北京四中初二數(shù)學第一學期期末幾何總復習

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學習與交流北京四中初二數(shù)學第一學期期末幾何總復習.精品文檔.初二數(shù)學第一學期期末幾何總復習編稿：白真 審稿：范興亞 責編：高偉知識網(wǎng)絡(luò)全等三角形知識結(jié)構(gòu)圖地位和作用全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因為全等三角形是研究特殊三角形、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角相關(guān)問題的一個出發(fā)點運用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見的幾何問題軸對稱知識結(jié)構(gòu)圖地位和作用本章的圖形與幾何內(nèi)容是繼全等三角形之后的進一步推理論證內(nèi)容，也是繼平移變換后的第二種合同變換(保距變換)，即要用軸對稱的觀點分析現(xiàn)

2、實生活中的幾何圖形，又要深入挖掘一些特殊圖形的性質(zhì)，為后續(xù)學習如四邊形、圓等做好充分的準備，同時培養(yǎng)學生的美學觀知識要點梳理知識點一：全等三角形概念1能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形2兩個全等三角形重合在一起，重合的頂點叫對應(yīng)頂點，重合的邊叫對應(yīng)邊，重合的角叫對應(yīng)角3全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等知識點二：三角形全等的判定1三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊邊邊”或“SSS”2兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS”3兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“角邊角”或“ASA”4兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊

3、”或“AAS”5斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”知識點三：作軸對稱圖形1幾何圖形都可以看作由點組成，我們只要分別作出這些點關(guān)于對稱軸的對應(yīng)點，再連接這些點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形2對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要做出圖形中的一些特殊點(如線段端點)的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形知識點四：軸對稱變換1由一個平面圖形可以得到它關(guān)于一條直線成軸對稱的圖形，這個圖形與原圖形的形狀、大小完全相同2新圖形上的每一點，都是原圖形上的某一點關(guān)于直線的對稱點3連接任意一對對應(yīng)點的線段被對稱軸垂直平分4用坐標表示軸對稱： 點(x

4、，y)關(guān)于x軸對稱的點的坐標為(x，-y)；點(x，y)關(guān)于y軸對稱的點的坐標為(-x，y)知識點五：等腰三角形等腰三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性質(zhì)外，還有許多特殊的性質(zhì)，這些特殊性質(zhì)，都和它是軸對稱圖形有關(guān)，因此，把這部分內(nèi)容安排在軸對稱之后，從軸對稱的角度，得出“等邊對等角”、“三線合一”等性質(zhì)，并進一步討論了等腰三角形的判定方法以及等邊三角形的性質(zhì)等內(nèi)容1等腰三角形定義：有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形2等腰三角形的性質(zhì)：(1) 等腰三角形的兩個底角相等(等邊對等角)(2) 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高相互重合(三線合一)3等腰三角形的判定：如

5、果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)知識點六：等邊三角形1等邊三角形定義：三條邊都相等的三角形叫等邊三角形2等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于603等邊三角形的判定：(1)三個角都相等的三角形是等邊三角形(2)有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形知識點七：其它常用的三角形性質(zhì)130角的直角三角形的性質(zhì)： 在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半2三角形中邊與角之間的不等關(guān)系：(1) 在一個三角形中，如果兩條邊不等，那么它們所對的角也不等，大邊所對的角較大(大邊對大角)(2) 在一個三角形中，如果兩個角不

6、等，那么它們所對的邊也不等，大角所對的邊較大(大角對大邊)經(jīng)典例題精析類型一：由角平分線想到構(gòu)造全等不管軸對稱圖形還是兩個圖形軸對稱，我們不難發(fā)現(xiàn)對應(yīng)點與軸上一點(此點作為頂點)組成的角被軸平分，根據(jù)這一特點，在做題中如果遇到角平分線我們就會聯(lián)想到，以角平分線為軸構(gòu)造對稱(全等)，從而把角、線段轉(zhuǎn)移達到解題目的1如圖1，已知：ABC中，AD平分BAC，交對邊CD于D，且AB=AC+CD，求證：C=2B 圖 1 圖 2解析：在AB取一點E，使AE=AC，連接ED，如圖2顯然，ADCADE， C=AED，AE=AC，CD=ED，又 AB=AC+CD， ED=EB， EDB=B， AED=2B C=

7、2B2如圖3，在ABC中，AB=AC，A=100，BD為B的平分線，求證：BC=BD+AD圖 3 圖 4解析：在BC上取點E、F，使BE=BD，BF=BA如圖4 BD平分ABC，A=100， ABDFBD，F(xiàn)D=AD，BFD=100， DFE=180-100=80 AB=AC ABC=C DBE=20 DEF=(180-20)2=80 DFE=DEF DE=DF=AD, C=(180-100) 2=40, EDC=DEF-C=80-40=40, DE=EC, AD=EC, BC=BE+EC=BD+AD3如圖5，在ABC中，ACAB，AD平分BAC，P為AD上任一點，連結(jié)PB，PC。求證：圖 5

8、 圖 6解析：在AC上取點E，使AE=AB，連結(jié)PE，如圖6由AD平分BAC，得BAP=CAP，又 AE=AB，AP=AP， APEAPB， PE=PB，在EPC中，PC-PEEC,即PC-PBAC-AE， PC-PBAC，E、F是AC、AB上的點，并且，求證：CE=BF圖 11 圖 12解析：作射線CG，使GCB=FBC，CG交BE于G，如圖12由已知，顯然BCFCBG， BF=CG，且FBM=GCM， CEG=A+ABE，CGE=GBC+BCF+MCG， CEG=CGE， CE=CG， CE=BF7如圖13，ABC為等腰直角三角形，ABC=90，AB=AE，BAE=30，求證：BE=CE圖

9、 13 圖 14解析：作正方形ABCF，連結(jié)EF，如圖14由作圖知，F(xiàn)AE=60，又 AE=AB=AF， AEF為等邊三角形， AE=FE，顯然，ABEFCE， BE=CE8小明家門前一長度為的直圍墻AB，小明家現(xiàn)決定修建面積為的三角形形狀的花壇，其中以圍墻為一邊，新修建兩邊，如果要使建設(shè)費用最省，請問如何修建，并說明理由思路點撥：如圖15，作直線CDAB且兩平行線的距離為，點P為CD上的動點，要使費用最省，就得使AP+BP的值最小，作點A關(guān)于CD的對稱點，交CD于E，當共線時，即點P為與直線CD的交點，由兩點間線段最短，得最小，故最小，顯然，所以，從而為AB的中垂線，那么費用最省 解析：作墻

10、所在線段AB的中垂線，垂足為O，在中垂線上取一點P，使，沿著ABP的邊AP、BP修建即可，如圖16 圖 15 圖 16類型三：特殊三角形的線段關(guān)系9如圖17，已知在ABC中，AB=AC，P為底邊BC上任意一點，PDAB于點D，PEAC于點E，求證：PD+PE是一個定值圖 17 圖 18解析：連接AP，過點C作CFAB于點F，如圖18由，得：，即，(定值)總結(jié)升華：本例的結(jié)論可用文字語言敘述為：等腰三角形底邊上一點到兩腰的距離之和等于腰上的高【變式1】如圖19，如果點P不是在邊BC上，而是在BC的延長線上，其它條件保持不變，那么PD與PE之間又有怎樣的關(guān)系呢？【答案】連接AP，過點C作CFAB于

11、點F，如圖19 由， ， 得：， 即，(定值) 即，當點P在BC延長線上時，PD與PE之差為一定值圖 19 【變式2】如圖20，若ABC為等邊三角形，邊長為，在ABC內(nèi)部任取一點O，記O到三邊的距離依次為、求證：為定值 圖 20 圖 21【答案】如圖21，連接PA、PB、PC，故是一個常數(shù)【變式3】若ABC為等邊三角形，邊長為，在ABC外，且C內(nèi)部任取一點O，記O到AB、AC、BC的距離依次為、求、之間的數(shù)量關(guān)系【答案】如圖22，連接OA、OB、OC，則有如下面積關(guān)系：即：，化簡為圖 2210如圖23，在等邊三角形ABC中，D、E分別在邊BC、BA的延長線上，且AE=BD，求證：CE=DE 圖

12、 23 圖 24 圖 25解析：（法一）過E作EFCD于點F，如圖24 ABC是等邊三角形， B=60， BEF=30， BE=2BF，則BA+AE=BC+BD=2BC+CD=2(BC+CF) CD=2CF， CF=DF， 在CEF和DEF中，CF=DF，CFE=DFE=90，EF=EF， CEFDEF， CE=DE（法二）如圖25，延長CD到G，使DG=BC，則CG=AE， 所以EBG為等邊三角形，可證明ECBEDG11如圖26，在ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高，點P在ABD內(nèi)部，求證： 圖 26 圖 27解析：作點P關(guān)于AD的對稱點，連接并延長交PC于點Q，連接，如圖27 因為A

13、B=AC，AD是BC邊上的高， 易得 因為， 故【變式1】如圖28，ABC的邊AB和BC上的高線不短于其對應(yīng)邊的邊長，試求該三角形的各個角的度數(shù)圖 28 圖 29【答案】如圖28，設(shè)AD、CE分別是BC和AB上的高線，則， 但由題設(shè)知， 所以， 從而D、B、E重合，如圖29 所以ABC是以B為直角的等腰直角三角形，因此B=90，A=C=45類型四：特殊三角形與幾何變換12如圖30，設(shè)O是等邊ABC內(nèi)的一點，已知AOB=115，BOC=125，求以線段OA、OB、OC為邊構(gòu)成的三角形的各角的大小 圖 30 圖 31解析：將BOC繞B點順時針旋轉(zhuǎn)60，使BC與AB重合，此時O點位于點P處連接OP，

14、如圖31易知BOCBPA，故OB=BP，OC=PA，BPA=BOC=125 PBO=60，PB=BO， OP=OB故OPA是以線段OA、OB、OC為邊構(gòu)成的三角形， BOC=125， PAO=360-125-115-60=60，POA=115-60=55，OPA=6513(1) 如圖32，四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=60，BCD=120，證明：BC+DC=AC(2) 如圖33，四邊形ABCD中，AB=BC，ABC=60，P為四邊形ABCD內(nèi)一點，APD=120，證明： 圖 32 圖 33 解析：(1)連接AC，延長CD至F，使得DF=BC，如圖34 易證ABCADF，ACF為正三角形，故BC+CD=CDDF=CF=AC(2)以AD為邊做正三角形ADE，連接AC、PE、CE，如圖35 由上可知，PE=PA+PD 易證BADCAE，故CE=BD在PCE中，PE+PCCE 當C、P、E三點共線時，PE+PC=CE故，即 圖 34 圖 3514如圖36，在等腰直角三角形ABC的斜邊AB上取兩點M、N，使MCN=45，記AM=m，MN=x，BN=n，求證：以、為邊長的三角形的形狀是直角三角形圖 36 圖 37解析：(法一