第五章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第五章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用為了更深刻研究函數(shù)的形態(tài)，本章著重研究函數(shù)的中值定理及其應(yīng)用。要研究函數(shù)在整體（區(qū)間）上的某些性質(zhì)，中值定理起了重要的作用，特別是導(dǎo)數(shù)的許多重要應(yīng)用都是建立在中值定理基礎(chǔ)之上?；緝?nèi)容：基本概念：函數(shù)之極值概念，函數(shù)的最大最小值概念及曲線的凹凸性、拐點(diǎn)、漸近線、曲率等概念?；具\(yùn)算：用羅必塔法則求函數(shù)極限、函數(shù)的泰勒展開式、求函數(shù)的極值及最值，函數(shù)圖形的描繪?；纠碚摚褐兄刀ɡ怼⒑瘮?shù)具有增減性的必要條件及判別函數(shù)增減性的充分條件，函數(shù)具有極值的必要條件及判別函數(shù)極值的充分條件，判別曲線凹性及拐點(diǎn)的定理。具體應(yīng)用：描繪函數(shù)圖形。本章重點(diǎn)：拉格朗日、柯西、泰勒中值定理，及用導(dǎo)數(shù)判

2、定函數(shù)的增減、凹性、極值等。本章難點(diǎn)：拉格朗日、柯西、泰勒中值定理證明，及描繪函數(shù)圖形和應(yīng)用問題。課標(biāo)導(dǎo)航1會(huì)敘述四個(gè)中值定理，并會(huì)證明羅爾中值定理、拉格朗日中值定理；2會(huì)用羅必塔法則求各種不定式的極限；3熟練地掌握基本初等函數(shù)的泰勒展開式（主要指五種），并利用以上公式展開一些初等函數(shù)；4會(huì)用導(dǎo)數(shù)求極值及作函數(shù)圖形（判別增減、凹性、漸近線等）；5能解決簡單的應(yīng)用問題（最大值、最小值問題）。一、知識(shí)梳理與鏈接（一）基本概念1駐點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)（或穩(wěn)定點(diǎn)、臨界點(diǎn)）。2拐點(diǎn)：曲線的凹弧與凸弧的連接點(diǎn)（或分界點(diǎn)）稱為拐點(diǎn)。3不定式：在自變量的某個(gè)變化過程中，函數(shù)的極限為、型，我們把、型

3、稱為不定式。其中常用的是、這兩種類型，至于都可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃位癁?、型?羅爾中值定理的幾何意義：函數(shù)表示的曲線在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)處的切線平行于軸。5拉格郎日中值定理的幾何意義：函數(shù)表示的曲線在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)的切線平行于曲線在閉區(qū)間兩端點(diǎn)的弦所在的直線。6曲線凹凸性的概念設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，如果對(duì)上任意兩點(diǎn)，恒有，那么稱在上的圖形是凹的（凹?。?；如果對(duì)上任意兩點(diǎn)，恒有，那么稱在上的圖形是凸的（凸?。?。7極值的概念設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)去心鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)，有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值（或極小值）；點(diǎn)稱為函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值；極大

4、值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點(diǎn)（二）定理、公式、法則、方法1中值定理【費(fèi)馬引理】設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，并且在點(diǎn)處可導(dǎo)，如果對(duì)任意的，有，那么【羅爾定理】如果函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)（3）則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得【拉格郎日中值定理】如果函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得【推論】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么在區(qū)間上是一個(gè)常數(shù)?！究挛髦兄刀ɡ怼咳绻瘮?shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上連續(xù)（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得【泰勒中值定理】如果函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有直至階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)該鄰域內(nèi)任何點(diǎn)，有泰勒公式

5、：其中：【馬克勞林公式】 2羅必塔法則設(shè)是或型，若滿足：（1）當(dāng)（或）時(shí)，均存在，且 （2）則=3取得極值的必要條件如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且在處取得極值，則4函數(shù)增減性的判定法如果，則函數(shù)在上是單調(diào)增加；如果，則函數(shù)在上是單調(diào)減少。5函數(shù)凹凸性的判定法如果，則函數(shù)在上的弧段為凹的；如果，則函數(shù)在上弧段為凸的；6函數(shù)拐點(diǎn)的判定法如果，且在點(diǎn)的左、右兩側(cè)變號(hào)，則點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。7曲線在點(diǎn)的曲率計(jì)算公式 8求函數(shù)的極值的方法【第一判別法】（1）在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)求函數(shù)的一導(dǎo)數(shù)，并求出其全部的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn)；（2）考察以上點(diǎn)左、右兩側(cè)的符號(hào)；（3）若異號(hào)，則為極值點(diǎn)。若左正、右負(fù)，為極大值點(diǎn)，為極大

6、值；若左負(fù)、右正，為極小值點(diǎn)，為極小值.【第二判別法】若函數(shù)在點(diǎn)具有二階導(dǎo)數(shù)，且， 那么，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)取得極小值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)取得極大值.【注意】時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)可能取得極值，也可能不取得極值。9求函數(shù)的最值的方法在函數(shù)的定義區(qū)間上求出其全部的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn)；計(jì)算這些點(diǎn)的函數(shù)值及；比較這些函數(shù)值的大小，哪個(gè)大就是函數(shù)的最大值，哪個(gè)小就是函數(shù)的最小值。10函數(shù)圖形描繪的方法（1）確定函數(shù)的定義域，考察其周期性、奇偶性，求出函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；（2）求與，算出、的實(shí)根及不可導(dǎo)的點(diǎn)；（3）利用上述的點(diǎn)把定義域分成若干個(gè)小區(qū)間，確定這些區(qū)間內(nèi)與的符號(hào)，從而判定函數(shù)圖形的單調(diào)性、凹凸性、極值和拐點(diǎn)；（

7、4）考察函數(shù)圖形的漸近線如果，則直線是曲線的垂直漸近線；如果，則直線是曲線的水平漸近線；如果，則直線是曲線的斜漸近線。（5）在直角坐標(biāo)系下，定出以上各點(diǎn)，畫出漸近線，依據(jù)函數(shù)的圖形的單調(diào)性、凹凸性、極值和拐點(diǎn)將點(diǎn)用光滑的曲線連接起來，即得所求函數(shù)的圖形。二、友情提醒與內(nèi)容強(qiáng)化解讀1中值定理這些中值定理使得對(duì)改變量的研究轉(zhuǎn)為對(duì)導(dǎo)數(shù)的研究，這種研究形式的轉(zhuǎn)變并不是一種無聊的游戲，它是數(shù)學(xué)學(xué)科最有力的杠桿之一。中值定理是研究函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的定理，有了中值定理才能利用導(dǎo)數(shù)全面地研究函數(shù)的各種性態(tài)，必須正確地理解四個(gè)中值定理中的條件和結(jié)論，以后才能準(zhǔn)確地應(yīng)用它們。所謂中值定理并非指一個(gè)定理，而是指

8、羅爾、拉格朗日、柯西、泰勒四個(gè)中值定理。這些定理都有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是函數(shù)在一定條件下，在給定的區(qū)間中間，至少存在著一點(diǎn)，使得在此點(diǎn)的函數(shù)值具有這樣或那樣的性質(zhì)，通常稱之為中值定理。2中值定理的結(jié)論中可能不止一個(gè)，但至少有一個(gè)；中值定理的條件是充分的非必要的，缺少一個(gè)都不行，缺少了就可能導(dǎo)致結(jié)論不成立。中值定理結(jié)論中的只說明在開區(qū)間內(nèi)至少存在即可，未指出的求法。以羅爾中值定理為例加以說明若函數(shù)滿足羅爾中值定理三個(gè)條件，則至少存在一個(gè)，有，即可能不止一個(gè)，但至少有一個(gè)。如滿足羅爾中值定理三個(gè)條件，滿足的有，即有兩個(gè)值0和，都能使.函數(shù)它不滿足羅爾中值定理的條件（1），而滿足（2）和（3），得不

9、出定理的結(jié)論，因?yàn)樵冢?，1）內(nèi)任一點(diǎn)都有，找不到使.函數(shù)，它在上滿足羅爾中值定理的條件（1）和（3），在處不滿足（2）所以不存在使，事實(shí)上，在時(shí)，；在上，.函數(shù)，它在上滿足羅爾中值定理的條件(1)和(2)，但不滿足(3)，所以不存在使，事實(shí)上，在上，.中值定理的三個(gè)條件是充分的，而不是完全必要的，如果三個(gè)條件有一個(gè)不滿足，定理結(jié)論仍有可能成立。例如不滿足羅爾中值定理的條件(1)和(3)，但存在一點(diǎn)，使得.3若把羅爾中值定理中的條件（1）去掉，把條件（2）改為在區(qū)間上可導(dǎo)，定理結(jié)論仍然成立，因?yàn)樵趨^(qū)間上可導(dǎo)，則在區(qū)間上必連續(xù)，在內(nèi)也可導(dǎo)，事實(shí)上修改后的條件包含了定理中條件（1）和（2）.4作輔

10、助函數(shù)加以證明定理，是高等數(shù)學(xué)中一種高明手法，應(yīng)該注意揣摩，例如拉格朗日中值定理，也可作輔助函數(shù)來證明，象；又象等。（1）如果拉格朗日中值定理中的，就成為羅爾中值定理，故羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的特例；（2）拉格朗日中值定理改寫為時(shí)，有，右端是的準(zhǔn)確值，往往比微分更有價(jià)值，拉格朗日中值定理又稱為有限增量定理，因有限，故當(dāng)有限時(shí)也有限。（3）雖然由拉格朗日中值定理可得 ，但這不能取代柯西中值定理，因，未必相等，即在內(nèi)不一定存在同一個(gè)，使得.如在0,1上拉格朗日中值定理成立的，在0，1上拉格朗日中值定理成立的.（4）柯西中值定理包括拉格朗日中值定理，只要取即為拉格朗日中值定理。5泰勒公式微分

11、式是“以直代曲”的一階近似，而泰勒公式則研究的是“以曲（多項(xiàng)式）代曲（函數(shù)）”的高階近似。運(yùn)用泰勒公式應(yīng)要求兩曲線滿足：（1）有公共點(diǎn)（2）在有公共切線（3）直到階導(dǎo)數(shù)值相等（在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有直至階導(dǎo)數(shù)）.可構(gòu)造出，兩者的誤差(即余項(xiàng))為，即（拉格朗日型余項(xiàng)）或（皮亞諾型余項(xiàng)）若有界，則，根據(jù)它按規(guī)定精度選擇適當(dāng)多的項(xiàng)進(jìn)行近似計(jì)算，誤差估計(jì)尤為重要。在運(yùn)用泰勒中值定理時(shí)，除了要求函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有直到階導(dǎo)數(shù)外，還要特別注意余項(xiàng)是否是比為高階無窮小，即（當(dāng)時(shí)），只有滿足（）時(shí)，展開成多項(xiàng)式才是有效的，用以后的話說，級(jí)數(shù)才收斂于，泰勒無窮級(jí)數(shù)不考慮余項(xiàng)是不能用的。6四個(gè)中值定理之間的關(guān)系如下羅

12、爾中值定理是拉格朗日中值定理的特例，拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣；拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情況，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣；拉格朗日中值定理是泰勒中值定理的特殊情況，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣。7羅必塔法則求、型的極限，初學(xué)者頗感束手，羅必塔法則簡便易行，為此類問題開辟通道。（1）利用羅必塔法則求、型的極限時(shí)，有時(shí)需要接連運(yùn)用幾次即可完成。（2）當(dāng)自變量趨于有限數(shù)時(shí)，羅必塔法則的條件不要求、一定在連續(xù)，使適應(yīng)性更高更廣。在用柯西中值定理推導(dǎo)此法則時(shí)，對(duì)可去間斷點(diǎn)要補(bǔ)充定義，這對(duì)結(jié)果無影響，因極限過程并不須達(dá)到點(diǎn)。（3）在大多數(shù)情況下，求導(dǎo)數(shù)之比的極限比求

13、函數(shù)之比的極限容易，因?yàn)橛么?正是分子分母均“以直代曲”，然后取極限的結(jié)果。（4）法則對(duì)于的單側(cè)極限也是適用的。（5）任何事情都是相對(duì)的，并不是絕對(duì)的，羅必塔法則也是如此。如：等本法則就失效了。這并不奇怪，因?yàn)榉▌t說當(dāng)有極限時(shí)有極限，反之并沒有去保證。為此使用本法則時(shí)必須每步都要檢查是否符合條件，以防止誤用。8不能夠用羅必塔法則來證明重要極限如果使用了羅必塔法則，那么有結(jié)果當(dāng)然是正確的，但在以上使用羅必塔法則的過程中，用到了求導(dǎo)公式，而這個(gè)公式正是建立在極限的基礎(chǔ)上，故利用羅必塔法則來證明這個(gè)極限在邏輯上犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤。9因?yàn)閷?duì)數(shù)列來說不存在導(dǎo)數(shù)，所以不能直接用羅必塔法則求、型的數(shù)列極限

14、，但、型的數(shù)列極限可以間接地使用羅必塔法則來求它的極限。構(gòu)造、型的函數(shù)極限，其中，如果該極限滿足羅必塔法則的條件，那么先利用羅必塔法則求出極限，然后利用得出所求的極限。然而當(dāng)不存在時(shí)，不能斷定也不存在，這一點(diǎn)值得注意。10函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性判別法直接用途有二：一是判斷函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性；二是求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。函數(shù)在一點(diǎn)增加（減少），實(shí)質(zhì)上指在點(diǎn)的鄰近范圍內(nèi)函數(shù)的動(dòng)態(tài)方向，若，可由左、右鄰近點(diǎn)處的符號(hào)判斷；若或，也就是函數(shù)在有限個(gè)某些孤立點(diǎn)處有，它不影響函數(shù)的單調(diào)性。例如：的孤立點(diǎn)；又的孤立點(diǎn)不影響它們的單調(diào)性。11判別函數(shù)增減性的定理是充分條件，如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上是正的，即，函

15、數(shù)在上單調(diào)增加；如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上是負(fù)的，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減.如果在區(qū)間內(nèi)有有限個(gè)點(diǎn)，使=0，即在區(qū)間內(nèi)，即使有有限個(gè)點(diǎn)使=0，定理結(jié)論仍是成立的。證明如下：證：假定>0情況，有，>0，總存在一個(gè)，有>0，由拉格朗日中值定理 得 即 同樣：，得，即 證畢。作一個(gè)特例，如，并不影響的增減性。讀者可考慮再深一步：若有無窮多個(gè)點(diǎn)（但不充滿整個(gè)區(qū)間）使，定理結(jié)論是否成立？12在求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的過程中，如果上連續(xù)，在解出方程的實(shí)根后，不能肯定在區(qū)間內(nèi)的符號(hào)是相反的，例如：函數(shù)，.， 顯然，而在及內(nèi)符號(hào)是相同的。如果要求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，只要令，解這個(gè)方程，求出在區(qū)間內(nèi)的全部實(shí)數(shù)根，

16、并按從小到大的順序排列為：.確定各個(gè)區(qū)間的符號(hào)，由充分條件，就可判定函數(shù)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。13判別函數(shù)極值的第一充分條件表明：若經(jīng)過變號(hào)，則一定是極值。然而本判別法的條件是充分的，不是必要的，如果條件減弱，結(jié)論有可能成立。例如，函數(shù)是極小值雖然，但是不存在，使在與異號(hào)。14判別函數(shù)極值的第二充分條件，當(dāng)遇到時(shí)，函數(shù)在處究竟有沒有極值，這里可以提供更進(jìn)一步的判別法，除了用第一充分條件判別外，還可以用高階導(dǎo)數(shù)的性態(tài)來判別，這超出了教學(xué)大綱的要求，本處只介紹方法而不予證明。若函數(shù)處具有直到階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并且，而，則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，非極值；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為極小值。當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為極大值。例如，在處無極值；例

17、如，在處有極小值；例如，在處有極大值。請(qǐng)就當(dāng)時(shí)，即，讀者試證上述結(jié)論的正確性。15函數(shù)的極值和最值極值是函數(shù)的局部的性態(tài)，而最值是函數(shù)在整個(gè)范圍內(nèi)的最大或最小，是整個(gè)范圍內(nèi)的性態(tài)。函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，在它的左、右兩側(cè)可導(dǎo)（即存在），若變號(hào)，即改變?cè)鰷p性，則為極值點(diǎn)；如果在它的左、右兩側(cè)的符號(hào)不變，則必非極值點(diǎn)。函數(shù)的極值的第一判別法是個(gè)充分條件非必要，即如函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值，函數(shù)在點(diǎn)左側(cè)未必單調(diào)遞增，在右側(cè)未必遞減，像函數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以在點(diǎn)處有極大值，但時(shí)，在處，因此，在點(diǎn)處的任何左鄰域及右鄰域內(nèi)，的取值既有正的又有負(fù)的，從而在點(diǎn)處的左側(cè)非單調(diào)增加，右側(cè)非單調(diào)減少。雖然函數(shù)的極值的第

18、二判別法比第一判別法簡便，但對(duì)函數(shù)的要求更強(qiáng)，如極值點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)不存在或二階導(dǎo)數(shù)為零就不能使用本判別法，只能用第一判別法。若討論的函數(shù)在有限或無限區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，且從實(shí)際問題可知必有最值，則該駐點(diǎn)必是最值點(diǎn)，不需要再與邊界值等比較判斷之。16如果函數(shù)在閉區(qū)間滿足羅爾定理的條件，那么在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，在這里未必是函數(shù)的極值點(diǎn)。例如函數(shù)上滿足羅爾定理的條件，若令可得. 由在內(nèi)單調(diào)增加知并不是的極值點(diǎn)。事實(shí)上，羅爾定理結(jié)論中的點(diǎn)在內(nèi)可以存在多個(gè)，其中有的可能是極值點(diǎn)，但未必所有的都是極值點(diǎn)。17拐點(diǎn)若，但點(diǎn)也不一定是曲線的拐點(diǎn)。如，但（0，0）點(diǎn)不是曲線的拐點(diǎn)；在點(diǎn)左、右兩側(cè)符號(hào)變號(hào)

19、，點(diǎn)也不是函數(shù)的拐點(diǎn)，而點(diǎn)才是拐點(diǎn)，因?yàn)楣拯c(diǎn)是凹弧與凸弧的連接點(diǎn)，在曲線上。雖然在點(diǎn)左、右兩側(cè)符號(hào)變號(hào)，但拐點(diǎn)起碼應(yīng)是函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)，否則不是。18作圖函數(shù)的圖象使函數(shù)的各種性態(tài)躍然紙上，令人一目了然，作圖時(shí)首先要綜觀全局，了解特征，然后再依步驟動(dòng)手細(xì)求之。三、典型例題分析瀏覽及解題方法技能技巧解讀（一）求函數(shù)滿足中值定理的值例1 設(shè)函數(shù)，求滿足羅爾中值定理的值解因在1，2上滿足羅爾中值定理的三條件：連續(xù)、可導(dǎo)，所以存在，滿足，同理，存在，滿足 即有例2 設(shè)函數(shù)，求滿足拉格朗日中值定理的值解因?yàn)樵?，1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理得 即，而不在（0，1）內(nèi)，例3設(shè)函數(shù)，求滿足柯

20、西中值定理的值解與在上連續(xù)，在（1，4）內(nèi)可導(dǎo)，且有柯西中值定理得 即【注意】這里所舉之例，只是說明若函數(shù)滿足某中值定理的條件，必定存在，使我們加深對(duì)定理的深刻認(rèn)識(shí)，無須把精力集中在求值上面，事實(shí)上中值定理的結(jié)論有一個(gè)共同的特點(diǎn)，即肯定的存在，并未提供如何求的方法。（二）驗(yàn)證中值定理的正確性例1 對(duì)函數(shù)，驗(yàn)證羅爾中值定理是否正確.解因?yàn)椋譃槌醯群瘮?shù)，在上有定義，所以在上連續(xù)；在內(nèi)可導(dǎo)，且所以 在上羅爾中值定理成立。例2 若，拉格朗日中值定理對(duì)于函數(shù)在上是否正確.解法一，在內(nèi)，但在處不可導(dǎo)，故此函數(shù)在上不能用拉格朗日中值定理。解法二（反證法）若函數(shù)在上能用拉格朗日中值定理，而 產(chǎn)生了矛盾，所以

21、當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上不能用拉格朗日中值定理.（三）運(yùn)用中值定理進(jìn)行簡單的推理證明例 若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒為常數(shù)，試證明是線性函數(shù)【分析】設(shè)，若能證明，則是線性函數(shù)證明 由于函數(shù)可導(dǎo)，所以連續(xù)，取內(nèi)一切值，均滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件。任取，在該區(qū)間上當(dāng)然也滿足定理?xiàng)l件。故存在，使得，所以有由于是一個(gè)固定點(diǎn)，就是一個(gè)常數(shù)，不妨記為，則.（四）會(huì)用羅必塔法則求各種不定式的極限利用羅必塔法則求極限時(shí)，要注意將（或）代入式中，看看原式是否為不定式，如果不是，就不能用此法則；在重復(fù)使用羅必塔法則時(shí)，必須每步都作檢查，一旦發(fā)現(xiàn)不是不定式，就要停止使用。例1 求解例2 求解【注意】此例的第二步若仍用羅必塔法則就是錯(cuò)誤

22、的了。例3求解【注意】此例如果不化簡，看成型，直接應(yīng)用羅必塔法則去做，計(jì)算較繁。例4 求解【注意】對(duì)于型，有時(shí)需要先通分，化成其它不定式，再運(yùn)用羅必塔法則，往往比較簡便。例5 求解【注意】求（型）的步驟為將原式寫成把化為或型，再用羅必塔法則，可求得極限為或不存在）；則，或不存在）。這步往往容易丟掉，應(yīng)特別注意。例6 能否用羅必塔法則解若用羅必塔法則計(jì)算 后一個(gè)極限不存在，故不能用羅必塔法則求其極限，事實(shí)上 【小結(jié)】運(yùn)用羅必塔法則時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)檢查所求極限是否屬于不定式，只有是、型不定式時(shí)方可直接運(yùn)用羅必塔法則，其它型應(yīng)先化為、型再運(yùn)用法則；當(dāng)不存在時(shí)，不能斷定也不存在，只能說明此時(shí)不能用羅

23、必塔法則（如例6）；應(yīng)用羅必塔法則一次未成，仍可繼續(xù)用之，直到成功為止，尚若不是不定式就不能用本法則；在每次使用羅必塔法則時(shí)，都應(yīng)先盡可能化簡，然后再考慮是否繼續(xù)使用法則，有時(shí)發(fā)覺用其他方法計(jì)算極限很方便時(shí)，就不必用羅必塔法則了。總而言之，羅必塔法則是求不定式極限的一種很有效方法，但不是萬能的，并不是都能用羅必塔法則求出不定式的極限的，如例6，我們要依據(jù)具體問題的特點(diǎn)選用恰當(dāng)?shù)姆椒?。（五）用泰勒公式求極限泰勒公式在許多情況下對(duì)于極限的計(jì)算是很有用處的.例1 求【分析】這不是不定式，按通常的辦法求極限是很困難的，可考慮用函數(shù)的馬克勞林展開式求之。解令，則當(dāng)時(shí)，原式=，因?yàn)榉帜笧槎?，所以只要將?/p>

24、開成二次多項(xiàng)式故原式=例2求【分析】此題是不定式型，若用羅必塔法則需反復(fù)運(yùn)用六次方能得出結(jié)果，如果用的馬克勞林展開式，就簡便多了。解故原式=【小結(jié)】用泰勒公式求某些極限是很方便的，但關(guān)鍵是確定函數(shù)展開成多項(xiàng)式的次數(shù)。（六）利用泰勒公式作近似計(jì)算例 計(jì)算解 令，取 為了估計(jì)誤差，在各因式中略去，取，將代入則 按題意要求有，即由觀察及驗(yàn)算知時(shí)，有1000049152 故【注意】泰勒中值定理提供了多項(xiàng)式逼近函數(shù)的方法.當(dāng)時(shí)， 即用線性函數(shù)去近似（在很小范圍內(nèi)）函數(shù)；當(dāng)時(shí)， 即局部用拋物線近似函數(shù)等等，在近似計(jì)算中廣泛應(yīng)用。（七）證明不等式某些重要的不等式，往往可以通過研究函數(shù)的單調(diào)性及極值來得到證明

25、。例1 試證：當(dāng)時(shí)，有不等式 .【分析】證明不等式可以逐個(gè)證明不等號(hào)成立，然后再連起來，欲證，只需證.設(shè) 則，單凋遞減，而，當(dāng)時(shí) 即又設(shè) 則，（由上而知）。單增，而，單增，又因，即綜合以上兩式可得例2 試證：.證 同例1中分析，對(duì)不等號(hào)逐個(gè)加以證明(1) 設(shè)，因?yàn)樗栽跁r(shí)單調(diào)增加。又因，所以，即(2) 設(shè)，因?yàn)?所以在時(shí)單調(diào)增加，又因，所以，即由(1)和(2)的討論，有（八）函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的劃分（九）函數(shù)凹凸性的判斷、凹凸區(qū)間的劃分及拐點(diǎn)的求法（十）描繪函數(shù)圖形在研究函數(shù)性態(tài)的基礎(chǔ)上，綜合運(yùn)用本章所學(xué)的知識(shí)，即可描繪函數(shù)的圖形。例 試作函數(shù)的圖形【分析】作函數(shù)圖形，須把函數(shù)下列特征

26、反映出來：函數(shù)的定義域、圖形和坐標(biāo)軸交點(diǎn)、單調(diào)區(qū)間、曲線的凸凹性和漸近線。解(1)函數(shù)的定義域?yàn)楹?由直線和直線所圍成的帶形區(qū)域內(nèi)，沒有的圖形。（2）曲線通過原點(diǎn).（3）求單調(diào)區(qū)間（曲線的升降區(qū)間）用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，求得 令，得駐點(diǎn)當(dāng)，故；當(dāng)時(shí)，故；當(dāng)時(shí)，故；時(shí)，函數(shù)取極小植，即點(diǎn)是曲線上比鄰近諸點(diǎn)都低的一點(diǎn)。（4）確定曲線的凹向區(qū)間仍用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，求二階導(dǎo)數(shù)得：由的表達(dá)式知，在(-,0)和(,+)內(nèi)，故曲線是處處是凹的，無拐點(diǎn)。（5）確定曲線的漸近線，即曲線無水平漸近線，即為曲線的鉛直漸近線。 則即 ，為曲線的一條斜漸近線。又 則圖51即 ,為曲線的另一條漸近線。（6）為作圖方便，再找一些輔助點(diǎn)。，即為曲線上一點(diǎn)；，即為曲線上的一個(gè)點(diǎn)。（7）列表作圖00無0無0無圖形無極小值【小結(jié)】關(guān)鍵是抓住“兩個(gè)點(diǎn)”與“一條線”，如此不難把函數(shù)的圖形描繪出來。兩個(gè)點(diǎn)指的是：極值點(diǎn)曲線升降的分界點(diǎn)；拐 點(diǎn)曲線凹向的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。一條線指的是：漸近線曲線的變化趨勢或走向。（十一）求最大最小值問題在各種科學(xué)中，幾乎毫無例外地都要在一定條件下尋求最優(yōu)的問題，作為特例，只介紹定量方面問題的最優(yōu)解，而局限于教學(xué)內(nèi)容，又只能介紹求最大最小值方面的問題，就這一微小的范圍