等時(shí)圓模型(最新最全)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上“等時(shí)圓”模型的規(guī)律及應(yīng)用一、 等時(shí)圓模型（如圖所示） 二、 等時(shí)圓規(guī)律：1、小球從圓的頂端沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到弦軌道與圓的交點(diǎn)的時(shí)間相等。（如圖a）2、小球從圓上的各個(gè)位置沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到圓的底端的時(shí)間相等。（如圖b）3、沿不同的弦軌道運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，都等于小球沿豎直直徑（）自由落體的時(shí)間，即 （式中R為圓的半徑。）三、等時(shí)性的證明設(shè)某一條弦與水平方向的夾角為，圓的直徑為（如右圖）。根據(jù)物體沿光滑弦作初速度為零的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，加速度為，位移為，所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 即沿各條弦運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，運(yùn)動(dòng)時(shí)間與弦的傾角、長(zhǎng)短無(wú)關(guān)。四、應(yīng)用等時(shí)圓模型解典型例題例1：

2、如圖1，通過(guò)空間任一點(diǎn)A可作無(wú)限多個(gè)斜面，若將若干個(gè)小物體從點(diǎn)A分別沿這些傾角各不相同的光滑斜面同時(shí)滑下，那么在同一時(shí)刻這些小物體所在位置所構(gòu)成的面是（ ）A.球面 B.拋物面 C.水平面 D.無(wú)法確定【解析】：由“等時(shí)圓”可知，同一時(shí)刻這些小物體應(yīng)在同一“等時(shí)圓”上，所以A正確。圖2 例2：如圖2，在斜坡上有一根旗桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，現(xiàn)有一個(gè)小環(huán)從旗桿頂部沿一根光滑鋼絲AB滑至斜坡底部，又知OB=L。求小環(huán)從A滑到B的時(shí)間?！窘馕觥浚嚎梢砸設(shè)為圓心，以 L為半徑畫(huà)一個(gè)圓。根據(jù)“等時(shí)圓”的規(guī)律可知，從A滑到B的時(shí)間等于從A點(diǎn)沿直徑到底端D的時(shí)間，所以有例3：如圖5所示，在同一豎直線(xiàn)上有A、B兩點(diǎn)，相距為

3、h，B點(diǎn)離地高度為H，現(xiàn)在要在地面上尋找一點(diǎn)P，使得從A、B兩點(diǎn)分別向點(diǎn)P安放的光滑木板，滿(mǎn)足物體從靜止開(kāi)始分別由A和B沿木板下滑到P點(diǎn)的時(shí)間相等，求O、P兩點(diǎn)之間的距離。解析：由“等時(shí)圓”特征可知，當(dāng)A、B處于等時(shí)圓周上，且P點(diǎn)處于等時(shí)圓的最低點(diǎn)時(shí)，即能滿(mǎn)足題設(shè)要求。如圖6所示，此時(shí)等時(shí)圓的半徑為： 所以 O例4：如圖7， AB是一傾角為的輸送帶，P處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚(yáng)，在P與AB輸送帶間建立一管道（假使光滑），使原料從P處以最短的時(shí)間到達(dá)輸送帶上，則管道與豎直方向的夾角應(yīng)為多大？P解析：借助“等時(shí)圓”，可以過(guò)P點(diǎn)的豎直線(xiàn)為半徑作圓，要求該圓與輸送帶AB相切，如圖所示，C為切點(diǎn)，O

4、為圓心。顯然，沿著PC弦建立管道，原料從P處到達(dá)C點(diǎn)處的時(shí)間與沿其他弦到達(dá)“等時(shí)圓”的圓周上所用時(shí)間相等。因而，要使原料從P處到達(dá)輸送帶上所用時(shí)間最短，需沿著PC建立管道。由幾何關(guān)系可得：PC與豎直方向間的夾角等于/ 2。三、“形似質(zhì)異”問(wèn)題的區(qū)分1、還是如圖1的圓周，如果各條軌道不光滑，它們的摩擦因數(shù)均為，小滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0）到達(dá)圓環(huán)底部的時(shí)間還等不等？解析：bd的長(zhǎng)為2Rcos，bd面上物體下滑的加速度為a=gcos-gsin，tbd=2?？梢?jiàn)t與有關(guān)。2、如圖9，圓柱體的倉(cāng)庫(kù)內(nèi)有三塊長(zhǎng)度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圓心O，而上端則擱在倉(cāng)庫(kù)側(cè)壁，三塊滑

5、塊與水平面的夾角依次為300、450、600。若有三個(gè)小孩同時(shí)從a、b、c處開(kāi)始下滑（忽略阻力），則 （ ） A、a處小孩最先到O點(diǎn) B、b處小孩最先到O點(diǎn)C、c處小孩最先到O點(diǎn) D、a、c處小孩同時(shí)到O點(diǎn)解析：三塊滑塊雖然都從同一圓柱面上下滑，但a、b、c三點(diǎn)不可能在同一豎直圓周上，所以下滑時(shí)間不一定相等。設(shè)圓柱底面半徑為R，則=gsint2，t2=，當(dāng)=450時(shí)，t最小，當(dāng)=300和600時(shí)，sin2的值相等。例3：如圖3，在設(shè)計(jì)三角形的屋頂時(shí)，為了使雨水能盡快地從屋頂流下，并認(rèn)為雨水是從靜止開(kāi)始由屋頂無(wú)摩擦地流動(dòng)。試分析和解：在屋頂寬度（2L）一定的條件下，屋頂?shù)膬A角應(yīng)該多大？雨水流下的

6、最短時(shí)間是多少？【解析】：=gsint2 ， t2=，當(dāng)=450時(shí)，t最小訓(xùn)練1、如圖所示,oa、ob、oc是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿,O、a、b、c、d位于同一圓周上,d點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn),c點(diǎn)為最低點(diǎn).每根桿上都套著一個(gè)小滑環(huán)(圖中未畫(huà)出),三個(gè)滑環(huán)都從o點(diǎn)無(wú)初速釋放,用、依次表示滑環(huán)到達(dá)a、b、c所用的時(shí)間,則(  )A. B.  C.  D.答案詳解D解:以O(shè)點(diǎn)為最高點(diǎn),取合適的豎直直徑oe作等時(shí)圓,交ob于b,如圖所示,顯然o到f、b、g、e才是等時(shí)的,比較圖示位移,故推得,選項(xiàng)ABC錯(cuò)誤,D正確.2、身體素質(zhì)拓展訓(xùn)練中，人

7、從豎直墻壁的頂點(diǎn)A沿光滑桿自由下滑傾斜的木板上（人可看做質(zhì)點(diǎn)），若木板的傾斜角不同，人沿著三條不同路徑AB、AC、AD滑到木板上的時(shí)間分別為t1、t2、t3，若已知AB、AC、AD與板的夾角分別為70°、90°和105°，則 （）A. t1>t2>t3 B. t1<t2<t3 C. t1=t2=t3D. 不能確定t1、t2、t3之間的關(guān)系解析：若以O(shè)A為直徑畫(huà)圓，如圖，則AB交圓周與E點(diǎn)，C點(diǎn)正好在圓周上，D點(diǎn)在圓周之內(nèi)，AD的延長(zhǎng)線(xiàn)交圓周與F點(diǎn)，設(shè)AC與AO的夾角為，根據(jù)牛頓第二定律得人做初速為零的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的加速度為：a=

8、gcos由圖中的直角三角形可知，人的位移為：S=AOcos則可知人從A到C得時(shí)間為：，可知與斜面的傾角無(wú)關(guān)，即人從A帶你滑到ECF的時(shí)間是相等的，則可知人從A點(diǎn)滑到BCD的時(shí)間關(guān)系t1>t2>t3，故A正確；故選：A3、豎直正方形框內(nèi)有三條光滑軌道OB、OC和OD，三軌道交于O點(diǎn)，且與水平方向的夾角分別為30o、45o和60o?，F(xiàn)將甲、乙、丙三個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球同時(shí)從O點(diǎn)靜止釋放，分別沿OB、OC和OD運(yùn)動(dòng)到達(dá)斜面底端。則三小球到達(dá)斜面底端的先后次序是A. 甲、乙、丙 B. 丙、乙、甲 C. 甲、丙同時(shí)到達(dá)，乙后到達(dá)D. 不能確定三者到達(dá)的順序4、如圖所示,地面上有一固定的球面,球半徑為R,球面的斜上方P處有一質(zhì)點(diǎn)(P與球心O在同一豎直平面內(nèi)).已知P到球心O的距離為L(zhǎng),P到地面的垂直距離為H,現(xiàn)要使此質(zhì)點(diǎn)從靜止開(kāi)始沿一光滑斜直軌道在最短時(shí)間內(nèi)滑到球面上,求所需的最短時(shí)間.解:(1)求證:如圖所示小球從豎直平面的半徑為R'的圓的頂點(diǎn),沿光滑軌道運(yùn)動(dòng)到任何方向圓外邊緣,任取一條軌道PQ,PQ與水平面的夾角為,由三角關(guān)系得PQ的長(zhǎng)度為:由牛頓第二定律得,沿光滑斜面下滑的加速度為:由位移時(shí)間公式得,運(yùn)動(dòng)時(shí)間:即運(yùn)動(dòng)時(shí)間與角度無(wú)關(guān),故對(duì)應(yīng)任何軌道的時(shí)間均相同.(2)作圖:以P為頂點(diǎn)作一半徑為r的球