彈性力學作業(yè)習題

1、HOMEWORK OF THEORETICAL ELASTICITY1.DATE:2001-9-201. 設地震震中距你居住的地方直線距離為，地層的彈性常數和密度均為已知。假設你在縱波到達秒后驚醒。問你在橫波到達之前還有多少時間跑到安全地區(qū)？試根據，來進行具體估算。2. 假定體積不可壓縮，位移與很小，。在一定區(qū)域內已知，其中，為常數，且，求。3. 給定位移分量，此處為一個很小的常數。求應變分量及旋轉分量。4. 證明其中為轉動矢量。5. 設位移場為，其中為遠小于1的常數。確定在點的小應變張量分量，轉動張量分量和轉知矢量分量。6. 試分析以下應變狀態(tài)能否存在。（1），（2），（3），其中為遠小于1

2、的常數。2.DATE:2001-9-171. 證明對坐標變換，無論為何值均有，2. 利用課堂上給出的各向同性張量表達式，推導各向同性材料的廣義虎克定律。并寫為以楊氏模量E和泊松比來表示的分量表達式。寫出在Voigt記號下的6個Cauchy關系等式。3. 證明，對各向同性彈性體，若主應為，則相應的主應變。4. 證明在各向同性彈性體中，應力張量的主方向與應變張量的主方向一致。5. 各向同性彈性體承受單向拉伸（），試確定只產生剪應變的截面位置，并求該截面上的正應力（?。?. 試推導體積應變余能密度及畸變應變余能密度公式：3.DATE:2001-9-261. 下面應力場是否為無體力時彈性體中可能存在

3、的應力場？如果是，它們在什么條件下存在？（1）；（2）；（3），。其中及均為常數。2. 設有任意形狀的等厚度薄板，體力可以不計，在除上、下表面之外的全部邊界上，受有均勻壓力。驗證及能滿足平衡微分方程、協(xié)調方程及邊界條件，因而就是正確的解答。3.應力函數一般形式 和對應的Beltrami-Michell方程導出在Maxwell應力函數下（，其余為零），書中的(4.7)，(4.8)式。考慮由面積不可壓縮的平行疊層組成的層合板，其層界面以軸為法向，寫出該層合板的約束應力表達式.4.DATE:2001-9-281.若在域V內應力場與體力相平衡，V的邊界S均為力邊界，作用在其上有面力，為S上的單位外法向

4、量。若，為已知，而為待求，求證問題只有在，滿足下列條件時才有解且2. 對各向同性彈性體，若體力為零，試證明3. 將橡皮方塊放在與它同樣體積的鐵盒內，在上面用鐵蓋封閉，在鐵蓋上面作用均勻壓力（圖5-6）。假設鐵盒與鐵蓋可以視為剛體，在橡皮與鐵之間沒有摩擦。試用位移法求橡皮塊中的位移、應變與應力。圖5-64. 圖5-8所示矩形薄板，一對邊均勻受拉，另一對邊均勻受壓。由疊加原理求板的應務和位移。圖5-85. 一矩形截面構件受沿軸向的簡單拉伸及繞、軸的彎矩作用，如圖5-9所示。不計體力。六個應力分量為試用平衡方程和B-M方程求的函數形式。并利用端面邊界條件確定積分常數。（為端部橫截面面積，、軸分別為截

5、面的對稱軸。截面對、軸的慣性矩分別為，設坐標原點處無平移和轉動）6. 在一半平面的邊界處，作用有自平衡的面力。試說明(通過求解)該面力引起的應力場在表面以下呈指數衰減，并以及論證在這一問題上圣維南原理適用。5.DATE:2001-10-21. 課堂上用猜測的方法，并引用唯一性定理，得到了簡單拉伸問題的位移場。請利用已得的應變表達式和六個應變位移關系來嚴格地導出這一位移場。2. 考慮純彎曲問題，在不變彎矩作用下柱體的軸線（即材力中所說的撓度曲線應為一段圓?。６鶕n堂上的推導，橫向撓度均正比于，即為拋物線。試解釋產生這一不同的原因?？紤]由端面反對稱自平衡的面力分布而導致的對矩形梁彎曲問題的修正

6、解。求出制約該修正解衰減指數的特征方程。6.DATE:2001-10-91半徑為的圓截面桿兩端作用扭矩。試寫出此桿的應力函數，并求出剪應力分量，最大剪應力及位移分量。2. 用位移法導出圓軸扭轉的剪應力和扭角公式。3. 若柱體扭轉時橫截面上應力為，證明該柱體截面是圓。C4考慮一個單連通域的橫截面，證明在條件A 和 應力函數可唯一確定。5考慮一個單連通的橫截面，從中切去一個由應力函數等高線所界定的單連通域。試證明：1 新的、雙連通的橫截面所對應的應力函數仍為原來的應力函數。2 該環(huán)形域的扭轉剛度為原問題的扭轉剛度與（挖去的）芯部區(qū)的扭轉剛度之差。7.DATE:2001-10-171. （思考題）無

7、窮長板條含半無窮長裂紋，求，裂尖應力強度因子。 2. （思考題）試推導這張表中的所有結果，并與Saint-Venant假設下的估算結果相比較。形狀扭轉剛度圓橢圓正方形半圓正三角形 ()等腰直角三角形矩形(a>b)N10.140620.228730.263340.280850.291360.298380.3071100.31231000.33121/33. 求裂紋尖端第二項所對應的平面位移和剪應力。論述該項對于何種邊值問題？8.DATE:2001-10-20考慮無體力的平面問題，此時Airy應力函數滿足雙調和方程。1.證明對兩個調和函數和(即和),可構造滿足調和方程。2.利用應力的Airy

8、應力函數表達式（無體力），構造以和表達的應力式。3.考慮一個半平面問題，且在邊界上僅承受正應力，即，證明其所對應的解答可寫為 4.由此證明在邊界僅受正應力的半平面沿邊界必然有 （A）5.你認為上述導致（A）的證明是否嚴格？有無例外情況？9.DATE:2001-10-311. 書中設在厚壁管外套以絕對剛性的外套，使管不能發(fā)生軸向位移。厚壁管受均勻內壓力（圖7-50），試求厚壁管中的應力及位移。圖7-502. 圖7-51所示薄圓環(huán)，在處固定，在處受均勻分布的剪力。以位移法及應力函數法求圓環(huán)中的應力和位移。圖7-513.考慮無窮遠處受均勻剪切的無窮大平面彈性體，平面內有一半徑為的剛性體，它與彈性體理

9、想粘合，即，求解該問題的應力場，并確定沿孔邊環(huán)向應力的最大值及位置。若要保持該剛性體既不移動也不轉動，需要在該剛性體施加力或力偶嗎？10.DATE:2001-11-11習題 1. 圖7-53所示曲梁（二分之一圓環(huán)），其上端周向應力的合力為，對坐標原點的力矩為零。求曲梁的應力。圖7-532. 圖7-54所示橢圓薄板中心有一小圓孔，其半徑為。板的外邊界作用有均勻分布的法向拉應力。試求應力集中系數。圖7-543. 在距地面深為處，挖一直徑為的圓形長孔道，孔道與地面平行（圖7-55）。巖石比重為，彈性模量為，泊松比為。試求孔邊最大應力（絕對值）的值及發(fā)生的位置。4. 推導以復勢和表示的最大剪應力及主應

10、力的表達式。5. 圖8-19所示懸臂薄板，厚度為1，長為，高度為，無體力作用。設復勢為圖8-19其中為實數。求板所受的邊界載荷與所發(fā)生的位移。6. 曲桿如圖8-21所示。在每一端面上受彎矩的作用，桿由半徑為和的圓弧確定，徑向線具有張角。此問題可由形如圖8-21的復勢解決，試確定常數和C (A、B、C可以是復常數)。7. 圖8-22所示圓柱體受內壓及外壓作用。試作如下應力函數圖8-22確定其應力和位移分量。（考慮平面應力情況）8.思考題 求解下列曲梁11.DATE:2001-12-21在Boussnesq解系中，利用解E并取，找出其對應的應力和位移場。證明由（為錐角）所定義的錐體表面無面力作用。并利用該結果求一個傳遞扭矩為T的錐體中的應力場。10-4 用余虛功原理計算圖10-22中半圓曲梁中點處向上的鉛直位移。圖10-22提示：計算中略去軸力及剪刀的影響。圓環(huán)曲率半徑