第3-4章B樣條曲線曲面

1、四、四、 B樣條曲線樣條曲線 Bezier曲線不足之處曲線不足之處： 造型不靈活。造型不靈活。確定了多邊形的頂點(diǎn)數(shù)確定了多邊形的頂點(diǎn)數(shù)(n+1個(gè)個(gè))，也就決定了所定義的也就決定了所定義的Bezier曲線的階次曲線的階次(n次次)，這樣，這樣很不靈活。很不靈活。 當(dāng)頂點(diǎn)數(shù)當(dāng)頂點(diǎn)數(shù)(n+1)較大時(shí)較大時(shí)，曲線的階次將比較，曲線的階次將比較高。此時(shí)，高。此時(shí)，多邊形對(duì)曲線形狀的控制將明顯減弱。多邊形對(duì)曲線形狀的控制將明顯減弱。 不能局部修改。不能局部修改。圖圖1 1和圖和圖2 2為三次為三次BezierBezier曲線的各種不同情況的分析比較。曲線的各種不同情況的分析比較。圖圖1 控制點(diǎn)相同，順序不

2、同的三次Bezier曲線圖圖2 移動(dòng)控制點(diǎn)P2的不同效果比較B樣條曲線的優(yōu)點(diǎn)：樣條曲線的優(yōu)點(diǎn)： B樣條曲線除了保持了原樣條曲線除了保持了原Bezier曲線所具有的曲線所具有的優(yōu)點(diǎn)外，優(yōu)點(diǎn)外，還增加了可以對(duì)曲線進(jìn)行局部修改這一還增加了可以對(duì)曲線進(jìn)行局部修改這一突出的優(yōu)點(diǎn)突出的優(yōu)點(diǎn)。 除此之外，它還除此之外，它還具有對(duì)特征多邊形更逼近，具有對(duì)特征多邊形更逼近，多項(xiàng)式階次較低等優(yōu)點(diǎn)。多項(xiàng)式階次較低等優(yōu)點(diǎn)。 因此，因此，B樣條曲線在外形設(shè)計(jì)中得到了廣泛的樣條曲線在外形設(shè)計(jì)中得到了廣泛的重視和應(yīng)用。重視和應(yīng)用。 圖圖3 B樣條曲線的局部特性。變動(dòng)P5使右半部分曲線變化，但左半部分不變圖圖4 由8個(gè)控制點(diǎn)

3、定義的不同階次B樣條曲線和Bezier曲線對(duì)比 Pi,n( (t) )=nknktFP0,ki)(0t1) 式中：式中：Pi,n(t)為第為第i段段n次次B樣條曲線段樣條曲線段(i=0,1,m)，F(xiàn)k,n(t)為為n次次B樣條基函數(shù)，也稱為樣條基函數(shù)，也稱為B樣條分段混合函數(shù)。其形式為：樣條分段混合函數(shù)。其形式為： ), 1 , 0, 10()() 1(!1)(01,nktjkntCntFknjnjnjnk 通常，給定通常，給定m+n+1個(gè)頂點(diǎn)個(gè)頂點(diǎn)Pi (i =0, l, 2, , m+n)，可以定義可以定義m+1段段n次的參數(shù)曲線為：次的參數(shù)曲線為：1. B樣條曲線定義樣條曲線定義 連接全

4、部曲線段連接全部曲線段所組成的整條曲線稱所組成的整條曲線稱為為n次次B樣條曲線。依樣條曲線。依次用線段連接次用線段連接Pi+k( (k=0, 1, , ,n) )所所組成的多邊形稱為組成的多邊形稱為B樣條曲線在第樣條曲線在第i段的段的B特征多邊形。特征多邊形。 n次次B樣條曲線可達(dá)到樣條曲線可達(dá)到n1階連續(xù)。階連續(xù)。 對(duì)于二次對(duì)于二次B樣條曲線，樣條曲線，n=2，i=0, l, 2，F(xiàn)i,n(t)可以寫成如下形式：可以寫成如下形式：2. 二次二次B樣條曲線樣條曲線 223221312030) 1() 1() 1() 2() 1(! 21tCtCtC222! 2! 31! 2! 32! 3! 3

5、21ttt222212133634421tttttt20232, 0)02() 1(! 21)(jjjjtCtF2131203010232, 1) 1() 1() 1(21)12() 1(! 21)(tCtCjtCtFjjj122213121222tttt2203000232, 221) 1(21)22() 1(! 21)(ttCjtCtFjjj 因此，二次因此，二次B樣條曲線的分段表達(dá)式可以寫成樣條曲線的分段表達(dá)式可以寫成如下的形式：如下的形式： Pi,2(t)= F0,2(t)Pi + F1,2(t)Pi+1十十F2,2(t)Pi+2 (i= 0,1m)221222,2112221) 1(

6、21)(iiiiPtPttPttP綜合起來(lái)，二次綜合起來(lái)，二次B樣條曲線還可以寫成更一般化的樣條曲線還可以寫成更一般化的形式：形式： 22, 0) 1(21)(ttF122(21)(22, 1tttF22, 221)(ttF) 10(011022121211)()(212202 ,2 ,tPPPtttFPtPiiikkkii式中式中Pi，Pi+1，Pi+2為第為第i段曲線的段曲線的B特征多邊形的特征多邊形的頂點(diǎn)。頂點(diǎn)。對(duì)上式求一階導(dǎo)數(shù)可得：對(duì)上式求一階導(dǎo)數(shù)可得：221222,2112221) 1(21)(iiiiPtPttPttP212,21) 1()(iiiitPPtPttP二次二次B樣條曲

7、線的幾何性質(zhì)：樣條曲線的幾何性質(zhì)：端點(diǎn)處的性質(zhì)：端點(diǎn)處的性質(zhì)：)(21)1()(21)0(212,12,iiiiiiPPPPPP第第i段曲線的起點(diǎn)在邊段曲線的起點(diǎn)在邊PiPi+1的中點(diǎn)，終點(diǎn)在的中點(diǎn)，終點(diǎn)在邊邊Pi+1Pi+2的中點(diǎn)的中點(diǎn)二次二次B樣條曲線繪制示意圖（樣條曲線繪制示意圖（i=0）122,12,)1( )0( iiiiiiPPPPPP第第i段曲線的起點(diǎn)處的段曲線的起點(diǎn)處的切線是邊切線是邊PiPi+1，終點(diǎn)，終點(diǎn)處的切線是邊處的切線是邊Pi+1Pi+2二次二次B樣條曲線繪制示意圖（樣條曲線繪制示意圖（i=0）第第i段曲線起點(diǎn)與終點(diǎn)段曲線起點(diǎn)與終點(diǎn)連線的中點(diǎn)，如圖連線的中點(diǎn)，如圖M第

8、第i段曲線的段曲線的Pi,2(1/2)處的切線平行于起點(diǎn)處的切線平行于起點(diǎn)終點(diǎn)連線終點(diǎn)連線PiPi+1Pi+2Pi,2(0)Pi,2 (1)Pi,2(1/2)Pi,2(1/2)M二次二次B B樣條曲線樣條曲線 )0()1(21)(21)21( )1()0(2121814381)21(2,2,22,12,2,212,iiiiiiiiiiiiPPPPPPPPPPPP3. B樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì) 1）局部調(diào)整性）局部調(diào)整性 2）仿射不變性）仿射不變性 3）分段參數(shù)多項(xiàng)式）分段參數(shù)多項(xiàng)式4）凸包性）凸包性 5）造型靈活性）造型靈活性 小組作業(yè) I 講述三次講述三次B樣條曲線相關(guān)知識(shí)：樣條曲線相

9、關(guān)知識(shí)： 1.推導(dǎo)其表達(dá)式、矩陣形式推導(dǎo)其表達(dá)式、矩陣形式 2.討論其端點(diǎn)性質(zhì)討論其端點(diǎn)性質(zhì) 時(shí)間：時(shí)間：50分鐘分鐘小組作業(yè) II 雙三次Coons曲面 時(shí)間：時(shí)間：50分鐘分鐘五、五、 B樣條曲面樣條曲面) 1)(1(nm), 1 , 0;, 1 , 0(njmipij 1 , 0,00,wuwNuNPwuSljminjkiijlk uNki, wNlj,1 , 0,2:1,2:1,wulnzkmyWMPMUwuSTLTLkLkkyz2:1,2:1,1 ,1 ,1221lzzjkyyippwwwWuuuUijkllllkkkklP給定給定個(gè)空間點(diǎn)列個(gè)空間點(diǎn)列, , 則則 定義了定義了次次B

10、 B樣條曲面，式中樣條曲面，式中和和l l 次的次的B B樣條基函數(shù)，由樣條基函數(shù)，由Pij Pij 由組成的空間網(wǎng)格稱為由組成的空間網(wǎng)格稱為B B樣條曲面的樣條曲面的特征網(wǎng)格。上式也可寫成如下的矩陣式：特征網(wǎng)格。上式也可寫成如下的矩陣式： 上式中上式中y,zy,z分別表示在分別表示在u,wu,w參數(shù)方向上曲面片的個(gè)數(shù)。參數(shù)方向上曲面片的個(gè)數(shù)。 是某一個(gè)是某一個(gè)B B樣條面片的控制點(diǎn)編號(hào)。下面介紹最常用的二、三樣條面片的控制點(diǎn)編號(hào)。下面介紹最常用的二、三次均勻次均勻B B樣條曲面的構(gòu)造。樣條曲面的構(gòu)造。是是k 次和次和, 2, 1,0lkwu020100020100200110221211)(

11、pppWMpppwwwPB TTBpppwWMp0201000 TTBTTBpppwpppwWMpWMp22111021211101, TTBBBpppppppppUwpwpwpUwuWMMMS222120121110020100210,TTBByzwuWPMUMS,1 1均勻雙二次均勻雙二次B B樣條曲面樣條曲面已知曲面的控制點(diǎn)已知曲面的控制點(diǎn)pij(i,jpij(i,j0,1,2)0,1,2)，參數(shù)，參數(shù)u,wu,w且且構(gòu)造步驟是：構(gòu)造步驟是：沿沿w(w(或或u)u)向構(gòu)造均勻二次向構(gòu)造均勻二次B B樣條曲線，即有：樣條曲線，即有：經(jīng)轉(zhuǎn)置后經(jīng)轉(zhuǎn)置后 同上可得同上可得 再沿再沿u(u(或或w

12、)w)向構(gòu)造均勻二次向構(gòu)造均勻二次B B樣條曲線，即可得到均勻雙二樣條曲線，即可得到均勻雙二 次次B B樣條曲面。樣條曲面。 簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 。)3 , 2 , 1 , 0,(jipij,1 , 0,wu wPi) 3 , 2 , 1 , 0( i TTBTTBTTBTTBppppwppppwppppwppppwWMpWMpWMpWMp333231303232221202131211101030201000, wPi 3332313023222120131211100302010032100,ppppppppppppppppPWPMUMwpwpwpwpUMwuSTTBBB014103030363

13、133161BM2 2均勻雙三次均勻雙三次B B樣條曲面樣條曲面已知曲面的控制點(diǎn)已知曲面的控制點(diǎn)，參數(shù)，參數(shù)u,wu,w且且構(gòu)造雙三次構(gòu)造雙三次B B樣條曲面的步驟同上述。樣條曲面的步驟同上述。沿沿w(w(或或u)u)向構(gòu)造向構(gòu)造均勻三次均勻三次B B樣條曲線樣條曲線再沿再沿u(u(或或w)w)向構(gòu)造均勻三次向構(gòu)造均勻三次B B樣條曲線，此時(shí)可認(rèn)為頂點(diǎn)沿樣條曲線，此時(shí)可認(rèn)為頂點(diǎn)沿滑動(dòng)，每組頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)相同的滑動(dòng)，每組頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)相同的w w，當(dāng)，當(dāng)w w值由值由0 0到到1 1連續(xù)變化，即形成連續(xù)變化，即形成B B樣條曲面。此時(shí)表達(dá)式為：樣條曲面。此時(shí)表達(dá)式為： 可見(jiàn)，由可見(jiàn)，由n個(gè)頂點(diǎn)定義的二次個(gè)頂

14、點(diǎn)定義的二次B樣條曲線，實(shí)質(zhì)上是樣條曲線，實(shí)質(zhì)上是n2段拋物線（相鄰三點(diǎn)定義）的連接，并在連接處達(dá)段拋物線（相鄰三點(diǎn)定義）的連接，并在連接處達(dá)到一階連續(xù)。到一階連續(xù)。 3. 三次三次B樣條曲線樣條曲線 對(duì)于三次對(duì)于三次B樣條曲線，樣條曲線，n=3,k=0,1,2,3。所以式（。所以式（5-27）可以分別寫成如下形式：）可以分別寫成如下形式： 30343 , 0)03() 1(! 31)(jjjjtCtF334324314304) 1()2()3(61tCtCtCtC3333)(4) 1(6)2(4)3(61tttt3232323461818632482442727961tttttttttt61

15、= (t3 + 3t2 3t + 1)20343 , 1)13() 1(! 31)(jjjjtCtF324314304)() 1()2(61tCtCtC323236412124812661ttttttt= (3t3 6t2 + 4) 6110343 , 2)23() 1(! 31)(jjjjtCtF314304)() 1(61tCtC323413361tttt = (3t3 + 3t2 + 3t + 1) 6100343 , 3)33() 1(! 31)(jjjjtCtF304)(61tC= t3 61所以，三次所以，三次B樣條曲線的表達(dá)式可以寫成：樣條曲線的表達(dá)式可以寫成： ) 10(014

16、1030303631331611)()()()()(32102333 , 323 , 213 , 103 , 0tPPPPtttPtFPtFPtFPtFtP(5-31) 關(guān)于式（關(guān)于式（5-31）的含義，可以參見(jiàn)對(duì)式（）的含義，可以參見(jiàn)對(duì)式（5-29）的說(shuō)明，）的說(shuō)明，在此不再贅述。在此不再贅述。 下面，我們來(lái)討論一下三次下面，我們來(lái)討論一下三次B樣條曲線的端點(diǎn)性質(zhì)。樣條曲線的端點(diǎn)性質(zhì)。 由式（由式（5-31）可以進(jìn)一步推導(dǎo)得：）可以進(jìn)一步推導(dǎo)得： ) 10(013102421301211)( 32102tPPPPtttPP(t)= (1t)3 P0+ (3t3 6t2 + 4) P1+ (-

17、3t3 + 3t2 +3t + 1) P2+ t3P3P (t)= -3(1t)2 P0+ (9t2 12t ) P1+ (-9t2 + 6t+3) P2+ 3t2P3P”(t)= 6(1t) P0+ (18t 12 ) P1+ (-18t + 6) P2+ 6tP3616161 以以t的端點(diǎn)值代入，得：的端點(diǎn)值代入，得：23132112021032231)4(61)1(32231)4(61)0(PPPPPPPPPPPPPP)(21)1( )(21)0( 1302PPPPPP)()()2)1( )()()2)0( 21233211012210PPPPPPPPPPPPPPPP 從以上列出的端點(diǎn)結(jié)

18、果我們可以看到，曲線段的起點(diǎn)從以上列出的端點(diǎn)結(jié)果我們可以看到，曲線段的起點(diǎn)P（0）位于）位于P0P1P2底邊底邊P0P2的中線的中線P1Pm上，且距上，且距P1點(diǎn)的三點(diǎn)的三分之一處。該點(diǎn)處的切矢分之一處。該點(diǎn)處的切矢P（0）平行于）平行于P0P1P2的底邊的底邊P0P2，且長(zhǎng)度為其二分之一。，且長(zhǎng)度為其二分之一。該點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)該點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)P（0）等）等于中線矢量于中線矢量P1Pm的二倍，的二倍，見(jiàn)圖見(jiàn)圖5-31。 P0P1P2P3P4P(0)P(0)P”(0)P”(1)P(1)P(1)Pm圖圖5-31 5-31 三次三次B B樣條曲線段樣條曲線段 三次三次B樣條曲線繪制示意圖樣條曲線繪制示意圖 同理，對(duì)于終點(diǎn)同理，對(duì)于終點(diǎn)P（1）處的情形與此相應(yīng)。如果在）處的情形與此相應(yīng)。如果在B特特征多邊形上增加了一個(gè)頂點(diǎn)征多邊形上增加了一個(gè)頂點(diǎn)P4，那么，那么P1P2P3P4又可定義一段又可定義一段新的三次新的三次B樣條曲線。因?yàn)樾虑€段起點(diǎn)的有關(guān)數(shù)據(jù)和上一樣條曲線。因?yàn)樾虑€段起點(diǎn)的有關(guān)數(shù)據(jù)和上一段曲線的終點(diǎn)的有關(guān)數(shù)據(jù)都只和段曲線的終點(diǎn)的有關(guān)數(shù)據(jù)都只和P1、P2、P3三點(diǎn)有關(guān)，所三點(diǎn)有關(guān)，所以該二段