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1、2011年春季中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所課程年春季中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所課程計(jì)算流體力學(xué)計(jì)算流體力學(xué) 李新亮李新亮Tel: 82543801力學(xué)所主樓力學(xué)所主樓219參考數(shù)目:參考數(shù)目: 傅德薰等:傅德薰等:計(jì)算流體力學(xué)計(jì)算流體力學(xué),計(jì)算空氣動(dòng)力學(xué)計(jì)算空氣動(dòng)力學(xué) 閻超:閻超:計(jì)算流體力學(xué)方法及應(yīng)用計(jì)算流體力學(xué)方法及應(yīng)用, 任玉新等:任玉新等: 計(jì)算流體力學(xué)基礎(chǔ)計(jì)算流體力學(xué)基礎(chǔ) J. Blazek: Computational Fluid Dynamics: Principles and Applications E. F. Toro: Riemann Solvers and numerical met

2、hods for fluid dynamics 1Copyright by Li Xinliang講義、課件上傳至講義、課件上傳至 (流體中文網(wǎng))(流體中文網(wǎng)) - “流體論壇流體論壇” -“ CFD基礎(chǔ)理論基礎(chǔ)理論”也可到如下網(wǎng)址下載:也可到如下網(wǎng)址下載:http:/cid- 流體力學(xué)基本方程流體力學(xué)基本方程 計(jì)算流體力學(xué)計(jì)算流體力學(xué)(CFD) 的概念及意義的概念及意義 流體力學(xué)的基本方程流體力學(xué)的基本方程 偏微分方程組的類型偏微分方程組的類型 重點(diǎn)重點(diǎn): 流體力學(xué)基本概念:連續(xù)介質(zhì)假設(shè),流動(dòng)描述方法流體力學(xué)基本概念:連續(xù)介質(zhì)假設(shè),流動(dòng)描述方法 N-S方程及其無量綱化(熟記);方程及其無量綱

3、化(熟記); 雙曲型方程性質(zhì);雙曲型方程性質(zhì);2Copyright by Li Xinliang 計(jì)算流體力學(xué)計(jì)算流體力學(xué): Computational Fluid Dynamics 簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱CFD第一章第一章 緒論緒論3Copyright by Li Xinliang計(jì)算流體力學(xué)是通過計(jì)算流體力學(xué)是通過數(shù)值方法數(shù)值方法求解流體力學(xué)控求解流體力學(xué)控制方程,得到流場(chǎng)的制方程,得到流場(chǎng)的離散的定量描述離散的定量描述,并以此,并以此預(yù)測(cè)流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的學(xué)科預(yù)測(cè)流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的學(xué)科CFD: 通過離散求解流動(dòng)方程得到流動(dòng)信息流動(dòng)控制方程流動(dòng)控制方程 理論解理論解(解析解)(解析解)精確解:精確解: Pois

4、euille解,解, Blasius解,解, Plantdl 湍流邊界層解湍流邊界層解漸進(jìn)解、近似解:漸進(jìn)解、近似解: Stokes解解數(shù)值解數(shù)值解差分法、差分法、 有限體積法、邊界元法、譜(元)方法、有限體積法、邊界元法、譜(元)方法、 粒子方法粒子方法 借助計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)數(shù)值求解借助計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)數(shù)值求解在計(jì)算機(jī)產(chǎn)生之前,數(shù)值方法已然產(chǎn)生在計(jì)算機(jī)產(chǎn)生之前,數(shù)值方法已然產(chǎn)生 方程復(fù)雜(非線性偏微方程組),方程復(fù)雜(非線性偏微方程組), 解析解很難獲得解析解很難獲得4Copyright by Li Xinliang計(jì)算流體力學(xué)計(jì)算流體力學(xué)(CFD): (CFD): 在航空航天領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用在航空

5、航天領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用 1970 1970 年代,年代, 飛機(jī)設(shè)計(jì)主要依賴風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)飛機(jī)設(shè)計(jì)主要依賴風(fēng)洞實(shí)驗(yàn) YF-17 YF-17研制,風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)研制,風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)13,50013,500小時(shí)小時(shí) 19801980年代,年代,CFDCFD逐漸發(fā)展,逐漸發(fā)展, 部分取代實(shí)驗(yàn)部分取代實(shí)驗(yàn) YF-23 YF-23,風(fēng)洞實(shí)驗(yàn),風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)5,5005,500小時(shí),小時(shí),CFDCFD計(jì)算計(jì)算15,00015,000機(jī)時(shí)機(jī)時(shí)YF17YF23YF175Copyright by Li Xinliang 90 90年代,年代, CFD CFD 在飛機(jī)設(shè)計(jì)中發(fā)揮了主力作用在飛機(jī)設(shè)計(jì)中發(fā)揮了主力作用 波音波音777777, C

6、FDCFD占主角占主角 2000 2000 之后,之后, CFD CFD 取代了大部分風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)取代了大部分風(fēng)洞實(shí)驗(yàn) 波音波音787787:全機(jī)風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)僅:全機(jī)風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)僅3 3次次波音787波音777 航天領(lǐng)域,航天領(lǐng)域,CFD發(fā)揮著實(shí)驗(yàn)無法取代的作用發(fā)揮著實(shí)驗(yàn)無法取代的作用 實(shí)驗(yàn)難點(diǎn):復(fù)現(xiàn)高空高速流動(dòng)條件實(shí)驗(yàn)難點(diǎn):復(fù)現(xiàn)高空高速流動(dòng)條件 6Copyright by Li XinliangCFD 面臨的挑戰(zhàn)及主要任務(wù):面臨的挑戰(zhàn)及主要任務(wù):多尺度復(fù)雜流動(dòng)的數(shù)學(xué)模型化多尺度復(fù)雜流動(dòng)的數(shù)學(xué)模型化; 湍流的計(jì)算模型;湍流的計(jì)算模型; 轉(zhuǎn)捩的預(yù)測(cè)模型;轉(zhuǎn)捩的預(yù)測(cè)模型; 燃燒及化學(xué)反應(yīng)模型;燃燒及化學(xué)反應(yīng)模

7、型; 噪聲模型噪聲模型可處理間斷及多尺度流場(chǎng)的高可處理間斷及多尺度流場(chǎng)的高分辨率分辨率、強(qiáng)魯棒性、高效強(qiáng)魯棒性、高效數(shù)值方法;數(shù)值方法; 高精度激波捕捉法;高精度激波捕捉法; 間斷有限元法間斷有限元法; 可處理復(fù)雜外形、易用性強(qiáng)的算法;可處理復(fù)雜外形、易用性強(qiáng)的算法; 復(fù)雜外形復(fù)雜外形 網(wǎng)格生成工作量大網(wǎng)格生成工作量大 多塊分區(qū)算法;多塊分區(qū)算法; 無網(wǎng)格法;無網(wǎng)格法; 粒子算法;粒子算法;7Copyright by Li Xinliang課程安排課程安排 流體力學(xué)基本方程流體力學(xué)基本方程 雙曲型方程組及其間斷(雙曲型方程組及其間斷(RiemannRiemann)解)解 差分法差分法 (1 1

8、):): 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及FourierFourier分析方法分析方法 差分法差分法 (2 2):): 高精度激波捕捉格式高精度激波捕捉格式 差分法差分法 (3 3):): 通量分裂技術(shù)通量分裂技術(shù) 有限體積法(有限體積法(1 1) 有限體積法(有限體積法(2 2) 代數(shù)方程組的求解代數(shù)方程組的求解 不可壓方程的數(shù)值方法不可壓方程的數(shù)值方法 網(wǎng)格生成技術(shù)網(wǎng)格生成技術(shù) 并行計(jì)算編程初步并行計(jì)算編程初步 (MPI Part1)MPI Part1) 并行計(jì)算編程初步并行計(jì)算編程初步 (MPI part2, OpenMP)(MPI part2, OpenMP) 湍流與轉(zhuǎn)捩(湍流與轉(zhuǎn)捩(1 1) 湍

9、流與轉(zhuǎn)捩(湍流與轉(zhuǎn)捩(2 2) 案例教學(xué)案例教學(xué) (1) (1) 1.1. 案例教學(xué)(案例教學(xué)(2 2)8Copyright by Li Xinliang 1.1 流體力學(xué)基本方程組流體力學(xué)基本方程組連續(xù)介質(zhì)假設(shè)連續(xù)介質(zhì)假設(shè)第二章第二章 流體力學(xué)基本方程流體力學(xué)基本方程1. 基本概念基本概念流體質(zhì)點(diǎn):微觀充分大,宏觀充分小流體質(zhì)點(diǎn):微觀充分大,宏觀充分小流體連續(xù)地充滿整個(gè)空間流體連續(xù)地充滿整個(gè)空間 舉例說明流體密度定義舉例說明流體密度定義體積為V的控制體),(zyx平均密度: 控制體內(nèi)流動(dòng)的總質(zhì)量/控制體體積)/(3mkg)(3mV310610910121021103010控制體內(nèi)的平均密度隨

10、體積變化規(guī)律微觀充分大,宏觀充分小控制體太大,有宏觀波動(dòng)控制體太小,有微觀波動(dòng)0( , , )lim( , , )Vx y zx y z流動(dòng)描述方法流動(dòng)描述方法Euler描述描述Lagrange描述描述描述流體信息:密度、速度、壓力、溫度等給出每個(gè)時(shí)刻每個(gè)給出每個(gè)時(shí)刻每個(gè)空間點(diǎn)上的物理量空間點(diǎn)上的物理量),(tzyxff 研究的區(qū)域跟蹤每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn),記跟蹤每個(gè)流體質(zhì)點(diǎn),記錄物理量隨時(shí)間的變化錄物理量隨時(shí)間的變化),(000tzyxff 初始時(shí)刻的位置),(000zyx),(zyx物質(zhì)(隨體)物質(zhì)(隨體)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)fVtfdtdf(場(chǎng))例:例: 乘火車從北京乘火車從北京到上海,一路上記到上海,一路

11、上記錄車廂外的溫度隨錄車廂外的溫度隨時(shí)間變化時(shí)間變化時(shí)間時(shí)間影響影響空間空間影響影響),(000zyxCopyright by Li Xinliang112. 基本方程基本方程基于基于Euler描述描述任意點(diǎn)),(zyx目的:給出目的:給出t時(shí)刻(時(shí)刻(x,y,z)點(diǎn)處物理量(密)點(diǎn)處物理量(密度,速度、壓力、溫度)滿足的方程;度,速度、壓力、溫度)滿足的方程; 通過解方程得到這些物理量;通過解方程得到這些物理量;),(),(),(),(tzyxTtzyxptzyxVtzyx 1) 圍繞圍繞(x,y,z)點(diǎn)取一控制體點(diǎn)取一控制體; 2) 根據(jù)基本定律(質(zhì)量、動(dòng)量、能量守恒)根據(jù)基本定律(質(zhì)量、

12、動(dòng)量、能量守恒), 給出控制體內(nèi)總量(積分量)的變化規(guī)律;給出控制體內(nèi)總量(積分量)的變化規(guī)律; (總質(zhì)量、總動(dòng)量、總能量的變化規(guī)律:(總質(zhì)量、總動(dòng)量、總能量的變化規(guī)律: 積分型方程積分型方程) 3) 令控制體尺度趨近于令控制體尺度趨近于0, 得到得到(x,y,z)點(diǎn)物理量的點(diǎn)物理量的微分型方程微分型方程控制體示意圖xyx特點(diǎn):特點(diǎn): 控制體不動(dòng)控制體不動(dòng) (Euler描述)描述)12控制體質(zhì)量(動(dòng)量、能量)增加控制體質(zhì)量(動(dòng)量、能量)增加=穿過控制面流入穿過控制面流入的凈質(zhì)量(動(dòng)量、能量的凈質(zhì)量(動(dòng)量、能量)數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)化d總質(zhì)量總質(zhì)量總動(dòng)量總動(dòng)量d總能量總能量Ed :質(zhì)量密度,:質(zhì)量密度,

13、單位體積內(nèi)的質(zhì)量單位體積內(nèi)的質(zhì)量 :動(dòng)量密度,:動(dòng)量密度, 單位體積內(nèi)的動(dòng)量單位體積內(nèi)的動(dòng)量E : 能量密度,單位體積內(nèi)的總能量能量密度,單位體積內(nèi)的總能量xyz(不考慮源項(xiàng))VVVEzyxVV2221 2 ()vECTuvw內(nèi)能(完全氣體)動(dòng)能tyxFFzxFFzyFFVtttzzyyxx)()()()(后前下上左右(),(zyx單位時(shí)間單位時(shí)間內(nèi),穿過垂直內(nèi),穿過垂直x軸軸單位面積單位面積流過的流過的質(zhì)量流量質(zhì)量流量(從左向右流過為正)(從左向右流過為正)1vvCpCTpR/;pvpvCC CCR流通量流通量(flux)Copyright by Li Xinliang13控制體質(zhì)量(動(dòng)量、

14、能量)增加控制體質(zhì)量(動(dòng)量、能量)增加=穿過控制面流入穿過控制面流入的凈質(zhì)量(動(dòng)量、能量的凈質(zhì)量(動(dòng)量、能量)xyz),(zyxzzzFzzFyyyFyyFxxxFxxFttttzzyyxx)2/()2/()2/()2/()2/()2/()()(穿過垂直穿過垂直x方向方向單位面積單位面積面元的質(zhì)量通量面元的質(zhì)量通量xyzFFFtxyz xyzFFFtxyz 同樣令,0 xyz EEExyzFFFEtxyz V2222221 2 ()1()12vECTuvwpuvw(1)tyxFFzxFFzyFFVtttzzyyxx)()()()(后前下上左右(物理含義:物理含義: 通量的變化(散度)導(dǎo)致通量的

15、變化(散度)導(dǎo)致凈凈通量通量14控制體質(zhì)量(動(dòng)量、能量)增加控制體質(zhì)量(動(dòng)量、能量)增加=穿過控制面流入穿過控制面流入的凈質(zhì)量(動(dòng)量、能量的凈質(zhì)量(動(dòng)量、能量)計(jì)算流通量計(jì)算流通量問題:?jiǎn)栴}: 如圖,試計(jì)算如圖,試計(jì)算單位時(shí)間單位時(shí)間內(nèi)流過內(nèi)流過右側(cè)單位面積右側(cè)單位面積面元的質(zhì)量、動(dòng)量和總能量。面元的質(zhì)量、動(dòng)量和總能量。注:外力沖量等同于流過的動(dòng)量;注:外力沖量等同于流過的動(dòng)量; 外力做功等同于流過的能量外力做功等同于流過的能量 zy質(zhì)量通量:質(zhì)量通量:uFx動(dòng)量通量:動(dòng)量通量: 流過質(zhì)量附帶的動(dòng)量流過質(zhì)量附帶的動(dòng)量 + 表面上外力的沖量表面上外力的沖量 pVuFxp表面上(單位面表面上(單位

16、面積)所受外力積)所受外力所受外力能量通量:能量通量:流過質(zhì)量附帶的能量流過質(zhì)量附帶的能量 + 表面上外力做功表面上外力做功+ 熱傳遞熱傳遞 xTkVpuEFxEFourier熱傳導(dǎo)定律:熱流與溫度梯度呈正比(向右為正)質(zhì)量附帶動(dòng)量E: 能量密度,單位體積的能量基本概念:基本概念: 應(yīng)力應(yīng)力 (張量)(張量)npnPnp“把物體切開,其內(nèi)部的力就暴露出來把物體切開,其內(nèi)部的力就暴露出來”“切的方向不同,表面上的力也不同切的方向不同,表面上的力也不同”給定切割方向,就能得到表面力給定切割方向,就能得到表面力xxxyxzyxyyyzzxzyzzpppppppppP怎么描述連怎么描述連續(xù)體內(nèi)部的續(xù)體

17、內(nèi)部的力呢?力呢?切切3次就夠了:垂直次就夠了:垂直x軸軸, 垂直垂直y軸,垂直軸,垂直z軸各切一次軸各切一次 沿垂直沿垂直x的平面剖開,的平面剖開,露出的面力露出的面力(,)Txxxxyxzpppp(,)Tyyxyyyzpppp沿垂直沿垂直y的平面剖開,的平面剖開,露出的面力露出的面力xp沿垂直沿垂直z的平面剖開,的平面剖開,露出的面力露出的面力(,)Tzzxzyzzppppypzp沿任意方向切割,暴露出的力如下計(jì)算:沿任意方向切割,暴露出的力如下計(jì)算:npxxpxypyxpyypnpnP局部力的平衡關(guān)系局部力的平衡關(guān)系這個(gè)公式顯示:這個(gè)公式顯示:P是張量是張量什么叫什么叫“張量張量”?矩陣

18、不一定是張量矩陣不一定是張量張量的定義張量的定義廣義牛頓粘性定律:廣義牛頓粘性定律:ijijijpP通常情況下:通常情況下:3/2pFVVVt)( 普通的線性應(yīng)力普通的線性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系:應(yīng)變關(guān)系: klijklijSCP 各向同性假設(shè))(21jkiljlikklijijklC)(,ijjiijkkijVVV)(3/2,ijjikkijijVVV流體特性:流體特性: 靜止流體向各個(gè)方向的壓力相等靜止流體向各個(gè)方向的壓力相等 (帕斯卡定律)(帕斯卡定律)ijijpP靜止部分靜止部分+運(yùn)動(dòng)部分運(yùn)動(dòng)部分通常情況下,第二粘性系數(shù)(膨脹粘性)可忽略03/216基本概念:力與變形的關(guān)系基本概念:力與變形的

19、關(guān)系 (本構(gòu)方程,應(yīng)力(本構(gòu)方程,應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系)應(yīng)變關(guān)系) 流體特性:流體特性: 粘性力與變形速率呈正比粘性力與變形速率呈正比 (牛頓粘性定律)(牛頓粘性定律)靜止流體牛頓實(shí)驗(yàn)示意圖Copyright by Li Xinliang17zyp所受外力kjii ppxzxyxx壓力粘性(剪切力)p壓力(垂直壓力(垂直表面向內(nèi))表面向內(nèi))xxxyxzxyzuFx質(zhì)量通量:質(zhì)量通量:動(dòng)量通量:動(dòng)量通量:xzxyxxxuwuvpuupVuF能量通量:能量通量:)()(xTkwvuEpuxTkVpuEFxzxyxxE穿過穿過x-方向控制面的通量(密度)為:方向控制面的通量(密度)為:穿過y-, z-方向

20、的通量同樣計(jì)算無粘通量無粘通量粘性通量粘性通量Copyright by Li Xinliang18zGyGxGzUFyUFxUFtU321321)()()(EwvuU將其帶入(將其帶入(1)式,得到最終的控制方程)式,得到最終的控制方程(N-S方程)方程):)()(21pEuuwuvpuuUF)()(22pEvvwpvuvvUF)()(23pEwpwwvwuwUF粘性通量無粘通量含義:質(zhì)量(動(dòng)量、能量)的變化含義:質(zhì)量(動(dòng)量、能量)的變化 = 外界輸入的凈質(zhì)量(動(dòng)量、能量)外界輸入的凈質(zhì)量(動(dòng)量、能量)質(zhì)量密度質(zhì)量密度動(dòng)力密度動(dòng)力密度能量密度能量密度13121113121110)(wvuxTk

21、UG23222123222120)(wvuyTkUG33323133323130)(wvuzTkUGRTp補(bǔ)充關(guān)系jidivVxujixuxuiiijjiij),322(),(Copyright by Li Xinliang19)()(21pEuuwuvpuuUFN-S方程各項(xiàng)物理含義剖析方程各項(xiàng)物理含義剖析壓力做功壓力做功流入質(zhì)量帶來的能量流入質(zhì)量帶來的能量單位時(shí)間內(nèi),流經(jīng)垂單位時(shí)間內(nèi),流經(jīng)垂直于直于x-軸單位面積平軸單位面積平面的面的無粘流通量無粘流通量質(zhì)量流量質(zhì)量流量流入質(zhì)量帶來的流入質(zhì)量帶來的x-方向動(dòng)量方向動(dòng)量壓力(提供的沖量)壓力(提供的沖量)流入質(zhì)量帶來的流入質(zhì)量帶來的y-方向動(dòng)

22、量方向動(dòng)量流入質(zhì)量帶來的流入質(zhì)量帶來的z-方向動(dòng)量方向動(dòng)量13121113121110)(wvuxTkUG單位時(shí)間內(nèi),流經(jīng)垂單位時(shí)間內(nèi),流經(jīng)垂直于直于x-軸單位面積平軸單位面積平面的面的粘性流通量粘性流通量粘性力提供的粘性力提供的x-方向沖量方向沖量粘性力提供的粘性力提供的y-方向沖量方向沖量粘性力提供的粘性力提供的z-方向沖量方向沖量由于熱傳導(dǎo)輸入由于熱傳導(dǎo)輸入的熱量的熱量粘性力做功粘性力做功 N-S方程的無量綱化方程的無量綱化無量綱量:無量綱量: 物理量與特征量之比物理量與特征量之比,UTpRR特征量:A 速度速度417.2m/s, 密度密度2.86kg/m3 溫度溫度262K 壓力壓力8

23、8740Pa 速度速度1.85 密度密度 0.62 溫度溫度 0.86 壓力壓力 0.75A點(diǎn)的物理量:點(diǎn)的物理量:有量綱描述有量綱描述無量綱描述無量綱描述優(yōu)點(diǎn):直觀優(yōu)點(diǎn):直觀優(yōu)點(diǎn):便于對(duì)比優(yōu)點(diǎn):便于對(duì)比特征量:特征量: 對(duì)于某物理量,對(duì)于某物理量,人為設(shè)定人為設(shè)定的值的值 (可任意)(可任意)例如,例如, 設(shè)定密度的特征量為:設(shè)定密度的特征量為:*無量綱密度定義為:無量綱密度定義為:*/ 也可以設(shè)定成也可以設(shè)定成其他值,但必其他值,但必須是密度量綱須是密度量綱1.8含義:含義: 密度為特征密度的密度為特征密度的1.8倍倍無量綱形式的優(yōu)點(diǎn):無量綱形式的優(yōu)點(diǎn): 數(shù)值更加簡(jiǎn)潔、便于對(duì)比;數(shù)值更加簡(jiǎn)

24、潔、便于對(duì)比; 一組解可反映一系列(相似的)流動(dòng);一組解可反映一系列(相似的)流動(dòng);缺點(diǎn):缺點(diǎn): 數(shù)值的物理直觀性差數(shù)值的物理直觀性差各有優(yōu)缺點(diǎn),可相互補(bǔ)充 無量綱方式可任意無量綱方式可任意)/(,/,/,/,/,/2*UppTTTLUttUuuLxxzGyGxGzUFyUFxUFtU321321)()()(EwvuU)()(21pEuuwuvpuuUF)()(22pEvvwpvuvvUF)()(23pEwpwwvwuwUF1312111312111Re0)(wvuxTPCUGrp2322212322212RePr0)(wvuyTCUGp3332313332313RePr0)(wvuzTCUG

25、pjidivVxujixuxuiiijjiij),322(Re),(Re),2(222wvueE出現(xiàn)的無量綱參數(shù)出現(xiàn)的無量綱參數(shù): *ReLU)(,*2*TRaaUMa 不同的無量綱方式得到的方程的形式不同不同的無量綱方式得到的方程的形式不同無量綱狀態(tài)方程:無量綱狀態(tài)方程:TMap2121常見的無量綱形式常見的無量綱形式用動(dòng)壓作為特征壓力;可減少一個(gè)無量綱參數(shù)pRT 有量綱量特征量(有量綱)pRT *2*pURTT*2(/)pT RTU*2*aRT*22/1/()RTUMaTMap21N-S方程的簡(jiǎn)化方程的簡(jiǎn)化1) 不可壓縮情況下不可壓縮情況下2) 無粘情況下(無粘情況下(Euler方程)方程

26、)0 V11)(pFVVVt通常:const0dtd2/ )()(VVVVVVVV變形:V1假設(shè)粘性系數(shù)為常數(shù)(溫度變化較小的情況)22Copyright by Li Xinliang0)()()(321zUFyUFxUFtU0 xuctu)()0 ,(xxu方程的精確解:方程的精確解:)(),(ctxtxu含義:含義: 以常速度以常速度c向右傳播。向右傳播。 波形,振幅保持不變波形,振幅保持不變23Copyright by Li Xinliang (常用)特例:常系數(shù)線性單波方程(常用)特例:常系數(shù)線性單波方程 2.2 偏微方程的分類及特征偏微方程的分類及特征基本概念:橢圓型、雙曲型、拋物型

27、方程 1. 一階偏微分方程一階偏微分方程(,)x 初值:uxt=0uxt=t0t=0時(shí)刻與時(shí)刻與t=t0時(shí)刻物理量的分布時(shí)刻物理量的分布txt=t1t=t2t=t3x-ct=const重要概念:重要概念: 特征線特征線自變量空間的一條曲自變量空間的一條曲線,該曲線上物理量線,該曲線上物理量的方程可簡(jiǎn)化的方程可簡(jiǎn)化ABc0 擾動(dòng)波向右傳播:擾動(dòng)波向右傳播: 左端左端(A)需要給定邊界條件;需要給定邊界條件; 右端右端(B)只能被動(dòng)接受,無法給定邊界條件只能被動(dòng)接受,無法給定邊界條件 (即使給定,對(duì)計(jì)算域也無任何影響(即使給定,對(duì)計(jì)算域也無任何影響, 且造成且造成B端的非適定性)。端的非適定性)。

28、c 矩陣矩陣A可對(duì)角化可對(duì)角化 - 雙曲型雙曲型 特征方程(特征方程(3) 有兩個(gè)相同實(shí)根,且無法對(duì)角化有兩個(gè)相同實(shí)根,且無法對(duì)角化 - 拋物型拋物型特征方程(特征方程(3)無實(shí)根)無實(shí)根 - 橢圓型橢圓型對(duì)于變系數(shù)情況,對(duì)于變系數(shù)情況, 局部討論局部討論29Copyright by Li Xinliang4. 討論討論Euler方程組方程組0Utxf(U)(2pEupuuEuf(U)UxxUAf(U)uucucuuu22232223112)2(1)3(2/)3(010UfA將矩陣將矩陣A對(duì)角化對(duì)角化SSA1321000000一維非定常一維非定常Euler方程轉(zhuǎn)化為方程轉(zhuǎn)化為三個(gè)單波方程三個(gè)單

29、波方程: 擾動(dòng)波分別以速度擾動(dòng)波分別以速度 傳播傳播一維非定常流動(dòng):一維非定常流動(dòng):30Copyright by Li Xinliangcucuu321,推導(dǎo)321uuuEuU1213,/,u uuu Eu守恒變量:質(zhì)量守恒變量:質(zhì)量密度、動(dòng)量密度、密度、動(dòng)量密度、能量密度能量密度2112pEu22311(1)()2upuu1221321223223212123) 1()(uuuuuuuuupEupuuffff(U)好性質(zhì):好性質(zhì): 齊次函數(shù)齊次函數(shù)f(U)U)f(5. 雙曲型方程組邊界條件提法雙曲型方程組邊界條件提法0 xvtvjjj變換成為了變換成為了彼此獨(dú)立彼此獨(dú)立的的n個(gè)單波方程個(gè)單波

30、方程方法:方法: 獨(dú)立獨(dú)立給定給定j個(gè)方程的邊界條件個(gè)方程的邊界條件 如果如果 j0, 則在則在左左端給定端給定vj的邊界條件的邊界條件 如果如果 j0, 則在則在右右端給定端給定vj的邊界條件的邊界條件 特點(diǎn):特點(diǎn): 左、右邊界總共給定左、右邊界總共給定n個(gè)邊界條件,各自的個(gè)數(shù)視特征個(gè)邊界條件,各自的個(gè)數(shù)視特征值的符號(hào)確定值的符號(hào)確定ABj=1j=2可推廣到一般的雙曲型方程組可推廣到一般的雙曲型方程組0 xtUAUCopyright by Li Xinliang31條件條件描述描述邊界條件設(shè)定邊界條件設(shè)定 超音速入口超音速入口給定給定3個(gè)邊界條件個(gè)邊界條件 亞音速入口亞音速入口給定給定2個(gè)邊界條件個(gè)邊界條件 超音速出口超音速出口無需給定邊界條件無需給定邊界條件 亞音速出口亞音速出口給定給定1個(gè)邊界條件個(gè)邊界條件

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