函數與方程教案

1、第四章：函數應用§1：函數與方程教學分析:課本選取探究具體的一元二次方程的根與其對應二次函數的圖像與x軸交點的橫坐標之間的關系作為本節(jié)的入口。其意圖是讓學生從熟悉的環(huán)境中發(fā)現(xiàn)新知識，使新知識與原有知識形成聯(lián)系。教學目標：1、讓學生明確“方程的根與“函數的零點的密切聯(lián)系，學會結合函數圖像性質判斷方程根的個數，學會用多種方法求方程的根和函數的零點。2、通過本節(jié)學習讓學生掌握“由特殊到一般的認識規(guī)律，在今后學習中利用這一規(guī)律探索更多的未知世界。重點難點：根據二次函數圖像與x軸的交點個數判斷一元二次方程的根的個數；函數零點的概念。復習引入：同學們好，今天我們來進行第四章函數應用的學習，這一節(jié)

2、課我們先來學習第一節(jié)函數與方程。在講新課之前，我們已經學習過一元一次方程、一元二次方程，并會對它們進行求解?，F(xiàn)在來看幾個方程：ax+b=0(a0) 這是一個一元一次方程，我們能很容易求出方程的解是x=.ax+bx+c=0(a0) 這是一個一元二次方程，在對一元二次方程求解時我們會先用判別式=b4ac來判斷方程是否有實解。當0時，一元二次方程有兩個不相等的實數根，xx;當=0時，一元二次方程有兩個相等的實數根，x=x;當0時，一元二次方程沒有實數根。當方程有實數根時，我們可以通過求根公式求出一元二次方程的根：x=。x+4x+3x+2x+1=0 我們知道這是一個一元五次方程，對于這樣一個高次方程大

3、家會不會求解？能不能知道這個方程是否有解？下面我們就來學習怎樣判斷一個給定方程的解是否存在的問題？寫標題1.1利用函數性質判定方程解的存在一、 例1：給出三個方程：x-2x-3=0； x-2x+1=0 ；x-2x+3=0分析：這三個都是簡單的一元二次方程，我們可以通過判別式來判斷方程是否有解，假設有解，也能很容易的求出。解：0 x=3，x=-1；對應函數：f(x) = x-2x-3=0 x= x=1；對應函數：f(x) = x-2x+10 無實解；對應函數：f(x) = x-2x+3圖像：提問：觀察求出的三個方程的根與對應函數的圖像有什么關系？總結： 一元二次方程的根就是對應函數圖像與x軸交點

4、的橫坐標。一元二次方程根的個數與對應函數圖像與x軸交點的個數相等。對于函數圖像與x軸的交點，我們來學習一個新的數學名詞函數零點。二、 函數零點1 概念：我們把函數y=f(x)的圖像與橫軸交點的橫坐標稱為這個 函數的零點。說明：零點是所在函數圖像與x軸交點的橫坐標。零點是一個實數，并不是一個點。函數的零點就是相應方程的根。函數零點的個數與相應方程的根的個數相等。學習過零點概念及以上4點說明，我們已經學會判斷零點：要求函數的零點就要看函數圖像與x軸是否有交點，也即相應方程是否有實根。因此得到判斷零點的方法。2 判斷零點的方法：方程f(x)=0有實根函數y=f(x)的圖像與x軸有交點函數y=f(x)

5、有零點。可得出：方程f(x)=0的實根與函數y=f(x)的零點是一一對應的。那如果所給的函數的圖像不易畫出，又不能求出其對應方程的根時，我們怎樣判斷函數有沒有零點呢？觀察例1中第一個方程的對應圖像：f(x) = x-2x-3從圖像上看，我們知道函數f(x) = x-2x-3有兩個零點：-1,3.而能找到區(qū)間-2,0使零點-1在-2,0內，區(qū)間2,4使零點3在2,4內。且有f(-2)=50,f(0)=-30, f(-2)×f(0)0; f(2)=-30, f(4)=50, f(2)×f(4)0.可以發(fā)現(xiàn)f(-2)×f(0)0，函數f(x) = x-2x-3在區(qū)間-2

6、,0內有零點-1是方程x-2x-3=0的一個根；同樣地，f(2)×f(4)0，函數f(x) = x-2x-3在區(qū)間2,4內有零點3是方程x-2x-3=0的另一個根。因此可以得到以下結論：3.零點存在性定理： 假設函數y=f(x)在閉區(qū)間a,b的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點的函數值符號相反，即f(a)×f(b)0，那么在區(qū)間a,b內，函數y=f(x)至少有一個零點，即相應的方程f(x)=0在區(qū)間a,b內至少有一個實數解。零點存在性定理是用來判斷一個方程是否存在解的，因此，現(xiàn)在我們可以來判斷上課開始的那個一元五次方程是否存在解了？ x+4x+3x+2x+1=0解：考慮f(x)

7、 = x+4x+3x+2x+1試探：當x=0時，f(0)=10；當x=1時，f(1)=1+4+3+2+1=110；當x=-1時，f(-1)=-1-4+3-2+1=-30 f(0)×f(-1)0那么函數f(x) = x+4x+3x+2x+1在區(qū)間-1,0內至少有一個零點，即方程在-1,0內至少有一個實數解。三、 舉例：例2：函數f(x) =3-x，問：方程f(x)=0在區(qū)間-1,0內有沒有實數解？分析：問方程在區(qū)間內有沒有實數解，意味著什么?即要判斷相應函數在這個區(qū)間-1,0內有沒有零點，由零點存在性定理，我們只需驗證f(0)×f(-1)是否小于0。解：f(-1)=3- 1=

8、-1=-0, f(0)= 3-0=10，f(0)×f(-1)0而函數f(x) =3-x的圖像是連續(xù)曲線，f(x) 在區(qū)間-1,0內有零點，即方程f(x)=0在區(qū)間-1,0內有實數解。例3：判定方程x-2x-5=1有兩個相異的實數解，且一個大于5，一個小于2。分析：轉化判斷函數f(x) =x-2x-5-1在區(qū)間-，2和(5, +) 內各有一個零點。解：考慮函數f(x) =x-2x-5-1，有f(2) =2-22-5-1=-10，f(5) =5-25-5-1=-10，又因為f(x)的圖像是開口向上的拋物線，在-，2內存在一點a，使f(a)0；在(5, +)內存在一點b，使f(b)0，所以拋物線與橫軸在a，2內有一個交點，在(5, b)內也有一個交點，而該交點即是方程的解。所以方程x-2x-5=1有兩個相異的實數解，且一個大于5，一個小于2。四、 零點存在性定理說：“假設f(a)×f(b)0，那么在區(qū)間a,b內，函數y=f(x)至少有一個零點，即相應的方程f(x)=0在區(qū)間a,b內至少有一個實數解，它只指出了方程f(x)=0實數解的存在，并不能判斷具體有多少個實數解。那改為f(a)×f(