菱形的性質(zhì)及判定.教師版

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上菱形的性質(zhì)及判定中考要求知識點(diǎn)A要求B要求要求菱形會識別菱形掌握菱形的概念、性質(zhì)和判定，會用菱形的性質(zhì)及判定解決簡單問題會用菱形的知識解決有關(guān)問題知識點(diǎn)睛1菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2菱形的性質(zhì)菱形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，還具有自己獨(dú)特的性質(zhì)： 邊的性質(zhì)：對邊平行且四邊相等 角的性質(zhì)：鄰角互補(bǔ)，對角相等 對角線性質(zhì)：對角線互相垂直平分且每條對角線平分一組對角 對稱性：菱形是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形菱形的面積等于底乘以高，等于對角線乘積的一半點(diǎn)評：其實(shí)只要四邊形的對角線互相垂直，其面積就等于對角線乘積的一半3菱形的判定判定

2、：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形判定：四邊相等的四邊形是菱形4三角形的中位線中位線：連結(jié)三角形兩邊的中點(diǎn)所得的線段叫做三角形的中位線也可以過三角形一邊的中點(diǎn)作平行于三角形另外一邊交于第三邊所得的線段也是中位線以上是中位線的兩種作法，第一種可以直接用中位線的性質(zhì)，第二種需要說明理由為什么是中位線，再用中位線的性質(zhì) 定理：三角形的中位線平行第三邊且長度等于第三邊的一半重、難點(diǎn)重點(diǎn)是菱形的性質(zhì)及判定定理。菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先她是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定

3、方法。菱形的這些性質(zhì)和判定定理即是平行四邊形性質(zhì)與判定的延續(xù)，又是以后要學(xué)習(xí)的正方形的基礎(chǔ)。 難點(diǎn)是菱形性質(zhì)的靈活應(yīng)用。由于菱形是特殊的平行四邊形，所以它不但具有平行四邊形的性質(zhì)，同時(shí)還具有自己獨(dú)特的性質(zhì)。如果得到一個(gè)平行四邊形是菱形，就可以得到許多關(guān)于邊、角、對角線的條件，在實(shí)際解題中，應(yīng)該應(yīng)用哪些條件，怎樣應(yīng)用這些條件，常常讓許多學(xué)生手足無措，教師在教學(xué)過程 中應(yīng)給予足夠重視。例題精講板塊一、菱形的性質(zhì)【例1】 菱形的兩條對角線將菱形分成全等三角形的對數(shù)為 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】填空【難度】2星【關(guān)鍵詞】【解析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可知：共有對【答案】【例2】 在平面上，一個(gè)

4、菱形繞它的中心旋轉(zhuǎn)，使它和原來的菱形重合，那么旋轉(zhuǎn)的角度至少是 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】填空【難度】2星【關(guān)鍵詞】【解析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可知：應(yīng)當(dāng)旋轉(zhuǎn)至少【答案】【例3】 如圖2，一活動(dòng)菱形衣架中，菱形的邊長均為若墻上釘子間的距離，則 度【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】填空【難度】2星【關(guān)鍵詞】2009年，江西中考【解析】由題意可知：構(gòu)成三角形為等邊三角形【答案】【例4】 如圖，在菱形中，、分別是、的中點(diǎn)，若，則菱形的邊長是_EFDBCA【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】填空【難度】2星【關(guān)鍵詞】2009年，漳州中考【解析】省略【答案】【例5】 如圖，是菱形的邊的中點(diǎn)，于，交的延長線于，

5、交于，證明：與互相平分【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】連接、菱形中，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是平行四邊形與互相平分【例6】 如圖1所示，菱形中，對角線、相交于點(diǎn)，為邊中點(diǎn)，菱形的周長為，則的長等于 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】填空【難度】2星【關(guān)鍵詞】2009年，本溪中考【解析】省略【答案】【例7】 如圖，已知菱形的對角線于點(diǎn)，則的長為 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】填空【難度】2星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】【例8】 菱形周長為，一條對角線長為，則其面積為 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】填空【難度】2星【關(guān)

6、鍵詞】【解析】菱形的邊長為，由勾股數(shù)和菱形對角線的性質(zhì)得另一對角線長為，故面積為【答案】【例9】 菱形的周長為，兩鄰角度數(shù)之比為，則菱形較短的對角線的長度為 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】填空【難度】2星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】【例10】 如圖2，在菱形中，則菱形的邊長為（ ）A B C D【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】選擇【難度】2星【關(guān)鍵詞】2009年，重慶江津中考【解析】由菱形的對角線互相垂直平分及勾股數(shù)可知選A【答案】A【例11】 如圖3，在菱形中，、分別是邊和的中點(diǎn)，于點(diǎn)，則（ ）A B C D 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】選擇【難度】2星【關(guān)鍵詞】2009年，杭州市中

7、考【解析】省略【答案】D【例12】 如圖，把一個(gè)長方形的紙片對折兩次，然后剪下一個(gè)角，為了得到一個(gè)銳角為的菱形，剪口與折痕所成的角的度數(shù)應(yīng)為（ ）A或 B或 C或 D或【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】選擇【難度】2星【關(guān)鍵詞】2009年，綿陽市中考【解析】省略【答案】D【例13】 菱形中，、分別是、的中點(diǎn)，且，那么等于 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】填空【難度】2星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】【例14】 已知菱形的一個(gè)內(nèi)角為，一條對角線的長為，則另一條對角線的長為_【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】填空【難度】2星【關(guān)鍵詞】2009年，遼寧朝陽中考【解析】省略【答案】或【例15】 如圖，將一

8、個(gè)長為，寬為的矩形紙片對折兩次后，沿所得矩形兩鄰邊中點(diǎn)的連線（虛線）剪下，再打開，得到的菱形的面積為（ ）A B CD【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】選擇【難度】3星【關(guān)鍵詞】2009年，南寧市中考【解析】省略【答案】A【例16】 已知菱形的兩條對角線的乘積等于菱形的一條邊長的平方，則菱形的一個(gè)鈍角的大小是 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】填空【難度】4星【關(guān)鍵詞】希望杯邀請賽【解析】如圖，過點(diǎn)作于，則，又，得，【答案】【例17】 如圖，菱形花壇的周長為，沿著菱形的對角線修建了兩條小路和，求兩條小路的長和花壇的面積【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】 四邊形是菱形

9、和都是等邊三角形又在和中可得點(diǎn)評：內(nèi)角為和的菱形學(xué)生必須掌握，這是考試的熱點(diǎn)模型【答案】見解析【例18】 如圖，在菱形中，在上，點(diǎn)在上，則的最小值為 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】填空【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】關(guān)于對稱，連交于，且為最小值【答案】【例19】 已知，菱形中，、分別是、上的點(diǎn)，若，求的度數(shù)【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】解答【難度】4星【關(guān)鍵詞】【解析】 同理四邊形是菱形， ，是等邊三角形，設(shè)則， 【答案】【例20】 已知，菱形中，、分別是、上的點(diǎn)，且，求：的度數(shù)【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】解答【難度】4星【關(guān)鍵詞】【解析】連接，四邊形為菱形和為等邊三角形 為等邊三角形分

10、析：在矩形、菱形的定理題中，有時(shí)也常連對角線，把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題【答案】板塊二、菱形的判定【例21】 如圖，如果要使平行四邊形成為一個(gè)菱形，需要添加一個(gè)條件，那么你添加的條件是 【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】填空【難度】2星【關(guān)鍵詞】2007年，四川成都【解析】等；【答案】【例22】 如圖，在中，平分，的中垂線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：四邊形是菱形【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】是的中垂線 ，所以 同理 所以四邊形是菱形【例23】 如圖，在中，是的中點(diǎn)，連結(jié)，在的延長線上取一點(diǎn)，連結(jié)，當(dāng)與滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形是菱形？并說明理由【考點(diǎn)】

11、菱形的性質(zhì)及判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】2009年，婁底中考 【解析】當(dāng)（或或）時(shí)，四邊形是菱形理由如下：， 又點(diǎn)為中點(diǎn)， 四邊形為平行四形邊 四邊形為菱形【答案】見解析【例24】 已知：如圖，平行四邊形的對角線的垂直平分線與邊、分別相交于 、.求證：四邊形是菱形.【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】2006年，鹽城中考 【解析】省略【答案】垂直平分，.又平行四邊形，.四邊形是平行四邊形.又由可知，四邊形是菱形.【例25】 如圖，在梯形紙片中，將紙片沿過點(diǎn) 的直線折疊，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)，連結(jié).求證：四邊形是菱形【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】解答【難

12、度】3星【關(guān)鍵詞】2007年，云南雙柏【解析】省略【答案】根據(jù)題意可知 則.， .， .，四邊形為菱形. 【例26】 如圖，是菱形的邊的中點(diǎn)，于，交的延長線于，交于，證明：與互相平分【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】連結(jié)，因?yàn)榱庑沃?，又因?yàn)?，所以因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅?，可得，因?yàn)?，所以，從而，因此四邊形是平行四邊形，所以與互相平分 【例27】 已知：如圖，在平行四邊形中，是邊上的高，將沿方向平移，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，得若，當(dāng)與滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形是菱形？證明你的結(jié)論【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞

13、】2009年，山東青島市【解析】省略【答案】當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形，四邊形是平行四邊形中，四邊形是菱形 【例28】 如圖，在中，是的中點(diǎn)分別作于，于，于，于相交于點(diǎn)求證：四邊形是菱形【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】，同理，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形【例29】 如圖，中，是的平分線，交于，是邊上的高，交于，于，求證：四邊形是菱形【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】，平分，平分，又，故四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形【例30】 如圖，是矩形內(nèi)的任意一點(diǎn)，將沿方向平移，使與重合，點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)的位置畫出平移后的三角

14、形；連結(jié)，試說明四邊形的對角線互相垂直，且長度分別等于的長；當(dāng)在矩形內(nèi)的什么位置時(shí)，在上述變換下，四邊形是菱形？為什么？【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】如圖，就是所要作的三角形 因?yàn)槠揭频剑郧?，四邊形是平行四邊形，所?，矩形中，所以，又因?yàn)椋运倪呅蔚膶蔷€互相垂直，且長度分別等于的長 當(dāng)點(diǎn)是的交點(diǎn)時(shí)，四邊形是菱形，理由：如圖，矩形中， ，又因?yàn)椋傻茫?四邊形是菱形【例31】 如圖，、均為直線同側(cè)的等邊三角形已知 順次連結(jié)、四點(diǎn)所構(gòu)成的圖形有哪幾類？直接寫出構(gòu)成圖形的類型和相應(yīng)的條件 當(dāng)為 度時(shí)，四邊形為正方形【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定

15、【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】2008年，佛山市中考改編【解析】省略【答案】 構(gòu)成的圖形有兩類，一類是菱形，一類是線段 當(dāng)圖形為菱形時(shí)， BAC60°（或A與F不重合、ABC不為正三角形）（若寫出圖形為平行四邊形時(shí)，不給分）當(dāng)圖形為線段時(shí)，BAC = 60°（或A與F重合、ABC為正三角形） 三、與菱形相關(guān)的幾何綜合題【例32】 已知等腰中，平分交于點(diǎn)，在線段上任取一點(diǎn)（點(diǎn)除外），過點(diǎn)作，分別交、于、點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，連結(jié).求證四邊形為菱形當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，菱形的面積為四邊形面積的一半？【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】四邊形為平行

16、四邊形，平分四邊形為菱形當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，四邊形為菱形， 又四邊形為平行四邊形【例33】 問題：如圖1，在菱形和菱形中，點(diǎn)在同一條直線上，是線段的中點(diǎn)，連結(jié)若，探究與的位置關(guān)系及的值小聰同學(xué)的思路是：延長交于點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決請你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題： 寫出上面問題中線段與的位置關(guān)系及的值； 將圖1中的菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形的對角線恰好與菱形的邊在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）你在中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明 若圖1中，將菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問題中的其他條件不變，求的值（用含的式子表示）【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)

17、及判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)【題型】解答【難度】5星【關(guān)鍵詞】2008年，北京中考【解析】省略【答案】 線段與的位置關(guān)系是； 猜想：中的結(jié)論沒有發(fā)生變化證明：如圖，延長交于點(diǎn)，連結(jié)是線段的中點(diǎn)， 由題意可知又， ，四邊形是菱形，由，且菱形的對角線恰好與菱形的邊在同一條直線上，可得 四邊形是菱形，即， 證明過程略【點(diǎn)評】 本題是一道探究性的幾何綜合題，本題的題干是以閱讀材料的形式呈現(xiàn)，從而降低了題目的難度，本題應(yīng)該是在05年大連中考壓軸題的基礎(chǔ)上改進(jìn)而來的四、中位線與平行四邊形【例34】 順次連結(jié)面積為的矩形四邊中點(diǎn)得到一個(gè)四邊形，再順次連結(jié)新四邊形四邊中點(diǎn)得到一個(gè) ，其面積為 【

18、考點(diǎn)】三角形的中位線【題型】填空【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】理由：由中位線得即可【答案】【例35】 如圖，在四邊形中，、分別是、的中點(diǎn)，要使四邊形是菱形，四邊形還滿足的一個(gè)條件是 ，并說明理由【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定，三角形的中位線【題型】填空【難度】3星【關(guān)鍵詞】2009年，上海模擬【解析】理由：由中位線得即可【答案】【例36】 在四邊形中，分別是、的中點(diǎn)，分別是對角線，中點(diǎn)，證明：與互相垂直【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定，三角形的中位線【題型】解答【難度】4星【關(guān)鍵詞】【解析】連接,證明為菱形【答案】見解析【例37】 四邊形中，、分別是、上的點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在上從向移動(dòng)而點(diǎn)不動(dòng)時(shí)，那

19、么下列結(jié)論成立的是 （ ） A線段的長逐漸增大 B線段的長逐漸減小 C線段的長不變 D線段的長與點(diǎn)的位置有關(guān)【考點(diǎn)】三角形的中位線【題型】選擇【難度】4星【關(guān)鍵詞】【解析】連結(jié)，利用三角形的中位線可得與點(diǎn)無關(guān)【答案】C【例38】 如圖，中，是的平分線，于，為的中點(diǎn)，則的長為 【考點(diǎn)】三角形的中位線【題型】填空【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】延長交于點(diǎn)利用中位線的性質(zhì)和直角三角形斜邊中線可得【答案】【例39】 如圖，四邊形中，分別是的中點(diǎn)，連結(jié)并延長，分別交的延長線于點(diǎn)，求證：【考點(diǎn)】三角形的中位線【題型】解答【難度】4星【關(guān)鍵詞】【解析】省略【答案】連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，由條件易得分別是的中位線，

20、所以，且，因?yàn)椋?，所以，由可得：，同理可得，所以【?0】 如圖，已知、分別為中、的平分線，于，于，求證：【考點(diǎn)】三角形的中位線【題型】解答【難度】4星【關(guān)鍵詞】【解析】延長、交于點(diǎn)、由等腰三角形三線合一可得、再由三角形中位線可得【答案】見解析【例41】 如圖，四邊形中，分別是邊的中點(diǎn)，則和的關(guān)系是（ ）A BC D【考點(diǎn)】三角形的中位線【題型】選擇【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，由三角形的中位線可知選B【答案】B【例42】 已知如圖所示，、分別是四邊形的四邊的中點(diǎn)，求證：四邊形是平行四邊形【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】

21、【解析】連接、分別為、中點(diǎn)，又、分別為、中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形【答案】見解析【例43】 如圖，在四邊形中，為上一點(diǎn)，和都是等邊三角形，、的中點(diǎn)分別為、，證明四邊形為平行四邊形且【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線【題型】解答【難度】4星【關(guān)鍵詞】2009年，蘭州中考【解析】如圖，連結(jié)、為的中位線且 同理且且 四邊形為平行四邊形在和中，,即.【答案】見解析【例44】 如圖，四邊形中，分別是的中點(diǎn)，求證：相互垂直平分【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)及判定，三角形的中位線【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】連結(jié)，根據(jù)題意，分別是的中位線，所以，同理可證：，因?yàn)?，所以，則四邊形是菱形，所以相互垂直

22、【答案】見解析【例45】 的三條中線分別為、，為邊外一點(diǎn)，且為平行四邊形，求證：【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線【題型】解答【難度】4星【關(guān)鍵詞】【解析】此題解法很多，僅供兩種解法參考方法一：連結(jié)、（如圖1）四邊形為平行四邊形且由中位線可得四邊形為平行四邊形且四邊形為平行四邊形方法二：連結(jié)（如圖2）通過中位線和平行四邊的性質(zhì)可得，又顯然【答案】見解析【例46】 在平行四邊形的對角線上取一點(diǎn)，使，連接并延長與的延長線交于，則【考點(diǎn)】三角形的中位線【題型】解答【難度】5星【關(guān)鍵詞】【解析】法1：如圖2，取之中點(diǎn)，由引交于，再由引交于，則為的中點(diǎn)，又，即、是的三等分點(diǎn)，、是的三等分點(diǎn)，

23、有而，法2：如圖3，連接交于，則為、的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接交于，則為、的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，則 ，又，由此可得，即，法3：如圖1，即又，即【答案】見解析【例47】 如圖，中，、分別是、的中點(diǎn)，、是的三等分點(diǎn)，連結(jié)并延長、交于點(diǎn)求證：四邊形是平行四邊形 【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線【題型】解答【難度】4星【關(guān)鍵詞】【解析】連接、，設(shè)與相交與點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，同理四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形【答案】見解析【例48】 如圖，在四邊形中，、分別為、的中點(diǎn)，和相交于點(diǎn)，分別與、相交于、，求證：【考點(diǎn)】三角形的中位線【題型】解答【難度】3星【關(guān)鍵詞】【解析】取中點(diǎn)，連結(jié)、利用中位線可得，【答案】見解析【例49】 如圖，線段相交于點(diǎn)，且，連結(jié)，分別是的中點(diǎn)，分別交于，求證：【考點(diǎn)】三角形的中位線【題型】解答【難度】4星【關(guān)鍵詞】【解析】連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，由條件易得分別是的中位線，所以，且，因?yàn)椋?，所以，由可得，同理可得，所以，所以【答案】見解析【?0】 如圖，梯形中，對角線相交