第十四章 軸對稱教材分析文字稿[1]

1、第十四章 軸對稱一、 本章內容的新課程標準要求二、 知識結構三、 課時安排四、 各節(jié)知識淺析第一節(jié) 軸對稱一 關鍵概念和原理概念：軸對稱圖形，對稱軸，軸對稱，對稱點，線段垂直平分線.原理：軸對稱圖形的性質及判定；線段的垂直平分線的判定及性質；成軸對稱的兩個圖形的性質；如何判定兩個圖形關于某條直線對稱.二 知識點：1 軸對稱與軸對稱圖形的聯(lián)系與區(qū)別.軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱.兩個圖形關于某直線對稱，也稱為軸對稱.這條直線就是它的對稱軸.軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形就叫做

2、軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.區(qū)別：軸對稱圖形是說一個具有特殊性質的圖形，是對一個圖形說的； 軸對稱是指兩個圖形之間的位置關系，是對兩個圖形說的. 聯(lián)系：軸對稱與軸對稱圖形都有對稱軸，如果把軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形；如果把軸對稱圖形沿對稱軸分成兩部分，那么這兩個圖形就關于這條直線成軸對稱.2 線段的垂直平分線及其結論定義：經過線段中點并且垂直與這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.結論：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；反之，到線段兩端的距離相等的點，在線段的垂直平分線上，所以線段的垂直平分線可以看作是到線段兩端距離相等的所有點的集合.兩者的關系

3、： 點在線段的垂直平分線上點到線段兩端的距離相等3.軸對稱和軸對稱圖形的性質共同的特征：對折后的兩部分是完全重合的，即對應線段相等，對應角相等.性質：（1）關于某條直線成軸對稱的兩個圖形全等； （2）對稱軸是對應點所連線段的垂直平分線.三.綜合探究1.運用軸對稱進行圖形設計例1. 某居民小區(qū)搞綠化,要在一塊矩形空地上建花壇,現征集設計方案,要求設計的圖案由圓和正方形組成（圓和正方形的個數不限）,并且使整個矩形場地成軸對稱圖形,請在矩形中畫出你設計的方案.2.運用線段垂直平分線的性質解決幾何設計中的選址問題例2. 如圖,某地有兩所大學和兩條交叉的公路,點M、N表示大學,OA、OB表示公路，現計劃

4、修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學的距離相同，到兩條公路的距離也相同，你能確定出倉庫應該建在什么位置嗎？請在圖中畫出你的設計.第二節(jié) 軸對稱變換一關鍵概念和原理概念：軸對稱變換原理：作軸對稱圖形，一個點關于x軸、y軸的對稱點的坐標的特點.二知識點1. 軸對稱變換定義：由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換.軸對稱變換同旋轉變換、平移變換一樣，都是圖形變換的一種，軸對稱變換的實質就是圖形的翻折，而翻折問題往往可以看作是圖形的全等問題，解這類問題的關鍵是利用圖形的全等，找出對應線段對應角，挖掘題目的隱含條件，再利用結論使問題獲解.注意：經過變換以后，只是位置發(fā)生了變化，圖形的形狀和大小并

5、未改變.2. 關于坐標軸對稱的點的特點建議在教學中，讓學生學會用方程組表示，數形結合，為今后解綜合題打下基礎.即點A（x1，y1）與B（x2，y2）關于x軸對稱點A（x1，y1）與B（x2，y2）關于y軸對稱點A（x1，y1）與B（x2，y2）關于原點對稱三. 典型例題例3. 如圖，請寫出ABC中各頂點的坐標在同一坐標系中畫出直線m：x=1，并作出ABC關于直線m對稱的ABC若P（a，b）是ABC中AC邊上一點，請表示其在ABC中對應點的坐標 例4. 在下圖這一組中找出它們所蘊含的內在規(guī)律，然后在橫線的空白處設計一個恰當的圖形. 例5. 如圖所示,把一個正方形三次對折后沿虛線剪下一角,則展開后

6、所得的圖形是（ ）.四.綜合探究（一）運用軸對稱的性質求最值1.運用軸對稱的性質求線段之和的最小值例6.（內蒙古烏海市.2002）如圖1,某公路的同一側有A、B、C三個村莊，要在公路邊建一貨棧D，向A、B、C三個村莊送農用物資，路線是：DABCD和DCBAD.1.試問在公路邊上是否存在一點D，使送貨路程最短？（把公路邊近似看作公路上）2.將A、B、C三點放在平面直角坐標系中，把x軸建立在公路上，坐標如圖所示.請畫出D點所在的位置，并寫出畫法.3.求出D點在該坐標系中的坐標（要求有運算過程）2.利用軸對稱解決周長最小問題例7.在銳角AOB內有一定點P，試在OA、OB上確定兩點C、D，使PCD的周

7、長最短3.利用軸對稱解決線路最短問題例8.如圖1,A為廄,B為帳篷,牧馬人某一天要從馬廄牽出馬,先到草地某一處牧馬,再到河邊飲馬,然后回到帳篷.請你幫他確定這一天的最短路線.（教材p1379）（二）數形結合,利用軸對稱找規(guī)律例9.曉慧同學學習了軸對稱知識后,忽然想起來過去做過的一道題:有一組數排列成方陣,如圖1所示,試計算這組數的和.曉慧想方陣就像正方形,正方形是軸對稱圖形,能不能利用軸對稱的思想來解決方陣的計算問題呢?曉慧試了試,竟得到了非常巧妙的方法,你也能試試看嗎? （三）軸對稱變換與平面直角坐標系的綜合應用1.點關于橫縱坐標軸對稱的規(guī)律例10.（1）若點M（2,a）和點N（a+b,3）

8、關于x軸對稱,試求a,b的值; （2）若點M（2,a）和點N（a+b,3）關于y軸對稱,試求a,b的值.解: 橫軸橫不變,縱軸縱不變例11.（1）求一次函數y=2x-1的圖象關于x軸對稱的直線的函數解析式；（2）不作函數y=-2x+1與y=2x-1的圖象,試判斷它們的圖象關于哪一個坐標軸對稱.2.利用軸對稱求特殊點的坐標例12. 如圖，在平面直角坐標系中，點P（2，3），Q（3，2），請在x軸和y軸上分別找到M點和N點，使四邊形PQMN周長最小.（1）作出M點和N點.（2）求出M點和N點的坐標.（四）鏡子、倒影與軸對稱變換1.從鏡子里看物體左右相反例13. 如圖1所示的是在一面鏡子里看到的一個

9、算式，該算式的實際情況是怎樣的？2.從水中看物體上下顛倒例14.如圖,是一只停泊在平靜水面上的小船,它的“倒影”應是圖中的（ ）.第三節(jié) 等腰三角形一關鍵概念和原理概念：等腰三角形，頂角，底角，腰，底邊，等邊三角形原理：等腰三角形的性質、判定；等邊三角形的性質、判定；直角三角形的性質二. 知識點1.等腰三角形的概念、性質及判定定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是底邊上的高（或底邊上的中線或頂角的平分線）所在的直線.性質：等腰三角形，底邊上的高，底邊上的中線和頂角的平分線三線合一； 等腰三角形中相等的邊所對的角也相等.判定：如果一個三角形有兩個角相等

10、，那么這兩個角所對的邊也相等.2.等邊三角形及其性質定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也稱為正三角形.性質：（1）等邊三角形是軸對稱圖形且有三條對稱軸；（2）等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°； （3）等邊三角形是特殊的等腰三角形，等邊三角形具有等腰三角形的一切性質.判定：（1）三個角都相等的三角形是等邊三角形； （2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.3. 直角三角形中，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半.綜合探究（一）由于等腰三角形的特殊性，當題目條件不明確時，要注意分類討論1. 邊沒明確腰、底例. 等腰ABC中，AB=2BC,

11、且三角形周長為40.求AB的長.2. 內角沒明確是頂角還是底角例.（1）已知等腰三角形有一個內角為70°，求其余兩個內角的度數. （2）已知等腰三角形有一個內角為100°，求其余兩個內角的度數.3. 腰上的高分形內和形外例：已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45°，求這個等腰三角形頂角的度數（二） 等邊三角形中有關邊、角數量關系的探究例: 如圖,以ABC的兩邊AB、AC向外作等邊三角形ABE和等邊三角形ACD，連結BD、CE，相交于O.（1）試寫出圖中和BD相等的一條線段并說明你的理由；（2）BD和CE夾角的大小與ABC的形狀有關嗎？說明理由.（三）等腰三角

12、形在函數中的應用例15：等腰三角形的周長為20cm.（1）求底邊y（cm）與腰長x（cm）之間的關系式；（2）求出自變量x的取值范圍；（3）畫出該函數的圖象.（四）軸對稱在等腰三角形中的應用1.利用等腰三角形的軸對稱性尋找特殊點例16：如圖，在等邊三角形ABC所在平面內找一點P，使PAB,PBC,PAC都是等腰三角形，你能找出幾個這樣的點？請畫出它們的位置.2.利用軸對稱變換集中幾何條件例17：已知：如圖，在等腰直角ABC的斜邊上取兩點M、N，使MCN45°，設AM=m，MN=x，BNn，試判斷以x、m、n為邊長的三角形的形狀.（五）運用“含30°銳角的直角三角形”解決航海

13、問題例18：如圖，上午9時，一條漁船從A出發(fā)，以12海里/時的速度向正北航行，11時到達B處，從A、B處望小島C，測得NAC15°，NBC30°.若小島周圍12.3海里內有暗礁，問該漁船繼續(xù)向正北航行有無觸礁危險？參考習題1. 如圖所示,Ox,Oy是兩條公路,在兩條公路夾角的內部,有一油庫A,現在想在兩公路上分別建一個加油站,為使運油的油罐車從油庫出發(fā)先到一個加油站,再到另一個加油站,最后回到油庫的路程最短,問兩加油站應如何選址?2. 如圖所示,在鐵路L的同側有A、B兩個工廠,要在鐵路邊建一個貨場C,貨場應建造在什么地方,才能使A、B兩廠到貨場C的距離之和最短? 3.（20

14、05.江西.3分）如圖所示,將一張正方形紙片經過兩次對折,并剪出一個菱形小洞后展開鋪平,得到的圖形是（ ）4. 已知:如圖,P1、P2分別是點P關于OA、OB的對稱點，P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=10cm.求PMN的周長. 5. 如圖，ABC中ACB=90°，AD平分BAC，DEAB于E，求證：直線AD是CE的垂直平分線6. 剪紙是中國的民間藝術,剪紙的方法很多,下面是一種剪紙方法的圖示（如圖1，先將紙折疊，然后再剪，展開即得到圖案）：圖2中的四個圖案，不能用上述方法剪出的是（ ） (1) (2)7.（1）觀察圖14中陰影部分構成的圖案，請寫出這四個圖案都具有的兩個共同

15、特征.（2）借助圖5的網格，請設計一個新圖案，使該圖案同時具有你在解答（1）時所寫出的兩個共同特征.8. 為了美化環(huán)境，在一塊正方形空地上分別種植不同的花草，現將這塊空地按下列要求分成四塊：（1）分割后的整個圖形必須是軸對稱圖形；（2）四塊圖形形狀相同；（3）四塊圖形面積相等，現已有兩種不同的分法：分別作兩條對角線（圖），過一條邊的四等分點作該邊的垂線段（圖），（圖中的兩個圖形的分割看作同一種方法）.請你按照上述三個要求，分別在圖的三個正方形中，給出另外三種不同的分割方法.（只畫圖，不寫作法） 10.（教材變形題）如圖所示,EFGH是一個臺球桌面,有黑白兩球分別置于A、B兩點位置上，試問怎樣撞

16、擊白球B，經桌面HE、EF連續(xù)反彈后，準確擊中黑球A？（寫作法并作圖）第二節(jié) 軸對稱變換1. 如圖所示,分別作出PQR關于直線x=1（記為m）和直線y=1（記為n）對稱的圖形,你能發(fā)現它們的對應點的坐標之間分別有什么關系嗎? 2. 求點P（-2,1）關于直線x=2對稱的點的坐標. 3. 求點N（3,4）關于直線y=1對稱的點的坐標. 4. 求直線y=2x-1關于x軸對稱的直線的解析式. 5. 如圖所示,由小正方形組成的“L”形圖案,請你在圖中添加一個小正方形,使它 成為軸對稱圖形. 6. 在直角坐標系中,已知A（2,0）,B（1,-2）則線段AB關于坐標系原點的對稱線段的圖象是下圖中的（ ）.

17、 7. 如圖,已知:AD為ABC的高,B=2C,利用軸對稱的性質證明CD=AB+BD. 8. 一平面鏡以與水平面成45°角固定在水平桌面上,如圖所示,一小球以1米/秒的速度沿桌面向平面鏡勻速滾去,則小球在平面鏡里所成的像（ ）.A. 以1米/秒的速度,做豎直向上運動 B. 以1米/秒的速度,做豎直向下運動C. 以2米/秒的速度,做豎直向上運動 D. 以2米/秒的速度,做豎直向下運動9. 數的運算中會有一些有趣的對稱形式，仿照等式的形式填空，并檢驗等式是否成立12×231=132×21; 12×462=_; 18×891=_; 24×2

18、31=_.10如圖，已知牧馬營地在P處，每天牧馬人要趕著馬群先到河邊飲水，再帶到草地吃草，然后回到營地，請你替牧馬人設計出最短的放牧路線11. 已知A（-1，2）和B（-3，-1）試在y軸上確定一點P，使其到A、B的距離和最小，求P點的坐標 12. 如圖所示,一個算式在鏡中所成的像構成的算式是正確的,但是在實際中是正確的嗎?實際中這個算式是什么?第三節(jié) 等腰三角形1.(探究題)如圖1,給你一張三角形紙片,其中AB=AC, A=36°,將此紙片按圖2中的線剪開,可以將原三角形分成三個等腰三角形,那么（1）能否仿照圖2,再設計幾種不同的分割方法,將原三角形紙片分為3個三角形,使得每個三角形都為等腰三角形.（要求:在圖中標出分得的每個等腰三角形的三個內角的度數,至少畫出兩種）.（2）你能用此三角形紙片剪出4個等腰三角形嗎?（3）你能用此三角形紙片剪出n（n為大于4的自然數）個等腰三角形嗎? 參考答案2.（05. 江西.3分）如圖所示,一個頂角為40°的等腰三角形紙片,剪去頂角后,得到一個四邊形,則1+2=_.3.（一題多解題）如圖,已知:在ABC中,AB=AC,E在CA的延長線上, AEF=AFE,求證:EFBC.4. （教材變形題）已知:如圖,ABC是等邊三角形,BD是AC邊上的高,延長BC到E,使CE=CD.求證:BD=DE.5. 如圖