知識點223歐拉公式解答

1、1、（2009涼山州）觀察下列多面體，并把下表補充完整觀察上表中的結果，你能發(fā)現(xiàn)a、b、c之間有什么關系嗎？請寫出關系式考點：歐拉公式。專題：圖表型。分析：三棱柱的頂點數(shù)為：3×2=6，棱數(shù)為：3×3=9，面數(shù)為：2+3=5；四棱柱的頂點數(shù)為：4×2=8，棱數(shù)為：4×3=12，面數(shù)為：2+4=6；五棱柱的頂點數(shù)為：5×2=10，棱數(shù)為：5×3=15，面數(shù)為：2+5=7；六棱柱的頂點數(shù)為：6×2=12，棱數(shù)為：6×3=18，面數(shù)為：2+6=8a+cb=2解答：解：規(guī)律為a+cb=2點評：可先由簡單圖形得到解決問題的方

2、法2、（2006煙臺）下列圖形中，圖（a）是正方體木塊，把它切去一塊，得到如圖（b）（c）（d）（e）的木塊圖號頂點數(shù)x棱數(shù)y面數(shù)z（a）8126（b）（c）（d）（e）（1）我們知道，圖（a）的正方體木塊有8個頂點、12條棱、6個面，請你將圖（b）、（c）、（d）、（e）中木塊的頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)填入下表；（2）上表，各種木塊的頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)之間的數(shù)量關系可以歸納出一定的規(guī)律，請你試寫出頂點數(shù)x、棱數(shù)y、面數(shù)z之間的數(shù)量關系式考點：歐拉公式。專題：規(guī)律型。分析：（1）小題，只要將圖（b）、（c）、（d）、（e）各個木塊的頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)數(shù)一下就行；數(shù)的時候要注意：圖中不能直接看到的那一

3、部分不要遺漏，也不要重復，可通過想象計數(shù)，正確填入表內；（2）通過觀察找出每個圖中“頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)”之間隱藏著的數(shù)量關系，這個數(shù)量關系用公式表示出來即可解答：解：（1）見表：圖號頂點數(shù)x棱數(shù)y面數(shù)z（a）8126（b）695（c）8126（d）8137（e）10157（2）規(guī)律：x+z2=y點評：命題立意：考查平均數(shù)的求法，搜集信息的能力（讀表），作圖能力及用樣本估計總體的統(tǒng)計思想3、（1）圖是正方體木塊，把它切去一塊，可能得到形如圖、的木塊我們知道，圖的正方體木塊有8個頂點，12條棱，6個面，請你將圖、中木塊的頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)填人下表：（2）觀察此表，請你歸納上述各種木塊的頂點數(shù)、棱數(shù)

4、、面數(shù)之間的數(shù)雖關系是：頂點數(shù)+面數(shù)棱數(shù)=2（3）圖是用虛線畫出的正方體木塊，請你想象一種與圖不同的切法，把切去一塊后得到的那一塊的每條棱都改畫成實線，則該木塊的頂點數(shù)為8，棱數(shù)為6，面數(shù)為3考點：歐拉公式。專題：規(guī)律型。分析：（1）只要將圖（b）、（c）、（d）、（e）各個木塊的頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)數(shù)一下就行；數(shù)的時候要注意：圖中不能直接看到的那一部分不要遺漏，也不要重復，可通過想象計數(shù)，正確填入表內；（2）通過觀察找出每個圖中“頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)”之間隱藏著的數(shù)量關系，這個數(shù)量關系用公式表示出來即可（3）按要求做出圖形，注意是與圖不同的切法，然后數(shù)出該木塊的頂點數(shù)，棱數(shù)和面數(shù)即可解答：解：（

5、1）見表：（2）觀察上表，即可歸納上述各種木塊的頂點數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)之間的數(shù)的關系是：頂點數(shù)+面數(shù)棱數(shù)=2（3）如切過之后為一長方體，所畫圖形如下所示：則該木塊的頂點數(shù)為8，棱數(shù)為6，面數(shù)為3故答案為：頂點數(shù)+面數(shù)棱數(shù)=2；8，6，3點評：本題考查了歐拉公式的知識，同時考查了平均數(shù)的求法，搜集信息的能力（讀表），作圖能力及用樣本估計總體的統(tǒng)計思想4、如圖，左面的幾何體叫三棱柱，它有五個面，9條棱，6個頂點，中間和右邊的幾何體分別是四棱柱和五棱柱（1）四棱柱有8個頂點，12條棱，6個面；（2）五棱柱有10個頂點，15條棱，7個面；（3）你能由此猜出，六棱柱、七棱柱各有幾個頂點，幾條棱，幾個面嗎？（

6、4）n棱柱有幾個頂點，幾條棱，幾個面嗎？考點：歐拉公式。專題：規(guī)律型。分析：結合已知三棱柱、四棱柱和五棱柱的特點，可知n棱柱一定有（n+2）個面，2n個頂點和3n條棱解答：解：（1）四棱柱有8個頂點，12條棱，6個面；（2）五棱柱有10個頂點，15條棱，7個面；（3）六棱柱有12個頂點，18條棱，8個面；七棱柱有14個頂點，21條棱，9個面；（4）n棱柱有（n+2）個面，2n個頂點和3n條棱點評：熟記常見棱柱的特征，可以總結一般規(guī)律：n棱柱有（n+2）個面，2n個頂點和3n條棱5、是否存在一個有10個面、24條棱和18個頂點構成的棱柱？若存在，請指出是幾棱柱；如果不存在，請說明理由考點：歐拉公

7、式。分析：一個直棱柱有18個頂點，說明它的上下底面是兩個九邊形，從而可以確定它的面的個數(shù)解答：解：由棱柱的特性可知：不存在一個有10個面、24條棱和18個頂點構成的棱柱因為有18個頂點構成的棱柱是九棱柱，它有9+2=11個面、3×9=27條棱點評：本題主要考查n棱柱的構造特點：（n+2）個面，3n條棱，2n個頂點6、每四年一次的世界杯足球賽吸引了眾多的球迷，實際上國際足聯(lián)規(guī)定的足球是由一塊塊正五邊形、正六邊形的皮縫制而成的若將之視作一個多面體，則它的面數(shù)f、棱數(shù)e、頂點v之間存在著一個關系式f+ve=2，若已知棱數(shù)為48，頂點數(shù)為24，則面數(shù)必為多少？考點：歐拉公式。分析：把e=48

8、，v=24直接代入所給關系式即可解答：解：f+ve=2且v=24，e=48，f=2+ev=2+4824=26，故面數(shù)必為26面點評：本題考查幾何體面數(shù)，頂點數(shù)，棱數(shù)之間的關系7、已知一個多面體的各個面都是五邊形，你能運用歐拉公式證明這個多面體的頂點數(shù)V，棱數(shù)E，面數(shù)F之間有2V=3F+4的關系嗎？試試看吧!考點：歐拉公式。專題：探究型。分析：根據(jù)各個面都是五邊形的多面體的構造特點及歐拉公式V+FE=2可證解答：解：一個多面體的各個面都是五邊形，這個多面體E=F+F=F，V+FE=2，V+FF=2，2V=3F+4點評：本題考查幾何體面數(shù)，頂點數(shù)，棱數(shù)之間的關系8、“每四年一次的世界杯足球賽吸引了

9、眾多的球迷，今年的世界杯西班牙隊奪冠，不僅僅成就了西班牙足球的全新高度，也是足球世界的大事自1998年以來，12年里，世界足壇再沒有迎來新的霸主此前，奪取過世界杯冠軍的球隊只有7支：巴西五次加冕（1958年、1962年、1970年、1994年、2002年）、意大利四次稱雄（1934年、1938年、1982年、2006年）、德國三次登頂（1954年、1974年、1990年），阿根廷兩次掄元（1978年、1986年），烏拉圭兩次奪冠（1930年、1950年），法國（1998年）、英格蘭（1966年）各自奪冠一次如今，西班牙光榮的成為歷史上第八支世界杯冠軍球隊這意味著，世界杯的歷史已被突破！”實際上

10、國際足聯(lián)規(guī)定的足球是由一塊塊正五邊形、正六邊形的皮縫制而成的若將之視作一個多面體，則它的面數(shù)f、棱數(shù)e、頂點v之間存在著一個關系式f+ve=2，若已知棱數(shù)為48，頂點數(shù)為24，則面數(shù)必為多少？考點：歐拉公式。分析：把e=48，v=24直接代入所給關系式即可解答：解：f+ve=2且v=24，e=48，f=2+ev=2+4824=26，故面數(shù)必為26面點評：本題考查用待定系數(shù)法求未知字母的解對于任一凸多面體均滿足f+ve=2這一關系式9、仔細觀察下面的正四面體、正六面體、正八面體，解決下列問題：（1）填空：正四面體的頂點數(shù)V=4，面數(shù)F=4，棱數(shù)E=6正六面體的頂點數(shù)V=8，面數(shù)F=6，棱數(shù)E=1

11、2正八面體的頂點數(shù)V=6，面數(shù)F=8，棱數(shù)E=12（2）若將多面體的頂點數(shù)用V表示，面數(shù)用F表示，棱數(shù)用E表示，則V、F、E之間的數(shù)量關系可用一個公式來表示，這就是著名的歐拉公式，請寫出歐拉公式：V+FE=2（3）如果一個多面體的棱數(shù)為30，頂點數(shù)為20，那么它有多少個面？考點：歐拉公式。專題：規(guī)律型。分析：（1）觀察圖形，結合多面體的頂點、面和棱的定義進行填空即可（2）根據(jù)（1）中，多面體的頂點數(shù)，面數(shù)和棱數(shù)，總結規(guī)律可得V、F、E之間的數(shù)量關系式（3）根據(jù)（2）中，頂點數(shù)，面數(shù)和棱數(shù)之間的關系式，代入求解即可解答：解：（1）4，4，6；8，6，12；6，8，12；（2）V、F、E之間的數(shù)量

12、關系是：V+FE=2；（3）解：設面數(shù)為F，則20+F30=2解得F=12答：它有12個面點評：本題考查的是多面體的定義，關鍵點在于：多面體指四個或四個以上多邊形所圍成的立體10、（1）三棱錐有6條棱，4個面，四棱錐有8條棱，5個面；（2）十五棱錐有30條棱；（3）有沒有一個多棱錐，其棱數(shù)是2006，若有求出有多少個面；若沒有，說明理由考點：歐拉公式。專題：幾何圖形問題。分析：（1）四棱錐側面有4條棱，底面有4條棱，共有8條棱；側面有4個面，底面有1個面，共有5個面；（2）共有30條棱，那么底面有15條棱，是十五棱錐；（3）棱數(shù)是2006，只能分為側面為1003條棱，底面為1003條棱，這個幾

13、何體共有1004個面解答：解：（1）四棱錐有8條棱，5個面；（2）十五棱錐有30條棱；（3）一個多棱錐的棱數(shù)是2006，則這個多面體的面數(shù)是2006÷2+1=1004故有1004個面故答案為：8，5；十五點評：本題考查有規(guī)律的尋找多面體的棱及面的特點熟記棱錐圖形的特征是解決此類問題的關鍵11、根據(jù)多面體頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）和棱數(shù)（E）之間的關系（V+FE=2），判斷是否存在滿足以下條件的多面體（1）4個頂點，4個面，8條棱；（2）14個頂點，9個面，21個棱考點：歐拉公式。專題：計算題。分析：根據(jù)多面體頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）和棱數(shù)（E）之間的關系（V+FE=2），即可得出答案解

14、答：解：（1）V+FE=4+48=02，所以不存在滿足條件（1）的多面體（2）V+FE=14+921=2，所以存在滿足條件（2）的多面體點評：本題考查了歐拉公式的知識，屬于基礎題，注意對歐拉公式的熟練掌握12、多面體頂點數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）四面體446長方體8612正八面體6812正十二面體20123018世紀瑞士數(shù)學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的一個有趣的關系式，被稱為歐拉公式請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題：（1）根據(jù)上面多面體模型，完成表格中的空格，你發(fā)現(xiàn)頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關系式是V+FE=2（2）一

15、個多面體的面數(shù)與頂點數(shù)相等，有12條棱，這個多面體是七面體考點：歐拉公式。專題：規(guī)律型。分析：（1）觀察圖形，結合多面體的頂點、面和棱的定義進行填空即可根據(jù)多面體的頂點數(shù)，面數(shù)和棱數(shù)，總結規(guī)律可得V、F、E之間的數(shù)量關系式（2）根據(jù)（1）中，頂點數(shù)，面數(shù)和棱數(shù)之間的關系式，代入求解即可解答：解：（1）四面體的棱數(shù)為6；長方體的面數(shù)為6；正八面體的頂點數(shù)為6；關系式為：V+FE=2；（2）由題意得：F+F12=2，解得F=7故答案為：V+FE=2；7點評：本題考查多面體的頂點數(shù)，面數(shù)，棱數(shù)之間的關系及靈活運用13、新年晚會，是我們最歡樂的時候會場上，懸掛著五彩繽紛的小裝飾，其中有各種各樣的立體圖形（1）數(shù)一下每一個多面體具有的頂點數(shù)（V）、棱數(shù)（E）和面數(shù)（F），并且把結果記入表中多面體頂點數(shù)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）正四面體446正方體正八面體正十二面體正二十面體122030（2）觀察表中數(shù)據(jù)，猜想多面體的頂點數(shù)（V）、棱數(shù)（E）和面數(shù)（F）之間的關系（3）偉大的數(shù)學家歐拉（Euler 17071783）證明了這一令人驚嘆的關系式，即歐拉公式若已知一個多面體的頂點數(shù)V=196，棱的條數(shù)E=294請你用歐拉公式求這個多面體的面數(shù)考點：歐拉公式。專題：常規(guī)題型。分析：（1）根據(jù)圖形數(shù)出頂點