究提高任意角的三角函數(shù)值與終邊所在的位置有關(guān)，與點在終邊上的位置無關(guān)，故要首先判定P點所在的象限，確定r，最后根據(jù)定義求解 已知角的終邊在直線3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值題型三三角函數(shù)值的符號及判定例3(1)如果點P(sin cos ，2cos )位于第三象限，試判斷角所在的象限(2)若是第二象限角，試判斷的符號是什么？探究提高(1)熟練掌握三角函數(shù)的符號法則是解決此類題目的關(guān)鍵(2)由三角函數(shù)符號判斷角所在象限，在寫角的集合時，注意終邊相同的角 已知sin 20)，所在圓的

7、半徑為R.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；(2)若扇形的周長是一定值C (C0)，當(dāng)為多少弧度時，該扇形有最大面積？探究提高(1)在弧度制下，計算扇形的面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷(2)從扇形面積出發(fā)，在弧度制下使問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式或利用二次函數(shù)求最值的方法確定相應(yīng)最值(3)記住下列公式：lR；SlR；SR2.其中R是扇形的半徑，l是弧長，(00的x的范圍用三角函數(shù)線求解(2)比較大小，可以從以下幾個角度觀察：是第二象限角，是第幾象限角？首先應(yīng)予以確定sin ，cos ，tan 不能求出確定值，但可以畫出三角函數(shù)線借助三角函數(shù)線比較大小規(guī)范解答解(1)

8、34sin2x0，sin2x，sin x.2分利用三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示)，x(kZ)4分(2)是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ，是第一或第三象限的角6分(如圖陰影部分)，結(jié)合單位圓上的三角函數(shù)線可得：當(dāng)是第一象限角時，sin AB，cos OA，tan CT，從而得，cos sin tan ；8分當(dāng)是第三象限角時，sin EF，cos OE，tan CT，得sin cos tan .10分綜上所得，當(dāng)在第一象限時，cos sin tan ；當(dāng)在第三象限時，sin cos 0，則是第一、二象限的角；若是第二象限的角，且P(x，y)是其終邊上一點，則cos

9、.其中正確的命題的個數(shù)是()A1 B2 C3 D4二、填空題4若三角形的兩個內(nèi)角，滿足sin cos 0)是終邊上一點，則2sin cos _.6設(shè)為第二象限角，其終邊上一點為P(m，)，且cos m，則sin 的值為_三、解答題7已知sin ，cos ，若是第二象限角，求實數(shù)a的值B組專項能力提升題組一、選擇題1已知角的終邊過點P(8m，6sin 30)，且cos ，則m的值為()A B. C D.2給出下列命題：第二象限角大于第一象限角；三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；不論用角度制還是用弧度制度量一個角，它們與扇形所對半徑的大小無關(guān)；若sin sin ，則與的終邊相同；若cos 0)

10、，角終邊上的點Q與A關(guān)于直線yx對稱，求sin cos sin cos tan tan 的值答案要點梳理1(1)正角負角零角 象限角軸線角(2)k360 (kZ)(3)把長度等于半徑長的弧所對的圓心角正數(shù)負數(shù)零無關(guān)角的大小2l|rlr|r22(1)自變量函數(shù)值3正射影(cos ，sin ) P(cos ，sin )OMMPAT余弦線正弦線正切線MPOMAT基礎(chǔ)自測1.2.(1，)3.4.85.C題型分類深度剖析例1解(1)所有與角有相同終邊的角可表示為：45k360(kZ)，則令72045k3600，得765k36045，解得k，從而k2或k1，代入得675或315.(2)因為Mx|x(2k1

11、)45，kZ表示的是終邊落在四個象限的平分線上的角的集合；而集合Nx|x(k1)45，kZ表示終邊落在坐標(biāo)軸或四個象限平分線上的角的集合，從而：MN.變式訓(xùn)練1解(1)由是第三象限的角得2k2k (kZ)2k2k (kZ)，即2k2k (kZ)角的終邊在第二象限；由2k2k (kZ)，得24k234k(kZ)角2的終邊在第一、二象限及y軸的非負半軸(2)在(0，)內(nèi)終邊在直線yx上的角是，終邊在直線yx上的角的集合為|k，kZ(3)2k (kZ)， (kZ)依題意02k0時，r5t，sin ，cos ，tan ；當(dāng)t0時，r5t，sin ，cos ，tan .綜上可知，sin ，cos ，tan 或sin ，cos ，tan .例3解(1)因為點P(sin cos ，2cos )位于第三象限，所以sin cos 0,2cos 0，即，所以為第二象限角(2)2k2k (kZ)，1cos 0,4k24k2，1sin 20，sin(cos )0.0.的符號是負號變式訓(xùn)練3解由|cos |cos 知cos 0，又sin 20，即2s