基于MATLAB的低通濾波器的設(shè)計

1、通信系統(tǒng)綜合設(shè)計與實踐 第 16 頁 通信系統(tǒng)綜合設(shè)計與實踐題目基于MATLAB的低通濾波器設(shè)計 院（系）名稱信院通信系 專業(yè)名稱通信工程 學(xué)生姓名 學(xué)生學(xué)號 指導(dǎo)教師 2013年 5 月 25 日目 錄摘要.21巴特沃斯低通數(shù)字濾波器簡介.3 1.1選擇巴特沃斯低通濾波器及雙線性變換法的原因.4 1.2巴特沃斯低通濾波器的基本原理.4 1.2.1巴特沃斯低通濾波器的基本原理.4 1.2.2雙線性變換法的原理. .51.3數(shù)字濾波器設(shè)計流程圖. .7 1.4數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟. .72.巴特沃斯低通數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)的設(shè)置.83.用matlab實現(xiàn)巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的仿真并分析.9 3.

2、1用matlab實現(xiàn)巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的仿真.9 3.2波形圖分析. . .104.用Simulink實現(xiàn)巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的仿真并分析.11 4.1 Simulink簡介. . .11 4.2用Simulink實現(xiàn)巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的仿真. 11 4.3波形圖分析. . .11 4.3.1 Simulink波形圖分析. . .11 4.3.2與matlab波形的比較. .145.總結(jié)與體會. .156.附錄.16 摘 要低通濾波器是讓規(guī)定頻率以下的信號分量通過，而對該頻率以上的信號分量抑制的電容、電感與電阻等器件的組合裝置。巴特沃斯濾波器是電子濾波器的一種，特點是通頻帶內(nèi)的頻率響

3、應(yīng)曲線最大限度平坦，沒有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為零。可以構(gòu)成低通、高通、帶通和帶阻四種組態(tài)，是目前最為流行的一類數(shù)字濾波器 ,經(jīng)過離散化可以作為數(shù)字巴特沃思濾波器較模擬濾波器具有精度高、穩(wěn)定、靈活、不要求阻抗匹配等眾多優(yōu)點因而在自動控制、語音、圖像、通信、雷達(dá)等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，是一種具有最大平坦幅度響應(yīng)的低通濾波器。本文將介紹其中最常用的一種巴特沃斯低通數(shù)字濾波器。本文側(cè)重于理論分析、matlab編程和結(jié)果分析。（1）本文將先概述巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的工作原理和特點。（2）設(shè)置技術(shù)指標(biāo); （3）用matlab進(jìn)行軟件編程，將仿真波形與理論值進(jìn)行比較，分析其中的異同，并通過一個輸

4、入波形來驗證設(shè)計的巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的準(zhǔn)確性。（4）對實驗結(jié)果和理論結(jié)果進(jìn)行比較，分析它們的異同點并進(jìn)行總體分析。（5）用Simulink進(jìn)行硬件電路仿真，觀察仿真結(jié)果，并通過一個輸入波形來驗證仿真效果。（6）通過對用Matlab軟件仿真和Simulink硬件仿真的比較，說明兩者的優(yōu)缺點。（7）對實驗結(jié)果進(jìn)行最后的總結(jié)，寫出自己的感想。關(guān)鍵字： matlab 低通濾波器 巴特沃斯 1. 巴特沃斯低通數(shù)字濾波器簡介1.1選擇巴特沃斯低通濾波器及雙線性變換法的原因（1）由于低通濾波器是組成其它濾波器的基礎(chǔ)，故選用低通濾波器；（2）在當(dāng)今社會，數(shù)字信號的應(yīng)用越來越廣泛，故選用數(shù)字信號；（3）巴特

5、沃斯濾波器的特點是通頻帶的頻率響應(yīng)曲線最平滑并且應(yīng)用范圍最廣，故選巴特沃斯型濾波器； （4）為了不使數(shù)字濾波器在=附近產(chǎn)生頻譜混疊，故選用雙線性變換法。1.2巴特沃思低通濾波器的基本原理：1.2.1巴特沃思低通濾波器的基本原理：巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的幅度平方函數(shù)用下式表示式中，N稱為濾波器的階數(shù)。當(dāng)=0時，；時，是3dB截止頻率。在附近，隨加大，幅度迅速下降。幅度特性與與N的關(guān)系如圖1.1所示。幅度下降的速度與階數(shù)N有關(guān)，N愈大，通帶愈平坦，過渡帶愈窄，過渡帶與阻帶幅度下降的速度愈快，總的頻響特性與理想低通濾波器的誤差愈小。圖1.1 巴特沃斯低通數(shù)字濾波器 圖1.2 三階巴特沃斯濾波器極點幅

6、度特性與與N的關(guān)系 分布圖以替換，將幅度平方函數(shù)寫成的函數(shù) 復(fù)變量，此式表示幅度平方函數(shù)有2N個極點，極點用下式表示： （=0,1,2,3.） 2N個極點等間隔分布在半徑為的圓上（該圓稱為巴特沃斯圓），間隔為rad。例如N=3,極點間隔為/3rad，如圖1.2所示。 為形成因果穩(wěn)定的濾波器，2N個極點中只取平面左半平面的的N個極點構(gòu)成Ha(s), 而右半平面的的N個極點構(gòu)成Ha(-s),Ha（s）的表達(dá)式為為使設(shè)計公式和圖表統(tǒng)一，將頻率歸一化。巴特沃斯低通數(shù)字濾波器采用對3dB截止頻率歸一化，歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)為令,稱為歸一化頻率， 稱為歸一化復(fù)變量，這樣，巴特沃斯低通原型系統(tǒng)函數(shù)為 1.2.

7、2雙線性變換法原理雙線性變換法是使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似的一種變換方法。為了克服多值映射的缺點，采用把整個s平面頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到-/T/T之間，再用轉(zhuǎn)換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T一條橫帶里；第二步再通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此橫帶變換到整個Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應(yīng)的單值關(guān)系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象。映射關(guān)系如圖1.3所示。設(shè)Ha（s）,經(jīng)過非線性頻率壓縮后用，表示，這里用正切變換實現(xiàn)頻率壓縮： 圖1.3 雙線性變換的映射關(guān)系式中，T為采樣間隔，當(dāng)從-/T經(jīng)過0變化

8、到/T時，由-經(jīng)過0變化到+，實現(xiàn)了s平面上整個虛軸完全壓縮到平面上虛軸的+/T之間的轉(zhuǎn)換。即 代入,得到 再通過從平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到 上式是S平面與Z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換。雙線性變換法與沖激響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象，雖然在線性方面有些欠缺，但是可以通過頻率的預(yù)畸來加以校正且計算比沖激響應(yīng)不變法方便，實現(xiàn)起來比較容易，所以，本設(shè)計選擇用雙線性變換法設(shè)計巴特沃斯低通濾波器。1.3數(shù)字濾波器設(shè)計流程圖數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)指標(biāo)參數(shù)變 換相應(yīng)的模擬濾波器設(shè)計模擬濾波器離散化數(shù)字濾波器1.4數(shù)字濾波器的設(shè)計步驟數(shù)字濾波器

9、的設(shè)計步驟：根據(jù)數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)先設(shè)計過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)Ha(s),然后將Ha(s)按某種方法（本實驗采用雙線性變換法）轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H（z）。具體為：（1）確定巴特沃斯數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶邊界頻率p,阻帶截止頻率s,通帶最大衰減p,阻帶最小衰減s。（2）將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)。這里指p和s的變換而p和s保持不變。本題采用雙線性變換法，其轉(zhuǎn)換公式為： （3）根據(jù)技術(shù)指標(biāo)p、s、p和s用下面公式求出濾波器的階數(shù)。 （4） 根據(jù)N由表1.4求出歸一化極點和歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(p)。表1.4 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù) 分母因式階

10、數(shù)B(p)=B1(p)B2(p)BN/2(p) N/2表示取大于等于N/2的最小整數(shù) 1（p2+1） 2 (p2+1.4142p+1) 3 (p2+p+1)(p+1)4 (p2+0.7654p+1)(p2+1.8478p+1)5 (p2+0.6180p+1)(p2+1.6180p+1)(p+1)6 (p2+0.5176p+1)(p2+1.4142p+1)(p2+1.9319p+1)7 (p2+0.4450p+1)(p2+1.2470p+1)(p2+1.8019p+1)(p+1)8 (p2+0.3902p+1)(p2+1.1111p+1)(p2+1.6629p+1)(p2+1.9619p+1)9

11、 (p2+0.3473p+1)(p2+p+1)(p2+1.5321p+1)(p2+1.8974p+1)(p+1)（5）將Ga（p）去歸一化，將代入Ga（p），得到實際的濾波器系統(tǒng)函數(shù)： 這里c為3dB截止頻率。（6）用雙線性變換法將模擬濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。轉(zhuǎn)換公式為：s=2. 巴特沃斯低通數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)的設(shè)置數(shù)字低通技術(shù)指標(biāo)為p=30Hz, p=1dBs=60Hz s=30dB采樣頻率為fs=500設(shè)計要求：輸入x=sin(2*20*t)+2*sin(2*100*t)+5*sin(2*200*t)合成信號，經(jīng)過濾波器后濾除30Hz以上的分量，即只保留sin

12、(2*20*t)分量信號，來驗證設(shè)計的濾波器是否達(dá)到了設(shè)計要求。設(shè)計目的：(1)理解低通濾波器的過濾方法。(2)進(jìn)一步熟悉低通濾波器的基本應(yīng)用。(3)用仿真工具matlab和Simulink分別對設(shè)計的濾波器進(jìn)行軟件和硬件仿真。(6)將對仿真結(jié)果進(jìn)行比較，從而檢驗濾波器濾波性能的準(zhǔn)確性。3.用matlab實現(xiàn)巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的仿真并分析3.1用matlab實現(xiàn)巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的仿真Matlab程序如下：fs=500;t=0:1/fs:1;x=sin(2*pi*20*t)+2*sin(2*pi*100*t)+5*sin(2*pi*200*t); wp=2*30/fs;ws=2*60/

13、fs;Rp=1;As=30;subplot(311);plot(t,x);title('輸入信號');N,wc=buttord(wp,ws,Rp,As);B,A=butter(N,wc);H,W=freqz(B,A);y=filter(B,A,x);subplot(312);plot(W,abs(H);title('低通濾波器');subplot(313);plot(t,y)title('30Hz');用matlab濾波前后的信號波形變化如圖3.1所示：圖3.1 用matlab濾波前后的信號波形變化3.2波形圖分析： 由技術(shù)指標(biāo)得：設(shè)計的巴特沃斯

14、低通數(shù)字濾波器為30Hz以內(nèi)的信號能通過，而高于30Hz的信號將通不過濾波器。因此，我們設(shè)計一個輸入信號，其為：x=sin(2*20*t)+2*sin(2*100*t)+5*sin(2*200*t)。使其通過設(shè)計好的巴特沃斯低通數(shù)字濾波器，來驗證設(shè)計好的巴特沃斯低通數(shù)字濾波器是否準(zhǔn)確。 如圖3.1所示，輸入信號為x=sin(2*20*t)+2*sin(2*100*t)+5*sin(2*200*t)，其圖形在1秒內(nèi)重復(fù)了20次，故其頻率為20Hz，幅度為8，由sin(2*20*t)、2*sin(2*100*t)和5*sin(2*200*t)三個正弦波合成，從圖中可知，輸入信號的幅度與頻率與輸入信

15、號的理論波形幾乎完全相同。而通過低通濾波器后信號只剩下一個，且在1秒內(nèi)波形重復(fù)了20.25次，即周期為1/20.25s，其頻率為20.25Hz, 幅度為1，和輸入信號中的sin(2*20*t)分量相差不大，但其頻率稍微有些失真，說明了設(shè)計的低通濾波器達(dá)到了要求。4.用Simulink實現(xiàn)巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的仿真并分析4.1Simulink簡介Simulink是Matlab最重要的組件之一，是MATLAB中的一種可視化仿真工具， 是一種基于MATLAB的框圖設(shè)計環(huán)境，是實現(xiàn)動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和分析的一個軟件包它提供一個動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和綜合分析的集成環(huán)境。在該環(huán)境中，無需大量書寫程序，而只

16、需要通過簡單直觀的鼠標(biāo)操作，就可構(gòu)造出復(fù)雜的系統(tǒng)。Simulink具有適應(yīng)面廣、結(jié)構(gòu)和流程清晰及仿真精細(xì)、貼近實際、效率高、靈活等優(yōu)點，并基于以上優(yōu)點Simulink已被廣泛應(yīng)用于控制理論和數(shù)字信號處理的復(fù)雜仿真和設(shè)計。同時有大量的第三方軟件和硬件可應(yīng)用于或被要求應(yīng)用于Simulink。4.2用Simulink實現(xiàn)巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的仿真用Simulink硬件仿真的電路圖4.1如下所示圖4.1 用Simulink硬件仿真的原理圖4.3波形圖分析 4.3.1 Simulink波形圖分析圖中Sine Wave為正弦波，函數(shù)分別為sin(2*20*t)、2*sin(2*100*t)和5*sin(

17、2*200*t)；三個加號的為求和函數(shù)；Digital Filter Design為巴特沃斯低通數(shù)字濾波器，其設(shè)置如圖4.2所示；而Scope為三個信號相加后的波形（如圖4.3、4.4所示），用來觀察輸入信號；Scope1為經(jīng)過巴特沃斯低通數(shù)字濾波器后的波形（如圖4.5所示），用來觀察濾波效果。Digital Filter Design的設(shè)置如圖三所示，其設(shè)置的為巴特沃斯低通數(shù)字濾波器，Scope為輸入信號，由圖4.3的，其幅度略大于五，其周期為0.01s，頻率為100Hz，與輸入信號x=sin(2*20*t)+2*sin(2*100*t)+5*sin(2*200*t)的幅度8，頻率200Hz

18、有較大差距，說明失真較嚴(yán)重存在不小的信號衰減，而Scope1（如圖4.5所示）為濾波后的信號，其幅度為1.1，在5s到5.5s內(nèi)波形重復(fù)了10次，故其周期為0.05s，頻率為20Hz，與輸入信號中的sin(2*20*t)相當(dāng)，幅度變大了0.1，說明有噪聲干擾，但也基本達(dá)到了設(shè)計要求。圖4.2 Digital Filter Design圖4.3 輸入信號的波形圖4.4 輸入信號的波形圖4.5 濾波后的信號4.3.2用Matlab與Simulink仿真結(jié)果的比較： 輸入信號的比較用Simulink出來的信號干擾較大，失真較嚴(yán)重，說明存在外界干擾，導(dǎo)致信號衰減，而用matlab出來的信號較好，干擾可

19、以忽略。巴特沃斯低通數(shù)字濾波器的比較由圖3.1中的低通濾波器和圖4.2比較可得可知，用matlab設(shè)計的濾波器過渡帶較窄，而用Simulink設(shè)計的濾波器過渡帶較大，仿真結(jié)果和matlab相比效果較差，用matlab設(shè)計的濾波器與理論值差距較小，濾波效果更好。輸出信號的比較用matlab濾波后的信號比理論信號在1秒內(nèi)大了1/4個周期，效果不錯，而用Simulink濾波后的信號周期沒變，幅度大了0.1，但濾波器控制不了幅度，幅度的變化說明存在外界干擾，說明噪聲較大，但從濾波效果來看也達(dá)到了設(shè)計要求。 綜述由圖4.4和圖4.5可知，用Simulink設(shè)計的濾波器的輸入信號與濾波后信號均存在5s的延

20、遲，說明了加法器的處理速度較慢，而用matlab設(shè)計的濾波器不存在此現(xiàn)象。從濾波效果來看，用matlab設(shè)計的濾波器效果較好，其雖存在頻率誤差，但影響不大，而用Simulink設(shè)計的濾波器頻率雖不失真，但存在較大的外界干擾。個人認(rèn)為，用matlab設(shè)計的巴特沃斯低通數(shù)字濾波器濾波效果較好。對設(shè)計結(jié)果與理論值的比較，其均存在一定的誤差，從側(cè)面說明對于任何實驗結(jié)果，在一定范圍內(nèi)的誤差是允許的，其與理論值均有一定的誤差，這是不可避免的，其中的原因多種多樣，如實驗設(shè)計不合理，外界因素的干擾，信號衰減.對于這些，我們只能通過不斷改進(jìn)設(shè)計原理、優(yōu)化設(shè)計步驟等措施來減小誤差。同時，也告訴我們，任何理論結(jié)果要

21、轉(zhuǎn)換成實際應(yīng)用，均要進(jìn)行一定的優(yōu)化，使其達(dá)到實際的應(yīng)用要求。5.總結(jié)與體會 數(shù)字濾波器是一種對數(shù)字信號進(jìn)行濾波處理以得到期望的響應(yīng)特性的離散時間系統(tǒng)。它能夠有效的對數(shù)字信號進(jìn)行過濾，過濾多數(shù)字信號中的干擾和多余成分，能夠保證通信過程的正常實現(xiàn)。本次實驗設(shè)計選擇了在通信系統(tǒng)中最常用，也是最基礎(chǔ)的巴特沃斯低通數(shù)字濾波器。根據(jù)給定的數(shù)字?jǐn)?shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)，先設(shè)計過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)Ha(s),然后將Ha(s)采用雙線性變換法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H（z）。在這個變換的過程中避免了頻率的混疊現(xiàn)象。然后根據(jù)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，編寫程序，分別運用matlab和Simulink仿真工具對設(shè)計的巴特沃斯低通數(shù)字濾波器進(jìn)行了仿真。經(jīng)過幾次調(diào)試和對產(chǎn)生的仿真結(jié)果的分析，得到了在誤差允許范圍之內(nèi)的低通數(shù)字濾波器。并且設(shè)計了驗證實驗。對一個由多個信號合成的數(shù)字