空間直角坐標(biāo)系

1、4.3 空間直角坐標(biāo)系重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：在空間直角坐標(biāo)系中確定點(diǎn)的坐標(biāo).教學(xué)難點(diǎn)：通過(guò)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系確定空間點(diǎn)的坐標(biāo),以及相關(guān)應(yīng)用.新知探究: 在初中,我們學(xué)過(guò)數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線.決定數(shù)軸的因素有原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度.這是數(shù)軸的三要素.數(shù)軸上的點(diǎn)可用與這個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)x來(lái)表示. 在初中,我們學(xué)過(guò)平面直角坐標(biāo)系,平面直角坐標(biāo)系是以一點(diǎn)為原點(diǎn)O,過(guò)原點(diǎn)O分別作兩條互相垂直的數(shù)軸Ox和Oy,xOy稱平面直角坐標(biāo)系,平面直角坐標(biāo)系具有以下特征：兩條數(shù)軸：互相垂直;原點(diǎn)重合;通常取向右、向上為正方向;單位長(zhǎng)度一般取相同的.平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)用它對(duì)應(yīng)的橫、縱坐標(biāo)表示,括號(hào)里

2、橫坐標(biāo)寫在縱坐標(biāo)的前面,它們是一對(duì)有序?qū)崝?shù)(x,y). 在空間,我們也可以類比平面直角坐標(biāo)系建立一個(gè)坐標(biāo)系,即空間直角坐標(biāo)系,空間中的任意一點(diǎn)也可用對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組表示出來(lái). 觀察圖2,OABCDABC是單位正方體,我們類比平面直角坐標(biāo)系的建立來(lái)建立一個(gè)坐標(biāo)系即空間直角坐標(biāo)系,以O(shè)為原點(diǎn),分別以射線OA,OC,OD的方向?yàn)檎较?以線段OA,OC,OD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度,建立三條數(shù)軸Ox,Oy,Oz稱為x軸、y軸和z軸,這時(shí)我們說(shuō)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz,其中O叫坐標(biāo)原點(diǎn),x軸、y軸和z軸叫坐標(biāo)軸.如果我們把通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面,我們又得到三個(gè)坐標(biāo)平面xOy平面,yOz平面,

3、zOx平面. 由此我們知道,確定空間直角坐標(biāo)系必須有三個(gè)要素,即原點(diǎn)、坐標(biāo)軸方向、單位長(zhǎng).圖1 圖1表示的空間直角坐標(biāo)系也可以用右手來(lái)確定.用右手握住z軸,當(dāng)右手的四個(gè)手指從x軸正向以90°的角度轉(zhuǎn)向y軸的正向時(shí),大拇指的指向就是z軸的正向.我們稱這種坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.如無(wú)特別說(shuō)明,我們課本上建立的坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系. 注意:在平面上畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí),一般使xOy=135°,yOz=90°.即用斜二測(cè)畫法畫立體圖,這里顯然要注意在y軸和z軸上的都取原來(lái)的長(zhǎng)度,而在x軸上的長(zhǎng)度取原來(lái)長(zhǎng)度的一半.同學(xué)們往往把在x軸上的長(zhǎng)度取原來(lái)的長(zhǎng)度,這就不符和

4、斜二測(cè)畫法的約定,直觀性差. 觀察圖2,建立了空間直角坐標(biāo)系以后,空間中任意一點(diǎn)M就可以用坐標(biāo)來(lái)表示了. 已知M為空間一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)M作三個(gè)平面分別垂直于x軸、y軸和z軸,它們與x軸、y軸和z軸的交點(diǎn)分別為P、Q、R,這三點(diǎn)在x軸、y軸和z軸上的坐標(biāo)分別為x,y,z.于是空間的一點(diǎn)M就唯一確定了一個(gè)有序數(shù)組x,y,z.這組數(shù)x,y,z就叫做點(diǎn)M的坐標(biāo),并依次稱x,y,z為點(diǎn)M的橫坐標(biāo).縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo).坐標(biāo)為x,y,z的點(diǎn)M通常記為M(x,y,z).圖2 反過(guò)來(lái),一個(gè)有序數(shù)組x,y,z,我們?cè)趚軸上取坐標(biāo)為x的點(diǎn)P,在y軸上取坐標(biāo)為y的點(diǎn)Q,在z軸上取坐標(biāo)為z的點(diǎn)R,然后通過(guò)P、Q與R分別作x軸、y

5、軸和z軸的垂直平面.這三個(gè)垂直平面的交點(diǎn)M即為以有序數(shù)組x,y,z為坐標(biāo)的點(diǎn).數(shù)x,y,z就叫做點(diǎn)M的坐標(biāo),并依次稱x,y和z為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo).(如圖2所示) 坐標(biāo)為x,y,z的點(diǎn)M通常記為M(x,y,z).我們通過(guò)這樣的方法在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)建立了空間的點(diǎn)M和有序數(shù)組x,y,z之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.注意：坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn),其坐標(biāo)各有一定的特征. 如果點(diǎn)M在yOz平面上,則x=0；同樣,zOx面上的點(diǎn),y=0；xOy面上的點(diǎn),z=0；如果點(diǎn)M在x軸上,則y=z=0；如果點(diǎn)M在y軸上,則x=z=0；如果點(diǎn)M在z軸上,則x=y=0；如果M是原點(diǎn),則x=y=z=0. 思路1例1 如

6、圖3,長(zhǎng)方體OABCDABC中,|OA|=3,|OC|=4,|OD|=2,寫出D,C,A,B四點(diǎn)的坐標(biāo).圖3活動(dòng)：學(xué)生閱讀題目,對(duì)照剛學(xué)的知識(shí),先思考,再討論交流,教師適時(shí)指導(dǎo),要寫出點(diǎn)的坐標(biāo),首先要確定點(diǎn)的位置,再根據(jù)各自坐標(biāo)的含義和特點(diǎn)寫出.D在z軸上,因此它的橫縱坐標(biāo)都為0,C在y軸上,因此它的橫豎坐標(biāo)都為0,A為在zOx面上的點(diǎn),y=0；B不在坐標(biāo)面上,三個(gè)坐標(biāo)都要求.解:D在z軸上,而|OD|=2,因此它的豎坐標(biāo)為2,橫縱坐標(biāo)都為0,因此D的坐標(biāo)是(0,0,2).同理C的坐標(biāo)為(0,4,0).A在xOz平面上,縱坐標(biāo)為0,A的橫坐標(biāo)就是|OA|=3,A的豎坐標(biāo)就是|OD|=2,所以A

7、的坐標(biāo)就是(3,0,2).點(diǎn)B在xOy平面上的射影是點(diǎn)B,因此它的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y同點(diǎn)B的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y相同,在xOy平面上,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)x=3,縱坐標(biāo)y=4;點(diǎn)B在z軸上的射影是點(diǎn)D,它的豎坐標(biāo)與D的豎坐標(biāo)相同,點(diǎn)D的豎坐標(biāo)z=2,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3,4,2).點(diǎn)評(píng):能準(zhǔn)確地確定空間任意一點(diǎn)的直角坐標(biāo)是利用空間直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ),一定掌握如下方法,過(guò)點(diǎn)M作三個(gè)平面分別垂直于x軸、y軸和z軸,確定x,y和z,同時(shí)掌握一些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)的表示特征.思路2例1 如圖4,已知點(diǎn)P在x軸正半軸上,|OP|=2,PP在xOz平面上,且垂直于x軸,|PP|=1,求點(diǎn)P和P的坐標(biāo). 圖4例2 如圖5,在

8、正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別是BB1和D1B1的中點(diǎn),棱長(zhǎng)為1,求E,F點(diǎn)的坐標(biāo).圖5變式訓(xùn)練1.在上題中求B1(1,1,1)點(diǎn)關(guān)于平面xoy對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo).2.在上題中求B1(1,1,1)點(diǎn)關(guān)于z軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo).3.在上題中求B1(1,1,1)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)D對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo).拓展提升1.在空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn);橫軸(x軸);縱軸(y軸);豎軸(z軸);xOy坐標(biāo)平面;yOz坐標(biāo)平面;zOx坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是什么?解:根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的點(diǎn)的對(duì)稱方法結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知:點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P1(-x,-y,-z);點(diǎn)P(x,

9、y,z)關(guān)于橫軸(x軸)的對(duì)稱點(diǎn)為P2(x,-y,-z);點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于縱軸(y軸)的對(duì)稱點(diǎn)為P3(-x,y,-z);點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于豎軸(z軸)的對(duì)稱點(diǎn)為P4(-x,-y,z);點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于xOy坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)為P5(x,y,-z);點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于yOz坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)為P6(-x,y,z);點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于zOx坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)為P7(x,-y,z).點(diǎn)評(píng):其中記憶的方法為:關(guān)于誰(shuí)誰(shuí)不變,其余的相反.如關(guān)于橫軸(x軸)的對(duì)稱點(diǎn),橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)、豎坐空間直角坐標(biāo)系 習(xí)題 第卷（選擇題，共50分）一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

10、目要求的，請(qǐng)把正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)（每小題5分，共50分）.1在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（x，y，z），給出下列4條敘述：點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，y，z）點(diǎn)P關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，y，z）點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，y，z）點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，y，z）其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）A3B2C1D02若已知A（1，1，1），B（3，3，3），則線段AB的長(zhǎng)為（ ）A4 B2C4D33已知A（1，2，3），B（3，3，m），C（0，1，0），D（2，1，1），則（ ）A> B< C D4設(shè)A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0

11、），AB的中點(diǎn)M，則（ ）ABCD5如圖，三棱錐ABCD中，AB底面BCD，BCCD，且AB=BC=1，CD=2，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，則AE的長(zhǎng)為（ ） ABCD6點(diǎn)B是點(diǎn)A（1，2，3）在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則OB等于（ ）AB C D7已知ABCD為平行四邊形，且A（4，1，3），B（2，5，1），C（3，7，5），則點(diǎn)D 的坐標(biāo)為（ ）A（，4，1）B（2，3，1） C（3，1，5） D（5，13，3）8點(diǎn)到坐標(biāo)平面的距離是（ ） AB C D 9已知點(diǎn)， 三點(diǎn)共線，那么的值分別是（ ）A，4B1，8C，4 D1，810在空間直角坐標(biāo)系中，一定點(diǎn)到三個(gè)坐標(biāo)軸的距離都是1，則該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是

12、（ ）A B C D第卷（非選擇題，共100分）二、填空題：請(qǐng)把答案填在題中橫線上（每小題6分，共24分）11如右圖，棱長(zhǎng)為3a正方體OABC，點(diǎn)M在上，且2，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直有坐標(biāo)系，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為 12如右圖，為一個(gè)正方體截下的一角PABC，建立如圖坐標(biāo)系，求ABC的重心G的坐標(biāo) _ _13若O（0，0，0），P（x，y，z），且，則表示的圖形是 _ _14已知點(diǎn)A（3，1，4），則點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ；AB的長(zhǎng)為 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟(共76分)15（12分）如圖，長(zhǎng)方體中，設(shè)E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，在給定的空間直角坐標(biāo)系Dxyz下，試寫出A，B，C，D，E，F(xiàn)各點(diǎn)的坐標(biāo)16（12分）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為正方形，且邊長(zhǎng)為2a，棱PD底面ABCD，PD=2b，取各側(cè)棱的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，寫出點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H的坐標(biāo)17（12分）如圖，已知矩形ABCD中，將矩形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使得面BCD面ABD現(xiàn)以D為原點(diǎn)，DB作為y軸