劉克忠-九章數(shù)學(xué)中的等差數(shù)列等比數(shù)列

1、無(wú)九章算術(shù)中的等差、等比數(shù)列陜西省榆林市橫山區(qū)橫山中學(xué)劉克忠2016 年 9 月 26 日，教育部考試中心下發(fā)關(guān)于 2017 年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知 ，公布了 2017 年各學(xué)科高考大綱的主要修訂內(nèi)容.在能力要求內(nèi)涵方面，增加了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的要求，特別增加了數(shù)學(xué)文化的要求.提起數(shù)學(xué)文化，首先想到的就是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化.中國(guó)古代數(shù)學(xué)取得了極其輝煌的成就， 九章算術(shù)是代表作.九章算術(shù)系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就.全書(shū)采用問(wèn)題集的形式，收有 246 個(gè)與生產(chǎn)、生活實(shí)踐有聯(lián)系的應(yīng)用問(wèn)題，其中每道題有問(wèn)(題目)、答(答案)、術(shù)(解題的步驟，但沒(méi)有證明)，有的是一題一術(shù)

2、，有的是多題一術(shù)或一題多術(shù)。它的出現(xiàn)，標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成.數(shù)列是九章算術(shù)的一個(gè)重要研究?jī)?nèi)容.在衰分、均輸、盈不足中共有 6個(gè)等差數(shù)列問(wèn)題，4 個(gè)等比數(shù)列問(wèn)題，現(xiàn)將這 10 個(gè)問(wèn)題整理如下，供參考.1.等差數(shù)列【例 1】今有大夫、不更、簪裊、上造、公士，凡五人，共獵得五鹿.欲以爵次分之，問(wèn)各得幾何？ （第三章衰分1）【譯文】現(xiàn)有大夫、不更、簪裊、上造、公士等五個(gè)不同爵次的官員，共獵得五只鹿，要按爵次高低分配，問(wèn)各得多少鹿？【注釋】爵次：爵名的次序，按漢書(shū)百官公卿表 ： “爵一級(jí)曰公士，二上造，三簪裊，四不更，五大夫，二十徹侯.皆秦制”.“衰分”：比例分配問(wèn)題.【解析】由題設(shè)條件知，五人

3、所得鹿數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列.設(shè)公士得鹿數(shù)為a，則上造、簪裊、不更、大夫所得鹿數(shù)依次為2a、3a、4a、5a，于是，23455aaaaa，解得13a .所以，五人所得鹿數(shù)分別為：大夫53只、不更43只、簪裊1只、上造23只、公士13只.【例 2】今有稟粟，大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，一十五斗.今有大夫一人后來(lái)，亦當(dāng)稟五斗.倉(cāng)無(wú)粟，欲以衰出之，問(wèn)各幾何？（第三章衰分6）【譯文】現(xiàn)要給大夫、不更、簪裊、上造、公士等五個(gè)不同爵次的官員，按照一定比例分配粟，共 15 斗，后又來(lái)了一位大夫，也應(yīng)該發(fā)給 5 斗粟，但倉(cāng)中沒(méi)有粟，需要從前面 5 人中按比例拿出一部分給后來(lái)的大夫，問(wèn)前面 5 人各出多少粟？

4、【解析】由例 1 知，原來(lái) 5 人中，公士、上造、簪裊、不更、大夫所得粟數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，記為 na，且首項(xiàng)1a，公差1da，則1234515aaaaa，無(wú)所以11a ，22a ，33a ，44a ，55a .現(xiàn)需要將 15 斗粟從新分配，按照公士、上造、簪裊、不更、大夫、新大夫的順序，則這 6 人分配數(shù)依次為1b，2b，3b，4b，5b，6b，前 5 項(xiàng)仍然構(gòu)成等差數(shù)列，公差1db且56bb，于是123bbb45615bbb，解得134b .所以公士、上造、簪裊、不更、大夫所出粟數(shù)依次為1114ab，222142ab，3334ab，4434ab，4414ab，5554ab.【例 3】今有金棰，

5、長(zhǎng)五尺.斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤.問(wèn)次一尺各重幾何？（第六章均輸17）【譯文】今有金杖 5 尺.截本端一尺，重 4 斤；截末端一尺，重 2 斤. 問(wèn)依次每尺各重多少？【注釋】“均輸”：合理攤派賦稅；用衰分術(shù)解決賦役的合理負(fù)擔(dān)問(wèn)題.今有術(shù)、衰分術(shù)及其應(yīng)用方法，構(gòu)成了包括今天正、反比例、比例分配、復(fù)比例、連鎖比例在內(nèi)的整套比例理論.西方直到 15 世紀(jì)末以后才形成類似的全套方法.本題采用“錐形衰”.李籍九章算術(shù)音義 ： “下多上少，如立錐之形也”即是以 5、4、3、2、1 為列衰.【解析】 由題設(shè)條件知， 自上而下各段重量構(gòu)成等差數(shù)列， 記 na， 首項(xiàng)12a ，第 5 項(xiàng)54a ， 項(xiàng)

6、數(shù)5n ， 設(shè)公差為d， 由等差數(shù)列性質(zhì)知，514aad，12d ，因此，252a ，33a ，472a .所以，從上到下，依次每尺重為：2斤、52斤、3斤，72斤，4斤.【例 4】今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等.問(wèn)各得幾何？（第六章均輸19）【譯文】現(xiàn)有 5 人分 5 錢，要使上面 2 人所得的與下面 3 人所得的相等，問(wèn)各得的多少錢？【解析】本題采用“錐形衰” 求解，按等差數(shù)列解題.自上而下的 5 人所得錢數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列， 其中得錢較多的 2 人的得錢數(shù)的和與得錢較少的 3 人的得錢數(shù)的和相等，設(shè) 5 人得錢數(shù)依次為1a，2a，3a，4a，5a，公差為d，則有123455aaaaa

7、，12345aaaaa，解得134a ，16d ，于是276a ，31a ，456a ，523a .【例 5】今有竹九節(jié)，下三節(jié)容四升，上四節(jié)容三升.問(wèn)中間二節(jié)欲均容各多無(wú)少？（第六章均輸19）【譯文】現(xiàn)有一根 9 節(jié)的竹子，下面 3 節(jié)的容積共 4 升，上面 4 節(jié)的容積共3 升.問(wèn)使中間兩節(jié)也均勻變化，每節(jié)容積是多少？【解析】本題采用“錐形衰”求解，由題設(shè)條件知，自上而下各節(jié)容積構(gòu)成等差數(shù)列，記 na，其中最上面的 4 節(jié)的容積與最下面的 3 節(jié)的容積相等.設(shè)第一節(jié)容積為1a，公差為d則12343aaaa，7894aaa，解得11322a ，766d ，因此，246236633a ，353

8、66a ，460106611a ，56766a ，674376633a ，781276622a ，8884663a ，99566a .【例 6】今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安至齊.齊去長(zhǎng)安三千里.良馬初日行一百九十三里，日增十三里.駑馬初日行九十七里，日減半里.良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬.問(wèn)幾何日相逢及各行幾何？（第七章盈不足20）【譯文】 現(xiàn)有良馬與駑馬從長(zhǎng)安出發(fā)到齊國(guó).齊過(guò)與長(zhǎng)安相距 3000 里.良馬第一天走 193 里，以后每天增加 13 里.駑馬第一天走 97 里，以后每天減少12里.良馬先到齊國(guó)，再返回迎接駑馬.問(wèn)良馬、駑馬經(jīng)過(guò)多少天相逢，各自走了多少路？【注釋】“盈不足”：即雙設(shè)法問(wèn)題；提出了

9、盈不足、盈適足和不足適足、兩盈和兩不足三種類型的盈虧問(wèn)題， 以及若干可以通過(guò)兩次假設(shè)化為盈不足問(wèn)題的一般問(wèn)題的解法.這也是處于世界領(lǐng)先地位的成果，傳到西方后，影響極大.【解析】 由題設(shè)條件知， 良馬每天走的路程構(gòu)成等差數(shù)列 na， 首項(xiàng)為1193a 公差為13d ，前n項(xiàng)和為nS；駑馬每天走的路程構(gòu)成等差數(shù)列 nb，首項(xiàng)為197b ，公差為12m ，前n項(xiàng)和為nT；設(shè)經(jīng)過(guò)n天相遇，則6000nnST.即(1)(1)11931397()3000 2222n nn nnn ，化簡(jiǎn)2522748000nn.22714752915.7110n.良馬走了大約 4533.95 里，駑馬走了大約 1466.

10、05里.2.等比數(shù)列【例 1】今有牛、馬、羊食人苗.苗主責(zé)之粟五斗.羊主曰： “我羊食半馬.” 馬主曰： “我馬食半牛.”今欲衰償之，問(wèn)各出幾何？（第三章衰分2）【譯文】今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償 5 斗粟.羊主人說(shuō)： “我的羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說(shuō)： “我的馬所吃的禾苗只有牛的一半.”現(xiàn)打算按這樣的比例償還，牛、馬、羊的主人各應(yīng)賠償多少粟？無(wú)【解析】由題設(shè)條件知，羊、馬、牛的主人各賠償粟數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列.設(shè)羊主人賠償a斗，則馬主人賠償2a斗，牛主人賠償4a，于是245aaa，57a ，所以，牛主人賠償207斗，馬主人賠償107斗，主人賠償57斗.【例 2】今有女

11、子善織，日自倍，五日織五尺.問(wèn)日織幾何？（第三章衰分4）【譯文】今有一女子很會(huì)織布，每天加倍增長(zhǎng)，5 天共織布 5 尺，問(wèn)每天各織多少布？【解析】由題設(shè)條件知，該女子從第二天起，每天織布數(shù)是前一天的 2 倍，根據(jù)等比數(shù)列的定義， 每天織布數(shù)構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列.設(shè)第一天織布數(shù)為x尺，則248165xxxxx，531x .所以，第一天織布數(shù)為531尺，第二天織布數(shù)為1031尺， 第三天織布數(shù)為1531尺， 第四天織布數(shù)為2031尺， 第五天織布數(shù)為2031尺.【例 3】 今有蒲生一日， 長(zhǎng)三尺.莞生一日， 長(zhǎng)一尺.蒲生日自半.莞生日自倍.問(wèn)幾何日而長(zhǎng)等？（第七章盈不足11）【譯文】現(xiàn)有蒲生長(zhǎng)

12、1 天，長(zhǎng)為 3 尺；莞生長(zhǎng) 1 天，長(zhǎng)為 1 尺.蒲的生長(zhǎng)長(zhǎng)度為前一天的一半，莞的生長(zhǎng)長(zhǎng)度為前一天的 2 倍，問(wèn)幾天后蒲、莞長(zhǎng)度相等？【解析】由題設(shè)條件知，蒲的生長(zhǎng)長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列 na，首項(xiàng)為13a ，公比為12q ，前n項(xiàng)和為nS；莞的生長(zhǎng)長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列 nb，首項(xiàng)為11b ，公比為2p ，前n項(xiàng)和為nT；設(shè)n天后長(zhǎng)度相等，nnST，即13 1 ( ) )1 2211 212nn（，解得2log 6n .【例 4】今有垣厚五尺，兩鼠對(duì)穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.問(wèn)幾何日相逢？各穿幾何？（第七章盈不足12）【譯文】今有墻厚五尺，兩鼠相對(duì)挖墻.大鼠第一天挖 1 尺，小鼠第一天也挖1 尺.大鼠挖墻逐天增加 1 倍，小鼠挖墻逐天減為一半.問(wèn)大鼠、小鼠幾天相遇？各挖墻多少？【解析】由題設(shè)條件知，大鼠挖墻長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列 na，