盲人數(shù)學(xué)工作者的世界分析解析

1、盲人數(shù)學(xué)工作者的世界Allyn Jackson關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)家，幾何學(xué)造訪盲人幾何學(xué)家伯納德莫林（Bernard Morin）的寓所會(huì)讓你大開眼界：客廳的墻壁上掛著一副電腦繪制的圖片。圖片是他的學(xué)生弗朗索瓦阿培里（Francois Apery）繪制的，畫的是伯伊曲面（Boy's Surface） 一種射影平面對三維空間的浸入。莫林最著名的成就是把一個(gè)球體如何“翻”出來的過程形象化，而伯伊曲面是其中的重要環(huán)節(jié)。莫林雖然看不見這張圖，但他會(huì)很高興地為你解說圖中不容錯(cuò)過的細(xì)節(jié)?；氐娇蛷d，他搬來一把椅子站上去，摸索著從架子頂上找到一個(gè)盒子，然后端著盒子小心地爬下椅子，這時(shí)我

2、長出了一口氣。打開盒子，里面放的是他在上世紀(jì)六七十年代制作的陶模型，描繪了他研究的球面外翻（Sphere eversion）的各個(gè)中間階段。他視力健全的同事用這些模型在黑板上輔助畫圖。他掌中所拿的，正是伯伊曲面的模型。這個(gè)模型不僅精確，而且設(shè)計(jì)巧妙，形態(tài)優(yōu)雅，實(shí)在是一件藝術(shù)品。讓人驚嘆的是：如此一件精確而又對稱的模型完全靠雙手做出來的。制作這個(gè)模型的目的，是把莫林心中所清楚看到的模型展現(xiàn)在視力健全的人的面前。伯納德莫林（Bernard Morin）視力健全的數(shù)學(xué)工作者們通常都正襟危坐地炮制論文。有一個(gè)傳說，說有人問一個(gè)著名數(shù)學(xué)家的女傭這個(gè)數(shù)學(xué)家每天都在干什么，女傭說他在一張紙上寫寫畫畫，然后揉

3、做一團(tuán)扔進(jìn)垃圾桶。那么盲人數(shù)學(xué)工作者的一天呢？他們不可能在信封背面或是餐館的餐巾上寫些什么算式，或是揮揮手手示意把“這個(gè)”加到“那個(gè)”上，或是把“那個(gè)”用在“這里”。不過從許多方面而言，盲人和其他數(shù)學(xué)工作者的工作方式一樣：有人曾問過科羅拉多大學(xué)（University of Colorado）的盲人數(shù)學(xué)工作者勞倫斯W拜吉特（Lawrence W. Bagget），他是如何不用紙筆把復(fù)雜的公式印在腦子里的？他坦白地說：“嗯，這個(gè)，無論是誰都很難?！比欢鴱牧硪环矫鎭碚f，他們對數(shù)學(xué)的理解又有所不同。莫林回憶起一位視力健全的同事?？彼恼撐臅r(shí)，需要進(jìn)行冗長的行列式計(jì)算來確定一個(gè)正負(fù)號。這位同事問他是如何

4、計(jì)算的，莫林說自己回答道：“我真不清楚 就是想象這個(gè)那個(gè)形體，感覺一下它的重量而已。”歷史上的盲人數(shù)學(xué)工作者歐拉（Leonhard Euler）數(shù)學(xué)史上有許多盲人數(shù)學(xué)工作者。最偉大的數(shù)學(xué)家之一歐拉（Leonhard Euler,1707-1783）在生命中的最后十七年里就雙目失明。他自從在圣彼得堡科學(xué)研究院地理教研室當(dāng)主任以來，就因?yàn)橛醚圻^度眼睛嚴(yán)重疲勞而視力出現(xiàn)問題。他三十歲的時(shí)候右眼就開始出問題，到了五十九歲的時(shí)候就幾乎完全失明。歐拉是數(shù)學(xué)史上最高產(chǎn)的數(shù)學(xué)家之一，寫出了大概850篇論文。而神奇的是，其中大約一半的論文是他在失明之后完成的，他以驚人的記憶力，在兩個(gè)兒子和其他圣彼得堡

5、研究院的同事的幫助下完成了這些論文。英國數(shù)學(xué)家尼古拉斯桑德森（Nicholas Saunderson,1682-1739）一生下來就因染上天花雙目失明。然而他卻精通法語、希臘語和拉丁語，又研究數(shù)學(xué)。他申請劍橋大學(xué)被拒，終身也未上過大學(xué)，可是在1728年，喬治二世國王卻授予他法學(xué)博士學(xué)位。作為牛頓哲學(xué)的擁護(hù)者，桑德森在劍橋大學(xué)當(dāng)上了盧卡斯教授 牛頓本人就曾任此職位，物理學(xué)家史蒂芬霍金也曾任此職。桑德森發(fā)明了一種進(jìn)行算術(shù)和代數(shù)計(jì)算的“盲人計(jì)算器”，這種方法需要用一個(gè)類似算盤的工具，以及一個(gè)叫做“幾何板”的東西這種東西現(xiàn)在已經(jīng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用了。桑德森在其1740年的著作代數(shù)元素中記述了盲

6、人計(jì)算器的計(jì)算方法。他有可能還進(jìn)行了概率論方面的研究：統(tǒng)計(jì)歷史學(xué)家史蒂芬斯蒂格勒（Stephen Stigler）認(rèn)為，貝葉斯統(tǒng)計(jì)的思想方法可能是由桑德森而不是托馬斯貝葉斯（Thomas Bayes）首先提出的。俄羅斯也出過幾位盲人數(shù)學(xué)家，其中最著名的是龐特里亞金（Lev Semenovich Pontryagin，19081988）。龐特里亞金十四歲時(shí)因一場事故而失明，他的母親肩負(fù)起了教育他的任務(wù)，盡管母親沒受過多少數(shù)學(xué)訓(xùn)練，數(shù)學(xué)知識也不多，卻可以給兒子朗讀科學(xué)著作。他們一起“發(fā)明”了許多指代數(shù)學(xué)符號的詞語，比如集合交集的符號叫做“下頭”，而子集的符號叫做“右頭”等等。1925年，龐特里亞金

7、十七歲進(jìn)入了莫斯科大學(xué)，從此他的數(shù)學(xué)天賦便充分展露，人們對他無需動(dòng)筆就能記住復(fù)雜公式的超能力充滿驚奇。他成了莫斯科拓?fù)鋵W(xué)派的頂尖人物，在蘇聯(lián)時(shí)期仍和西方有著聯(lián)系。他最重要的貢獻(xiàn)在拓?fù)鋵W(xué)和同倫理論領(lǐng)域，同時(shí)也在控制論等應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域做出了貢獻(xiàn)。而現(xiàn)在還健在的盲人數(shù)學(xué)工作者有莫斯科斯捷克洛夫?qū)W院（Steklov Institute）的維圖什金（A. G. Vitushkin），他主要研究復(fù)分析。龐特里亞金（Lev Semenovich Pontryagin）法國也有許多杰出的盲人工作者。其中最著名的包括路易安東尼（Louis Antoine，18881971），他是在一戰(zhàn)時(shí)失明的，那時(shí)他二十九歲。據(jù)

8、Julia的文章說，勒貝格建議他學(xué)習(xí)二維和三維拓?fù)鋵W(xué)，一部分原因是那時(shí)關(guān)于這方面的論文還很少，另一部分原因是因?yàn)椤霸谶@個(gè)領(lǐng)域，捕捉的能力和全神貫注的習(xí)慣可以彌補(bǔ)失明的不足”。在19世紀(jì)六十年代中期，莫林見到了安東尼，安東尼向這位后輩盲人數(shù)學(xué)工作者說明了他是如何得到自己那個(gè)著名結(jié)論的。安東尼在試圖證明一個(gè)類似若爾當(dāng)-舍恩弗利斯定理（Jordan-Schönflies theorem，對于一個(gè)平面中的簡單封閉曲線，一定存在一個(gè)平面的同胚可以將這條曲線變成平面中的一個(gè)圓）的問題。問題是：對于一個(gè)浸入三維空間中的三維球體，存在一個(gè)三維空間的同胚可以將這個(gè)浸入球變?yōu)橐粋€(gè)標(biāo)準(zhǔn)球。最終他發(fā)現(xiàn)，這個(gè)

9、“定理”并不成立。他第一個(gè)設(shè)計(jì)了三維空間中的非馴嵌入集這個(gè)集合現(xiàn)在被稱為“安東尼的項(xiàng)鏈”。這個(gè)集合是一個(gè)康托兒集，但其補(bǔ)集卻并不簡單聯(lián)通。在安東尼的基礎(chǔ)上，亞歷山大（J. W. Alexander）構(gòu)造出了著名的“亞歷山大帶角球”，這個(gè)帶角球就是安東尼要證明的命題的一個(gè)反例。安東尼證明了：可以從他的“項(xiàng)鏈”得到嵌入球。但是莫林問他這個(gè)嵌入球是什么樣子的時(shí)候，他卻說自己想象不出來。球面外翻莫林自己的故事也很引人入勝。他1931年出生于上海，那時(shí)他父親在銀行工作。很小的時(shí)候莫林就患上了青光眼并回到法國接受治療。后來他回到上海，但六歲時(shí)不幸因視網(wǎng)膜撕裂完全失明。他到現(xiàn)在還能回憶起童年時(shí)候所看到的事情

10、，回憶起那時(shí)他對光學(xué)現(xiàn)象的癡迷，回憶起他曾醉心于萬花筒的時(shí)光，回憶起他的那本介紹紅黃相配得到橙色的書，回憶起那時(shí)看到的風(fēng)景畫并好奇如何能用一張平面展示三維圖景。他早期的視覺記憶由于沒有后來的干擾，所以尤其栩栩如生。失明之后莫林離開上?；氐椒▏⒁恢贝粼诜▏?。他在法國盲啞學(xué)校上到十五歲，然后上了一所普通高中。他對數(shù)學(xué)和哲學(xué)感興趣，可他父親并不認(rèn)為兒子在數(shù)學(xué)方面會(huì)有多大建樹，便讓他讀了哲學(xué)。莫林在巴黎高師學(xué)習(xí)了幾年之后，放棄了對哲學(xué)的幻想而轉(zhuǎn)學(xué)數(shù)學(xué)。他師從亨利卡坦（Henri Cartan）并在1957年進(jìn)入國立科研中心（Centre National de la Recherche Scient

11、ifique）擔(dān)任研究員 此時(shí)的莫林已經(jīng)因?yàn)榍蛎嫱夥难芯慷∮忻麣?。后來他又師從雷奈桑姆（René Thom），在1972年完成了關(guān)于奇點(diǎn)理論的論文拿到了博士學(xué)位，又在高級研究院工作了兩年。莫林一生的大部分時(shí)間都在斯特拉斯堡大學(xué)（Université de Strasbourg）任教并于1999年退休。1959年，史蒂芬斯梅爾（Stephen Smale）證明了一個(gè)令人驚奇的定理：所有n維球面的歐氏空間浸入都是正則同倫的。這就意味著三維球體對三維空間的標(biāo)準(zhǔn)浸入和反浸入是正則同倫的。這也就是說球面可以外翻或者說把里面翻到外面來。然而，根據(jù)斯梅爾論文里構(gòu)造球面外翻顯

12、得過于復(fù)雜。十九世紀(jì)六十年代早期，阿諾德夏皮羅（Arnold Shapiro）做出了一種球面外翻的方法但并未發(fā)表。他把這種方法解釋給了莫林，而莫林也已經(jīng)獨(dú)立構(gòu)思出了類似的想法。物理學(xué)家馬賽爾弗諾薩特（Marcel Froissart）也對這個(gè)問題有興趣并向莫林建議了一個(gè)關(guān)鍵性的簡化步驟而莫林制作陶模型正是為了和弗諾薩特合作。1967年，莫林首次展示了能夠進(jìn)行球面外翻的同倫。史蒂芬斯梅爾（Stephen Smale）加州大學(xué)伯克利分校的查爾斯皮尤（Charles Pugh）借助莫林的陶模型的照片構(gòu)建了外翻不同階段的雞籠模型。1976尼爾森麥克斯（Nelson Max）制作的的著名紀(jì)錄片球面外翻就

13、用了對皮尤模型測量的結(jié)果，麥克斯現(xiàn)在是勞倫斯利弗莫爾國家實(shí)驗(yàn)室（Lawrence Livermore National Laboratory）的數(shù)學(xué)工作者。這部紀(jì)錄片是計(jì)算機(jī)圖形史上的奇跡。實(shí)際上莫林的球面外翻有兩種方法。一開始他也不知道影片中記錄的是哪一種。他詢問了看過影片的同事，不過據(jù)他回憶“沒人能說出到底是哪一種。”自麥克斯的紀(jì)錄片問世以后，世界上已經(jīng)出現(xiàn)了其它的外翻方法，也產(chǎn)生了記錄這些新方法的影片。其中一種外翻方法是低維拓?fù)涞闹亓考壢宋锿诡D（William Thurston）發(fā)明的。瑟斯頓發(fā)明了一種能夠從斯梅爾的原始證明中構(gòu)造的方式。幾何中心的影片從外到內(nèi)記錄了這種外翻方法。馬

14、薩諸塞大學(xué)安姆斯特分校審判（University of Massachusetts at Amhers）的羅布庫什納（Rob Kusner）發(fā)現(xiàn)了另外一種方法，他還提出了最小能量法可以用來做出莫林的外翻。伊利諾斯大學(xué)的數(shù)學(xué)工作者約翰M沙利文（John M. Sullivan），喬治弗朗西斯（George Francis）和斯圖爾特列維（Stuart Levy）在1998年拍攝的紀(jì)錄片最優(yōu)外翻記錄了庫什納的這一想法。雕塑家、圖形動(dòng)畫專家斯圖爾特迪克森（Stewart Dickson）用最優(yōu)外翻中的數(shù)據(jù)為一個(gè)名叫“感知數(shù)學(xué)”的活動(dòng)（該活動(dòng)旨在制作盲人可以使用的幾何體模型）制造出了最優(yōu)外翻的不同階段

15、的數(shù)學(xué)模型。一部分模型在2000年9月的法國莫伯日（Maubeuge）舉行的國際藝術(shù)與數(shù)學(xué)研討會(huì)上送給了莫林。莫林開心地將模型放在了自己的客廳里。雙目失明不但絲毫沒有影響莫林非凡的空間想象能力，反而還有所裨益。他說像失明這樣的殘疾，會(huì)讓人的長處更長，短處更短，所以“盲人的優(yōu)缺點(diǎn)都更加突出。”莫林認(rèn)為數(shù)學(xué)想象力分為兩種，一種叫做“時(shí)間想象”，想象的是通過一系列步驟處理的信息，這種想象力能讓人們進(jìn)行長步驟的計(jì)算?！拔业挠?jì)算一直不好，”他說，而且雙目失明讓他的計(jì)算更不好。他擅長的是另外一種想象，他稱之為“空間想象”，這種可以讓人一次性理解所有的信息。想象幾何體的一個(gè)難點(diǎn)是：人們往往只能看見物體的外面

16、，而看不見里面 但里面可能非常復(fù)雜。莫林通過同時(shí)仔細(xì)想象里外兩面，培養(yǎng)出了一種“外翻內(nèi)” 或者是從一塊空間移動(dòng)到另一塊空間的能力，而這種空間想象似乎更依賴于觸覺而非視覺?！拔覀兊目臻g想象是靠觸摸物體拼起來的”，莫林說，“你可以在手上把玩模型，而不是用眼睛看。這樣的話外面和里面就只和你對模型的動(dòng)作有關(guān)了。”因?yàn)樗煜び|覺信息了，可以在把玩一個(gè)模型幾個(gè)小時(shí)之后幾年都記得其形狀。幾何：純思考2001年七月，在德國著名的黑森林?jǐn)?shù)學(xué)研究所（Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach）的一次會(huì)議中，伊曼紐爾吉魯（Emmanuel Gir

17、oux）做了關(guān)于他最近的工作的報(bào)告，報(bào)告的題目是接觸結(jié)構(gòu)和打開的書分解。盡管吉魯雙目失明，他的報(bào)告仍然是這一周會(huì)議中最清晰、最有條理的 也可能這都是失明的貢獻(xiàn)。他坐在投影儀旁一張張地?fù)Q幻燈片，顯然他很清楚每張幻燈的準(zhǔn)確內(nèi)容。他用手比劃出自己對于一個(gè)幾何體是如何接觸另一個(gè)邊界的精確描述。之后，聽眾中有些人回憶起了吉魯?shù)牧硪粓鰣?bào)告：報(bào)告中他像放電影一樣，一幀幀地清晰描述了某個(gè)數(shù)學(xué)現(xiàn)象?！斑@是我做事的方法，我的風(fēng)格是盡可能的清晰”，吉魯說，“不過，我經(jīng)常也因?yàn)槠渌麛?shù)學(xué)工作者無法解釋他們在黑板上寫了些什么、畫了些什么而非常沮喪。”所以，他講得清晰，部分原因是為了向那些視力正常但講得使人云里霧

18、里的同事的抗議。吉魯十一歲就雙目失明。他注意到大部分盲人數(shù)學(xué)工作者都是研究幾何的可是為什么是幾何呢？這可是最需要“看見”的數(shù)學(xué)領(lǐng)域啊！“其實(shí)只是純思考。”吉魯回答會(huì)說。他解釋說，例如在分析學(xué)中，一個(gè)人必須得計(jì)算，一行一行做。用盲文就很麻煩：寫點(diǎn)東西得打一大堆孔，讀的時(shí)候還得翻過來摸。這樣一來寫很長的計(jì)算式就非常困難（將來隨著無紙書寫工具例如可重寫盲文工具的發(fā)展，這可能容易一些）。而相比起來，“搞幾何學(xué)，內(nèi)容就集中的多，你可以全裝在腦子里?！奔斦f。到底裝在腦子里的是什么，這很神秘，還不一定是圖形圖形是一種表示數(shù)學(xué)對象的方法，但卻不是思考對象的方法。阿里克謝索辛斯基（Alexei Sossins

19、ki）指出，許多盲人數(shù)學(xué)工作者研究幾何并不奇怪。一個(gè)視力健全的人的空間想象力是來自于大腦對于三維世界投射在視網(wǎng)膜上的二維圖像的分析能力，而盲人的則來自于大腦對觸覺和聽覺信息的分析。無論哪種情況，大腦都會(huì)根據(jù)感官信息而靈活地建立起空間表達(dá)。索辛斯基指出，對復(fù)明的盲人的研究表明：人具有與生俱來的理解基本拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（例如一個(gè)東西上有多少個(gè)洞）的能力?！皠倧?fù)明的時(shí)候，他無法分辨出一個(gè)正方形和一個(gè)圓，”索辛斯基寫道，“只能覺察到它們拓?fù)涞葍r(jià)。但是他們立即就能注意到圓環(huán)和球的不同?！彼餍了够谒较碌恼勗捓镎f到，視力正常的人們有時(shí)會(huì)對三維空間產(chǎn)生錯(cuò)覺，原因是視網(wǎng)膜上的二維投影信息既不充足又誤導(dǎo)人?！懊と耍ㄍㄟ^

20、其他感覺）建立其一個(gè)沒有形變的、直接的三維空間的感覺?！敝辽僮园乩瓐D以來，人們很長時(shí)間一直試圖理解空間想想能力。柏拉圖（Plato）相信，無論人是否失明，理解空間關(guān)系的能力都是一樣的。而笛卡爾（Descarte）根據(jù)視力受損的人們通過觸摸來認(rèn)知形態(tài)，在1637年的方法論中聲稱人們在頭腦中構(gòu)造模型的能力是天生的。十八世紀(jì)晚期，狄德羅（Diderot）在研究中接觸了盲人，并總結(jié)說人們可以僅靠觸覺就良好地感知三維物體。他還發(fā)現(xiàn)大小的變化對盲人而言并不是問題，盲人可以“在頭腦中放縮形體。這種空間想象往往是靠回憶和重新組合對物體的感覺。”近幾十年有許多關(guān)于盲人空間想象力的研究。流行的觀點(diǎn)是盲人的空間想象

21、力比視力健全的人更弱或者更差。但也有學(xué)者不同意這種觀點(diǎn)：盲人以及視力健全的人的空間想像能力在執(zhí)行許多普通任務(wù) 比如記憶走路路線的時(shí)候并無差異。分析學(xué)的挑戰(zhàn)并非所有的盲人數(shù)學(xué)工作者都研究幾何。盡管分析學(xué)對失明人來說是個(gè)棘手的問題，但還是有不少人選擇了分析學(xué) 比如勞倫斯拜吉特（Lawrence Baggett）。他已經(jīng)在科羅拉多大學(xué)波爾得分校（University of Colorado at Boulder）任教三十五年了。他五歲失明，但從小就喜歡數(shù)學(xué)，可以在頭腦中做許多思維體操。他從沒學(xué)過除法的正規(guī)計(jì)算法因?yàn)橛妹の膩碜鲩L除法太復(fù)雜了 可是他發(fā)明了自己的除法計(jì)算法。

22、盲文書籍很有限，他便讓母親和同學(xué)為他朗讀。他一開始想做律師，因?yàn)椤澳菚r(shí)候盲人都當(dāng)律師”，不過以后上了大學(xué)，他就決定改學(xué)數(shù)學(xué)了。拜吉特說他自己的幾何從來沒學(xué)好，因?yàn)樗麩o法想象那些復(fù)雜的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。不過這并不是因?yàn)樗囊暳θ毕?。他說，要想象一個(gè)四維球體，“我不認(rèn)為看得見能有什么幫助?！庇袝r(shí)候在研究時(shí)他會(huì)想象公式圖表以及提示性的畫面。他在頭腦中反復(fù)思考一個(gè)問題的時(shí)候有時(shí)會(huì)寫點(diǎn)盲文筆記，不過并不常這樣做。“我會(huì)試著念出來，”他解釋說，“我經(jīng)常踱著步子自言自語。”跟視力健全的同事搭配工作會(huì)比較容易，他們可以幫著查閱資料，或是看懂一長串的式子是什么意思。其他的東西呢，拜吉特說，都和兩個(gè)視力健全的人一樣?？墒?/p>

23、，比如像在黑板上畫個(gè)圖或是列個(gè)式子計(jì)算呢？“他也會(huì)寫給我畫給我！”拜吉特笑著說，同事會(huì)用語言把黑板上的東西描述出來。勞倫斯拜吉特（Lawrence Baggett）拜吉特并不覺得他心算能力強(qiáng)?！拔矣X得視力健全的數(shù)學(xué)工作者也可以心算很多東西，”他說，“不過還是寫在紙上方便?！庇幸患伦糇C了這一點(diǎn)：某年冬天拜吉特在波蘭參加一次會(huì)議，會(huì)議大廳的燈忽然滅了，頓時(shí)一片漆黑，可作報(bào)告的沒有停?！八e了分，進(jìn)行了傅立葉變換，大家都跟得上，”拜吉特回憶說，“這說明一點(diǎn)：可以不要黑板，只是黑板更方便?！泵と藬?shù)學(xué)教授必須有新的教學(xué)方法。有些人是這樣的：在黑板上書寫的時(shí)候第一行齊眉，第二行齊唇，第三行齊頸等等。拜吉

24、特也用黑板，不過更多的是為了調(diào)整講課的節(jié)奏而非系統(tǒng)地傳遞信息好讓學(xué)生抄筆記。實(shí)際上他會(huì)告訴學(xué)生們：不要抄板書，要記說的話?！拔覍懓鍟皇菫榱俗屛业恼n看起來跟其他人一樣，”他說，“許多學(xué)生選擇在我的課上用不一樣的方法學(xué)習(xí)，他們做到了?！卑菁赜肨EX出考題，還建了一個(gè)網(wǎng)站來存放家庭作業(yè)和其他信息。打分方面，他本可以讓別人代打，“不過這樣我就聽不到學(xué)生的反饋了”，所以他就采取了各種打分方式：諸如讓學(xué)生根據(jù)自己的作業(yè)進(jìn)行口頭報(bào)告等等。很明顯，拜吉特對教學(xué)的熱愛，對學(xué)生的關(guān)心讓他克服了失明給他帶來的局限性。交流方式諾伯托薩利納斯（Norberto Salinas）二十世紀(jì)六十年代在阿根廷長大，自十歲起

25、就失明了。跟拜吉特一樣，他周圍盲人的“標(biāo)準(zhǔn)職業(yè)”也是當(dāng)律師，這樣一來就沒有什么數(shù)學(xué)物理的盲文資料。不過薩利納斯的父母會(huì)給他朗讀并且錄音。他的土木工程師的父親問自己在布宜諾斯艾利斯大學(xué)（University of Buenos Aires）數(shù)學(xué)物理系的朋友，兒子是否能參加入學(xué)考試。由于薩利納斯考了最高分，于是學(xué)校允許他入學(xué)。在數(shù)學(xué)史雜志關(guān)于盲人數(shù)學(xué)工作者的網(wǎng)上討論組中，倫敦大學(xué)帝國理工學(xué)院的愛德華多奧爾蒂斯（Eduardo Ortiz）回憶起他在布大的分析課堂上考核薩利納斯的情景：當(dāng)時(shí)他在奧爾蒂斯的手掌上畫圖來表現(xiàn)圖形信息。后來奧爾蒂斯用這種方法來在帝國理工學(xué)院教其他的盲人學(xué)生。薩利納斯在秘魯短

26、暫地教過書，之后去美國密歇根大學(xué)讀了博士，目前他在堪薩斯大學(xué)任教。薩利納斯說他經(jīng)常喜歡把錄音資料轉(zhuǎn)換成盲文，這一步驟幫助他掌握知識。他設(shè)計(jì)了一套表示數(shù)學(xué)符號的盲文，并在二十世紀(jì)七十年代協(xié)助設(shè)計(jì)了一套表示數(shù)學(xué)符號的西班牙語盲文標(biāo)準(zhǔn)。美國的數(shù)學(xué)符號盲文標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)梅斯代碼，是由十九世紀(jì)五十年代一位盲人數(shù)學(xué)工作者、計(jì)算機(jī)教授亞伯拉罕內(nèi)梅斯（Abraham Nemeth）發(fā)明的（內(nèi)梅斯現(xiàn)在已經(jīng)從底特律大學(xué)退休）。內(nèi)梅斯代碼繼承了普通的六點(diǎn)式盲文的格式并用來表示數(shù)字和數(shù)學(xué)符號，并使用特殊指示符號來將數(shù)學(xué)符號和普通文字區(qū)別開來。標(biāo)準(zhǔn)盲文顯然不是為科技資料所設(shè)計(jì)的，因?yàn)樗B最普通的科技符號也表示不了，甚至連數(shù)字也

27、必須用字母表示（例如用a表示1，b表示2，c表示3等等）。內(nèi)梅斯代碼學(xué)起來不簡單，因?yàn)橥瑯拥淖址诿の闹惺且粋€(gè)意思，在內(nèi)梅斯代碼中是另外一個(gè)意思。然而它對協(xié)助盲人 尤其是盲人學(xué)生 閱讀科技材料而言卻非常重要。薩利納斯和俄勒岡州立大學(xué)（Oregon State University）的一位盲人物理工作者約翰加德納（John Gardner）發(fā)明了一套新的代碼GS8。GS8使用八個(gè)點(diǎn)，而標(biāo)準(zhǔn)盲文六個(gè)點(diǎn)，多出來的兩個(gè)點(diǎn)是留給數(shù)學(xué)符號的，這樣一來就能表示二百五十五個(gè)字符，而不是標(biāo)準(zhǔn)盲文的六十三個(gè)了。另外，GS8的語法也是基于LaTeX的，這就使得GS8文件和LaTeX文件可以互相轉(zhuǎn)

28、化。計(jì)算機(jī)為盲人打開了一個(gè)全新的可以交流的世界。像Jaws或者SpeakUp這樣的屏幕朗讀軟件可以用合成語音將屏幕上的文字讀出來。不過很可惜，這些程序讀包含數(shù)學(xué)符號的文字的時(shí)候都表現(xiàn)不佳。有些盲人數(shù)學(xué)工作者只用這些軟件閱讀郵件或是上網(wǎng)（隨著圖片用的越來越多，上網(wǎng)對盲人來說也越來越復(fù)雜。）康奈爾大學(xué)的一位計(jì)算機(jī)科學(xué)家拉曼（T. V. Raman）開發(fā)了一個(gè)名叫AsTeR的程序，這個(gè)程序可以輸入一個(gè)TeX文件，然后輸出一個(gè)用合成語音朗讀的聲音文件，數(shù)學(xué)公式和文字都能朗讀。加德納也開發(fā)了一個(gè)軟件TRIANGLE，也帶語音合成但比AsTeR更簡單，這個(gè)軟件還帶一個(gè)LaTeX和GS8代碼互相轉(zhuǎn)換的程序。有些盲人數(shù)學(xué)工作者直接閱讀TeX源文件。吉魯就用一臺(tái)可重寫盲文觸摸屏來閱讀。他說，錄制一篇論文的錄音對他而言更好，不過在錄音之前他要先看一下自己是否對文章感興趣。閱讀TeX源文件能讓他迅速直接地了解論文。當(dāng)然，TeX文件是設(shè)計(jì)給電腦而