第6講矢量場的通量及散度

1、第二章第二章 場論場論第第6講講 矢量場的通量及散度矢量場的通量及散度主要內(nèi)容主要內(nèi)容l1. 通量通量l2. 散度散度l3.平面矢量場的通量與散度平面矢量場的通量與散度*教材：第教材：第2章章 第第3節(jié)節(jié)簡單曲線與簡單曲面術(shù)語介紹簡單曲線與簡單曲面術(shù)語介紹（1 1）簡單曲線：）簡單曲線：設(shè)連續(xù)曲線參數(shù)方程為：設(shè)連續(xù)曲線參數(shù)方程為：)(),(),(tztytx 曲線上的每一點都只對應(yīng)唯一的一個參數(shù)值曲線上的每一點都只對應(yīng)唯一的一個參數(shù)值t.(t.(閉合曲線閉閉合曲線閉合點除外合點除外) )。簡單曲線的一般特征是一條沒有重點的連續(xù)曲線。簡單曲線的一般特征是一條沒有重點的連續(xù)曲線。（2 2）簡單曲面

2、：）簡單曲面：設(shè)連續(xù)曲面參數(shù)方程為：設(shè)連續(xù)曲面參數(shù)方程為：),(),(),(vuzvuyvux 曲面上的每一點都只對應(yīng)唯一的一個參數(shù)值曲面上的每一點都只對應(yīng)唯一的一個參數(shù)值（u, v）.(.(閉合閉合曲面閉合點除外曲面閉合點除外) )。簡單曲面的一般特征是一條沒有重點的連續(xù)。簡單曲面的一般特征是一條沒有重點的連續(xù)曲面。曲面。l1.通量通量引例：引例： 設(shè)有流速場設(shè)有流速場v(M), ,流體是不可壓縮的，設(shè)其密度為流體是不可壓縮的，設(shè)其密度為1.1.求單求單位時間內(nèi)流體向正側(cè)穿過有向曲面位時間內(nèi)流體向正側(cè)穿過有向曲面S S的流量的流量Q Q（如圖）。（如圖）。 取微元取微元ds( (微元內(nèi)速度矢

3、量和法矢微元內(nèi)速度矢量和法矢量近似看做不變量近似看做不變) )，則穿過，則穿過ds的流量的流量dQ近似等于：近似等于：dsvdQn以以 表示點表示點M M處的單位法矢量則處的單位法矢量則流量表示為：流量表示為：0n)()(00dsnvdsnvdsvdQndSdsndS,0 令令 為在點為在點M M處的這樣一個矢量，其處的這樣一個矢量，其方向與法向量方向與法向量n n一致，其模等于面積一致，其模等于面積dsds。 據(jù)此，在單位時間內(nèi)向正側(cè)穿過據(jù)此，在單位時間內(nèi)向正側(cè)穿過S S的流量，就的流量，就可用曲面積分表示為：可用曲面積分表示為：dSvdsvQssn 又如：在電位移矢量又如：在電位移矢量D

4、D分布的電場中，穿過曲面分布的電場中，穿過曲面S S的的電通量：電通量：ssnedSDdsD 在磁感應(yīng)強度矢量在磁感應(yīng)強度矢量B B分布的電場中，穿過曲面分布的電場中，穿過曲面S S的的磁通量：磁通量：ssnmdSDdsB通量定義：通量定義： 設(shè)有矢量場設(shè)有矢量場A(M),A(M),沿其中有向曲面沿其中有向曲面S S某一側(cè)的曲某一側(cè)的曲面積分：面積分：叫做矢量叫做矢量A(M)A(M)向積分所沿一側(cè)穿過曲面向積分所沿一側(cè)穿過曲面S S的的通量通量。ssndSAdsA若：若： miimAAAAA121則有：則有： miimisissmiidSAdSAdSA111)(通量是可疊加的。通量是可疊加的。

5、在直角坐標系中，設(shè)在直角坐標系中，設(shè),),(),(),(kzyxrjzyxQizyxPA,),cos(),cos(),cos(dydzkdxdzjdydzikzndsjyndsixndsdsndSo則通量可寫成：則通量可寫成：ssRdxdyQdxdzPdydzdSA又：又：例例1 1： 設(shè)由矢徑設(shè)由矢徑 構(gòu)成的矢量場中，構(gòu)成的矢量場中，有一由圓錐面有一由圓錐面 及平面及平面 所圍所圍成的封閉曲面成的封閉曲面S,S,如圖，試求矢量場如圖，試求矢量場 從從S S內(nèi)穿出內(nèi)穿出S S的的通量通量。解：解：zkyjxir222zyx) 0(HHz 以以 表示曲面表示曲面S S的平面部分，以的平面部分，以

6、 表示錐面部分，表示錐面部分，則通量為：則通量為：1S2S12sSsdSrdSrdSr其中其中321111HHHdxdyHHdxdyzdxdyydxdzxdydzdSrDDss其中其中 為為 在在xOy面上的投影。面上的投影。1D1S在在 上有上有 則：則： 00222ssnsdsdsrdSr2Snr 3HdSrs所以：所以：例例2 2： 設(shè)設(shè)S S為曲面為曲面 被圍在圓柱面被圍在圓柱面 內(nèi)的部分，求矢量場內(nèi)的部分，求矢量場 向下穿出向下穿出S S的通量的通量 。223yxz422 yxzkyjxiA 2解：解： S S為函數(shù)為函數(shù) 當當u u取值為取值為0 0時的一張時的一張等值面。由于矢量

7、場向下穿出等值面。由于矢量場向下穿出S S的方向，是的方向，是z z減小的減小的方向同時也是方向同時也是u u值減小的方向，故值減小的方向，故S S朝此方向的單位朝此方向的單位法矢量為：法矢量為：223yxzu13646222yxkyjxigradugraduno所求通量為：所求通量為：243)( 336411364)3(6413646420203222222222222220drrddxdyyxdxdyyxyxyxyxdSyxzyxdSnAxyxyDDss通量為正負時的物理意義：通量為正負時的物理意義： 對于流速場對于流速場v(M),v(M),設(shè)在單位時間內(nèi)流體向正側(cè)穿過設(shè)在單位時間內(nèi)流體向

8、正側(cè)穿過S S的流量為的流量為Q Q，根據(jù)前面所述，單位時間內(nèi)流體向正側(cè)穿，根據(jù)前面所述，單位時間內(nèi)流體向正側(cè)穿過曲面元素過曲面元素dSdS的流量為：的流量為：dSvdQ 其結(jié)果是個代數(shù)值：若其結(jié)果是個代數(shù)值：若v v從曲面的負側(cè)傳到曲面從曲面的負側(cè)傳到曲面的正側(cè)時，的正側(cè)時，v v與與n n夾角為銳角因此夾角為銳角因此dQdQ為正流量，如下為正流量，如下圖左所示；反之，圖左所示；反之，v v與與n n夾角為鈍角夾角為鈍角dQdQ為負流量，如為負流量，如下圖右所示：下圖右所示：因此，對于總流量因此，對于總流量sdSvQ 一般應(yīng)理解為：單位時間內(nèi)流體向正側(cè)穿過曲面一般應(yīng)理解為：單位時間內(nèi)流體向正

9、側(cè)穿過曲面S S的正流量與負流量的代數(shù)和。的正流量與負流量的代數(shù)和。 如果如果S S為一封閉曲面，此時積分為一封閉曲面，此時積分 一般指沿一般指沿S S的的外側(cè)，此時流量表示從內(nèi)穿出外側(cè)，此時流量表示從內(nèi)穿出S S的正流量與從外穿入的正流量與從外穿入S S的負流量的代數(shù)和。的負流量的代數(shù)和。s 若若Q0,Q0,那那S S內(nèi)必內(nèi)必有正源有正源；同理；同理Q0,SQ0,S內(nèi)必內(nèi)必有負源有負源。但是當?shù)钱擰=0Q=0時，不能斷言時，不能斷言S S內(nèi)無源。內(nèi)無源。例例3 3： 在點電荷在點電荷q q所產(chǎn)生的電場中。任何一點所產(chǎn)生的電場中。任何一點M M處的電位處的電位移矢量為移矢量為024rrqD

10、其中其中r r是點電荷是點電荷q q到點到點M M的距離，的距離， 是從點電荷是從點電荷q q指向點指向點M M的單位矢量。設(shè)的單位矢量。設(shè)S S為以點電荷為球心，為以點電荷為球心，R R為半為半徑的球面，求從內(nèi)穿出徑的球面，求從內(nèi)穿出S S的電通量的電通量 。0r解：解： 如圖，在球面如圖，在球面S S上恒有上恒有r=Rr=R , ,且法矢量且法矢量n n與與 的方向一致，所以的方向一致，所以0rqRRqdSRqdSrRqdSDssse222024444l2.散度散度散度定義：散度定義： 設(shè)有矢量場設(shè)有矢量場A(M)A(M)，于場中一點，于場中一點M M的某個領(lǐng)域內(nèi)的某個領(lǐng)域內(nèi)作一包含作一包

11、含M M點在內(nèi)的任一閉曲面點在內(nèi)的任一閉曲面S S，設(shè)其所包圍的空間，設(shè)其所包圍的空間區(qū)域為區(qū)域為，以，以V V表示其體積，以表示其體積，以表示從其內(nèi)穿表示從其內(nèi)穿出出S S的通量，若當?shù)耐?，若當以任意方式縮向點以任意方式縮向點M M時，比式：時，比式：VdSAVS 的極限存在，此極限為矢量場的極限存在，此極限為矢量場A(M)A(M)在點在點M M處的處的散度散度。 記作記作div A,div A,VdSAVdivASMMlimlim 散度散度div Adiv A為一數(shù)量，表示在場中一點處通量對為一數(shù)量，表示在場中一點處通量對體積的變化率，也就是在該點處對一個單位體積來體積的變化率，也就是在

12、該點處對一個單位體積來說所穿出的通量，稱為該點處說所穿出的通量，稱為該點處源的強度。源的強度。 div A div A的符號為正表示該點處有散發(fā)通量的正源，的符號為正表示該點處有散發(fā)通量的正源，反之則有吸收通量的負源。其絕對值反之則有吸收通量的負源。其絕對值| div A | div A |表表示該點處散發(fā)或吸收通量的強度。示該點處散發(fā)或吸收通量的強度。 當當div Adiv A的值為零時，表示該點處無源，由此的值為零時，表示該點處無源，由此稱稱div A0div A0的矢量場為的矢量場為無源場。無源場。 把矢量場把矢量場A A中每一點的散度與場中的點一一對中每一點的散度與場中的點一一對應(yīng)起來

13、就得到一個數(shù)量場，稱之為由此矢量場產(chǎn)應(yīng)起來就得到一個數(shù)量場，稱之為由此矢量場產(chǎn)生的生的散度場。散度場。散度在直角坐標系中的表達式：散度在直角坐標系中的表達式：定理：定理：在直角坐標系中，矢量場在直角坐標系中，矢量場kzyxRjzyxQizyxPA),(),(),(在任一點的散度為：在任一點的散度為：zRyQxPdivAdVzRyQxPRdydzQdxdzPdydzdSASS)(證明：證明：由高斯公式得由高斯公式得：再按中值定理有再按中值定理有VzRyQxPM* M M* *為為內(nèi)的某一點，由此：內(nèi)的某一點，由此：*limlimMMMzRyQxPVdivA當縮向點縮向點M M時，時， M M*

14、*就趨于就趨于M, M, 所以所以zRyQxPdivA推論推論1 1：高斯公式可寫成如下的矢量形式：高斯公式可寫成如下的矢量形式：推論推論2 2：divAdVdSAs 穿出封閉曲面穿出封閉曲面S S的通量等于的通量等于S S所圍區(qū)域所圍區(qū)域上的散度上的散度在在上的三重積分上的三重積分 由推論由推論1 1可知：若在封閉曲線可知：若在封閉曲線S S內(nèi)處處有內(nèi)處處有divA=0, divA=0, 0dSAs推論推論3 3： 若在矢量場若在矢量場A A內(nèi)，某些點（或區(qū)域）上有內(nèi)，某些點（或區(qū)域）上有divA0divA0或或divAdivA不存在，而在其他的點都有不存在，而在其他的點都有divA=0di

15、vA=0，則穿過包圍這些點（或區(qū)域）的任意兩張封閉曲面則穿過包圍這些點（或區(qū)域）的任意兩張封閉曲面的通量都相等，為一常數(shù)。的通量都相等，為一常數(shù)。例例4 4： 在點電荷在點電荷q q所產(chǎn)生的靜電場中。求電位移矢量所產(chǎn)生的靜電場中。求電位移矢量D D在任在任一點一點M M處的散度處的散度div Ddiv D。解：解：取點電荷所在之點為坐標原點，此時：取點電荷所在之點為坐標原點，此時：rrqD34其中其中rrzkyjxir,因此因此3334,4,4rqzDrqyDrqxDzyx52252252234,34,34rzrqzDryrqyDrxrqxDzyx于是有于是有0)(33452222rzyxrq

16、zDyDxDdivDzyx（r 0 ）所以所以 可見，除點電荷可見，除點電荷q q所在的原點（所在的原點（r=0r=0）divDdivD不存在外，不存在外，電位移電位移D D的散度處處為零，為一無源場。的散度處處為零，為一無源場。 根據(jù)推論根據(jù)推論3 3和例和例3 3有電場穿過包含點電荷有電場穿過包含點電荷q q在內(nèi)的任在內(nèi)的任何風(fēng)閉曲面何風(fēng)閉曲面S S的電通量都等于的電通量都等于q q，再根據(jù)通量可累加，再根據(jù)通量可累加，可以得出電學(xué)上的可以得出電學(xué)上的高斯定理：高斯定理： 穿出任意封閉曲面穿出任意封閉曲面S S的電通量，等于其內(nèi)各點電的電通量，等于其內(nèi)各點電荷的代數(shù)和。荷的代數(shù)和。 對于在

17、電荷連續(xù)分布的電場中，點位移矢量對于在電荷連續(xù)分布的電場中，點位移矢量D D的的散度為：散度為：VVdSDdivDMSMlimlim根據(jù)高斯定理：根據(jù)高斯定理：VQdivDMlim即電位移即電位移D D的散度等于電荷分布的體密度。的散度等于電荷分布的體密度。散度運算的基本公式：散度運算的基本公式：cdivAcAdiv)() 1 (divBdivABAdiv)()2(AgraduudivAuAdiv)()3(（c c為常數(shù)）為常數(shù)）(u(u為數(shù)性函數(shù)為數(shù)性函數(shù)) )例例5 5： 已知已知 求求 。,zkyjxirexyz)( rdiv由基本公式得：由基本公式得：rgraddivrrdiv)(3)

18、(zkyjxidivdivr)(yzkxzjyzieegradgradxyzxyz故故xyzxyzxyzexyzxyzeerdiv)1 (333)(由于由于解：解：l3.平面矢量場的通量與散度平面矢量場的通量與散度* 上面討論的是空間矢量場的通量和散度，用類似上面討論的是空間矢量場的通量和散度，用類似的方法可引入平面矢量場的通量和散度；的方法可引入平面矢量場的通量和散度； 為此將平面有向曲線上任一點處的法矢量為此將平面有向曲線上任一點處的法矢量n的方向的方向做這樣的規(guī)定：若將做這樣的規(guī)定：若將n按逆時針方向旋轉(zhuǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90度，它便度，它便與該點處的切向矢量與該點處的切向矢量t共線且同指

19、向，如圖：共線且同指向，如圖：通量定義通量定義（平面矢量場）（平面矢量場） 設(shè)有平面矢量場設(shè)有平面矢量場A(M),A(M),沿其中某一有向曲線沿其中某一有向曲線l的曲線的曲線積分積分 dlAln 叫做矢量場叫做矢量場A(M)A(M)沿法矢量沿法矢量n的方向穿過曲線的方向穿過曲線l的的通量通量 在直角坐標系中，設(shè)在直角坐標系中，設(shè)jyxQiyxPA),(),(又曲線又曲線l的單位法矢量的單位法矢量jdldxidldyjxtiytjynixnn),cos(),cos(),cos(),cos(0則通量則通量可表示為：可表示為：QdxdyPdlnAdlAllln0 若若l為封閉平面曲線，取其逆時針為正方向，而且為封閉平面曲線，取其逆時針為正方向，而且對于環(huán)繞對于環(huán)繞l一周的曲線積分一周的曲線積分 來說，默認表示積分來說，默認表示積分沿沿l的正方向進行。的正方向進行。l據(jù)此，可引出散度的定義；據(jù)此，可引出散度的定義；散度定義散度定義（平面矢量場）（平面矢量場） 設(shè)有平面矢量場設(shè)有平面矢量場A(M),A(M),于場中一點于場中一點M M的某個領(lǐng)域內(nèi)做的某個領(lǐng)域內(nèi)做已包含點已包含點M M在內(nèi)的任一閉曲線在內(nèi)的任一閉曲線l，設(shè)其所包圍的平面，設(shè)其所包圍的平面區(qū)域為區(qū)域為，以，以S S表示其面積，以表示其面積，以表示從其內(nèi)表示從其內(nèi)穿出穿出l的通量，若當?shù)耐?，若當以任意方式縮向點以任意方式縮