第6章參數(shù)估計(jì)1

1、第6章 參數(shù)估計(jì)1，設(shè)總體未知，是來自的樣本。求的矩估計(jì)量。今測得一個(gè)樣本值0.5，0.6，0.1，1.3，0.9，1.6，0.7，0.9，1.0，求的矩估計(jì)值。解：因?yàn)榭傮w，所以總體矩。根據(jù)容量為9的樣本得到的樣本矩。令總體矩等于相應(yīng)的樣本矩：，得到的矩估計(jì)量為。把樣本值代入得到的矩估計(jì)值為。2，設(shè)總體具有概率密度，參數(shù)未知，是來自的樣本，求的矩估計(jì)量。解：總體的數(shù)學(xué)期望為，令可得的矩估計(jì)量為。3，設(shè)總體參數(shù)未知，是來自的樣本，求的矩估計(jì)量（對于具體樣本值，若求得的不是整數(shù)，則取與最接近的整數(shù)作為的估計(jì)值）。解：總體的數(shù)學(xué)期望為， 二階原點(diǎn)矩為。令總體矩等于相應(yīng)的樣本矩：，得到，。4，（1）

2、設(shè)總體未知，是來自的樣本，是相應(yīng)的樣本值。求的矩估計(jì)量，求的最大似然估計(jì)值。（2）元素碳-14在半分鐘內(nèi)放射出到達(dá)計(jì)數(shù)器的粒子數(shù)，下面是的一個(gè)樣本：6 4 9 6 10 11 6 3 7 10求的最大似然估計(jì)值。解：（1）因?yàn)榭傮w的數(shù)學(xué)期望為，所以矩估計(jì)量為。似然函數(shù)為，相應(yīng)的對數(shù)似然函數(shù)為。令對數(shù)似然函數(shù)對的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，的最大似然估計(jì)值為。5，（1）設(shè)服從參數(shù)為的幾何分布，其分布律為。參數(shù)未知。設(shè)是一個(gè)樣本值，求的最大似然估計(jì)值。（2）一個(gè)運(yùn)動(dòng)員，投籃的命中率為，以表示他投籃直至投中為止所需的次數(shù)。他共投籃5次得到的觀察值為5 1 7 4 9

3、求的最大似然估計(jì)值。解：（1）似然函數(shù)為 ，相應(yīng)的對數(shù)似然函數(shù)為。令對數(shù)似然函數(shù)對的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，的最大似然估計(jì)值為。6，（1）設(shè)總體，參數(shù)已知，未知，是來自一個(gè)樣本值。求的最大似然估計(jì)值。（2）設(shè)總體，參數(shù)已知，（>0）未知，為一相應(yīng)的樣本值。求的最大似然估計(jì)值。解：（1）似然函數(shù)為 ，相應(yīng)的對數(shù)似然函數(shù)為。令對數(shù)似然函數(shù)對的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。（2）似然函數(shù)為 ，相應(yīng)的對數(shù)似然函數(shù)為。令對數(shù)似然函數(shù)對的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。7，設(shè)是總體的一個(gè)樣本，為一相應(yīng)的樣本值。（1） 總體的概率密度函數(shù)為，求參數(shù)的

4、最大似然估計(jì)量和估計(jì)值。（2） 總體的概率密度函數(shù)為，求參數(shù)的最大似然估計(jì)值。（3） 設(shè)已知，未知，求的最大似然估計(jì)值。解：（1）似然函數(shù)為 ，相應(yīng)的對數(shù)似然函數(shù)為。令對數(shù)似然函數(shù)對的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。相應(yīng)的最大似然估計(jì)量為。（2）似然函數(shù)為 ，相應(yīng)的對數(shù)似然函數(shù)為。令對數(shù)似然函數(shù)對的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。（3）因?yàn)槠浞植悸蔀樗裕迫缓瘮?shù)為 ，相應(yīng)的對數(shù)似然函數(shù)為。令對數(shù)似然函數(shù)對的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。8，設(shè)總體具有分布律1 2 3其中參數(shù)未知。已知取得樣本值，試求的最大似然估計(jì)值。解：根據(jù)題意，可寫出似然函數(shù)為，相應(yīng)的對數(shù)似然函數(shù)為。令

5、對數(shù)似然函數(shù)對的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為。9，設(shè)總體，未知，已知，和分別是總體和的樣本，設(shè)兩樣本獨(dú)立。試求最大似然估計(jì)量。解：根據(jù)題意，寫出對應(yīng)于總體和的似然函數(shù)分別為 ，相應(yīng)的對數(shù)似然函數(shù)為，令對數(shù)似然函數(shù)分別對和的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到，算出最大似然估計(jì)量分別為，。10，（1）驗(yàn)證均勻分布中的未知參數(shù)的矩估計(jì)量是無偏估計(jì)量。（2）設(shè)某種小型計(jì)算機(jī)一星期中的故障次數(shù)，設(shè)是來自總體的樣本。驗(yàn)證是的無偏估計(jì)量。設(shè)一星期中故障維修費(fèi)用為，求。（3）驗(yàn)證是的無偏估計(jì)量。解：（1）均勻分布中的未知參數(shù)的矩估計(jì)量為。由于，所以是的無偏估計(jì)量。（2）因?yàn)?，所以是的無偏估計(jì)量。（3）因?yàn)?，所以，是?/p>

6、無偏估計(jì)量。11，已知是來自均值為的指數(shù)分布總體的樣本，其中未知。設(shè)有估計(jì)量，。 （1） 指出中哪幾個(gè)是的無偏估計(jì)量。（2） 在上述的無偏估計(jì)量中哪一個(gè)較為有效？解：（1）因?yàn)?，。所以，是的無偏估計(jì)量。（2）根據(jù)簡單隨機(jī)樣本的獨(dú)立同分布性質(zhì)，可以計(jì)算出，所以，是比更有效的無偏估計(jì)量。12，以X表示某一工廠制造的某種器件的壽命（以小時(shí)計(jì)），設(shè)，今取得一容量為的樣本，測得其樣本均值為，求（1）的置信水平為0.95的置信區(qū)間，（2）的置信水平為0.90的置信區(qū)間。解：這是一個(gè)方差已知的正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)問題。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)論，的置信水平為的置信區(qū)間為。（1）的置信水平為0.95的置信區(qū)間為。（2）

7、的置信水平為0.90的置信區(qū)間為。13，以X表示某種小包裝糖果的重量（以g計(jì)），設(shè)，今取得樣本（容量為）：55.95, 56.54, 57.58, 55.13, 57.48, 56.06, 59.93, 58.30, 52.57, 58.46（1） 求的最大似然估計(jì)值。（2） 求的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：（1）根據(jù)已知結(jié)論，正態(tài)分布均值的最大似然估計(jì)量和矩估計(jì)量相同：。所以的最大似然估計(jì)值為。（2）的置信水平為0.95的置信區(qū)間為。14，一農(nóng)場種植生產(chǎn)果凍的葡萄，以下數(shù)據(jù)是從30車葡萄中采樣測得的糖含量（以某種單位計(jì)）16.0, 15.2, 12.0, 16.9, 14.4, 16.

8、3, 15.6, 12.9, 15.3, 15.115.8, 15.5, 12.5, 14.5, 14.9, 15.1, 16.0, 12.5, 14.3, 15.415.4, 13.0, 12.6, 14.9, 15.1, 15.3, 12.4, 17.2, 14.7, 14.8設(shè)樣本來自正態(tài)總體，均未知。（1） 求的無偏估計(jì)值。（2） 求的置信水平為90%的置信區(qū)間。解：（1）的無偏估計(jì)值為， 。（2）的置信水平為90%的置信區(qū)間為15，一油漆商希望知道某種新的內(nèi)墻油漆的干燥時(shí)間。在面積相同的12塊內(nèi)墻上做試驗(yàn)，記錄干燥時(shí)間（以分計(jì)），得樣本均值分，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分。設(shè)樣本來自正態(tài)總體，均未知

9、。求干燥時(shí)間的數(shù)學(xué)期望的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：這是一個(gè)方差未知的正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)問題。根據(jù)已知結(jié)論，干燥時(shí)間的數(shù)學(xué)期望的置信水平為0.95的置信區(qū)間為。16，Macatawa湖（位于密歇根湖的東側(cè)）分為東、西兩個(gè)區(qū)域。下面的數(shù)據(jù)是取自西區(qū)的水的樣本，測得其中的鈉含量（以ppm計(jì)）如下：13.0, 18.5, 16.4, 14.8, 19.4, 17.3, 23.2, 24.9, 20.8, 19.3, 18.8, 23.1, 15.2, 19.9, 19.1, 18.1, 25.1, 16.8, 20.4, 17.4, 25.2, 23.1, 15.3, 19.4, 16.0

10、, 21.7, 15.2, 21.3, 21.5, 16.8, 15.6, 17.6設(shè)樣本來自正態(tài)總體，均未知。求的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：根據(jù)題中數(shù)據(jù)，計(jì)算可得樣本均值，樣本方差。的置信水平為0.95的置信區(qū)間為17，設(shè)X是春天捕到的某種魚的長度（以cm計(jì)），設(shè)，均未知。下面是X的一個(gè)容量為13的樣本：13.1, 5.1, 18.0, 8.7, 16.5, 9.8, 6.8, 12.0, 17.8, 25.4, 19.2, 15.8, 23.0（1） 求的無偏估計(jì)；（2） 求的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：根據(jù)題中數(shù)據(jù)計(jì)算可得。（1） 方差的無偏估計(jì)即為樣本方差。（2） 的置信

11、水平為0.95的置信區(qū)間為，所以的置信水平為0.95的置信區(qū)間為。18，為比較兩個(gè)學(xué)校同一年級學(xué)生數(shù)學(xué)課程的成績，隨機(jī)地抽取學(xué)校A的9個(gè)學(xué)生，得分?jǐn)?shù)的平均值為，方差為；隨機(jī)地抽取學(xué)校B的15個(gè)學(xué)生，得分?jǐn)?shù)的平均值為，方差為。設(shè)樣本均來自正態(tài)總體且方差相等，參數(shù)均未知，兩樣本獨(dú)立。求均值差的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：根據(jù)兩個(gè)正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)論，均值差的置信水平為0.95的置信區(qū)間為19，設(shè)以X,Y分別表示有過濾嘴和無過濾嘴的香煙含煤焦油的量（以mg計(jì)），設(shè)，均未知。下面是兩個(gè)樣本X: 0.9, 1.1, 0.1, 0.7, 0.3, 0.9, 0.8, 1.0, 0.4Y

12、: 1.5, 0.9, 1.6, 0.5, 1.4, 1.9, 1.0, 1.2, 1.3, 1.6, 2.1兩樣本獨(dú)立。求的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：根據(jù)題中數(shù)據(jù)計(jì)算可得，。（未完）根據(jù)兩個(gè)正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)論，的置信水平為0.95的置信區(qū)間為。20，設(shè)以X,Y分別表示健康人與懷疑有病的人的血液中鉻的含量（以10億份中的份數(shù)計(jì)），設(shè)，均未知。下面是分別來自X和Y的兩個(gè)獨(dú)立樣本：X: 15, 23, 12, 18, 9, 28, 11, 10Y: 25, 20, 35, 15, 40, 16, 10, 22, 18, 32求的置信水平為0.95的單側(cè)置信上限，以及的置信水平為0.95的單側(cè)置信上限。解：根據(jù)題中數(shù)據(jù)計(jì)算得到，。的置信水平為0.95的單