空間解析幾何與向量代數(shù)

1、高等數(shù)學(xué)（B）向量代數(shù)與空間解析幾何練習(xí)題及解答1、 已知， ，的坐標(biāo)式？與平行的單位向量？方向余弦？ 解：1） 2) 3） 4）與平行的單位向量為：。2、 設(shè)直線與直線平行，求。 解：，因?yàn)閮芍本€平行，所以。3、 已知平面：與平面：垂直，求。 解：，因?yàn)閮善矫娲怪?，所?、 已知平面與直線垂直，求B，m。 解：，因?yàn)榇怪?，所以?。5、 求由為鄰邊組成的平行四邊形的面積。 解：由兩向量叉積的幾何意義知：以，為鄰邊組成的平行四邊行的面積 ，因?yàn)?故。6、 求以為頂點(diǎn)的三角形面積。 解：該三角形的面積即為以為鄰邊組成的平行四邊行的面積的一半，即 ，因?yàn)?所以。7、 已知向量與軸夾角分別為，求A點(diǎn)

2、坐標(biāo)。解：由已知：，因?yàn)?，故或因?yàn)椋訟點(diǎn)的坐標(biāo)為或。8、 設(shè)，求，。解：1）=， 2）。9、 求過軸與點(diǎn)的平面方程。解1：設(shè)所求平面為，法向量為，因?yàn)槠矫孢^軸，故，又在上， 所以取，由平面的點(diǎn)法式知所求平面的方程為：。解2：由題意可設(shè)平面方程為，因?yàn)檫^，所以，故平面方程為。10、求過點(diǎn)且與平面都垂直的平面方程。解：設(shè)所求平面為，法向量為，由已知，可以取，其中， ，由平面的點(diǎn)法式知所求平面的方程為：。11、求過點(diǎn)且與直線垂直的平面方程。 解：設(shè)所求平面為，法向量為，由已知：直線的方向向量取為 ，因?yàn)槠矫媾c直線垂直，所以平面的法向量與直線的方向向量平行，故可以取，由平面的點(diǎn)法式知所求平面的方程

3、為：。12、求點(diǎn)到平面距離。解：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為則有。13、求與平面平行且相距為3的平面方程。解：設(shè)為平面上一點(diǎn)，它與已知平面的距離為3，由平面外一點(diǎn)到平面的距離公式知： ，故所求的平面方程為或。14、求過直線且與平面垂直的平面方程。 解：利用平面束方程來解，設(shè)過直線的平面束方程為： ，因?yàn)榕c平面垂直，故 ，所以所求的平面方程為： 。15、求平面與三坐標(biāo)面圍成的四面體的體積。 解：先將平面方程化為截距式：，其與三坐標(biāo)軸的截距為 6、-3、2。所以所求的四面體體積為。16、求過點(diǎn)且與直線平行的直線方程。 解：設(shè)所求的直線為，其方向向量為，已知直線的方向向量取為，因?yàn)閮芍本€平行，故取，由直線的對

4、稱式知所求的直線方程為。17、將直線方程化為對稱式與參數(shù)式。解：1）先求平面上一點(diǎn)，令代入上面直線方程 2）由已知可以取直線的方向向量 3）直線的對稱式方程為： 參數(shù)式方程為其中為參數(shù)。18、求直線與直線的夾角。解：直線的方向向量設(shè)為，則可以取為，兩直線的夾角即為兩直線方向向量之間的夾角，設(shè)其夾角為，因?yàn)椋浴?9、求直線與平面的夾角。 解：設(shè)直線的方向向量為，則，設(shè)平面的法向量為，則， 設(shè)直線與平面的夾角為，而方向向量與法向量的夾角為，由直線與平面夾角知 ，故。20、將面上的曲線分別繞軸、軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程。 解：1）繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：； 2）繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)曲