九上(教師)相似三角形講義

1、第 1 講 相似圖形與成比例線段【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、 從生活中形狀相同的圖形的實例中認(rèn)識圖形的相似，理解相似圖形概念。2、了解成比例線段的概念，會確定線段的比?！緦W(xué)習(xí)重點】相似圖形的概念與成比例線段的概念?！緦W(xué)習(xí)難點】成比例線段概念?！緦W(xué)習(xí)過程】知識點一：比例線段定義：對于四條線段 a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們長度的比）與另外兩a c條線段的比 相等 ，如果，那么就說這四條線段 a、b、c、d 叫做成比例線段,b d簡稱比例線段。例：如四條線段的長度分別是4cm、8cm、3cm、6cm 判斷這四條線段是否成比例？43解：Q這四條線段是成比例線段8 6練習(xí)一：AB CD AC AC1

2、、如圖所示：（1 ）求線段比BC、DE、BE、CD（2 ）試指出圖中成比例線段2、線段 a、b、c、d 的長度分別是 30mm、2cm、0.8cm、12mm 判斷這四條線段是否成比例?4、 已知 A、B 兩地的實際距離是 250m 若畫在圖上的距離是 5cm,則圖上距離與實際距離 的比是_5、 已知線段 a=、b =2 J3、c=2 J3、若旦，則x=_ 若y 0，2b xy c貝 yy =_3、線段 a、b、c、d 的長度分別是,2、3、2、6判斷這四條線段是否成比例?6、下列四組線段中，不成比例的是()()知識點二：比例線段的性質(zhì)比例性質(zhì)是根據(jù)等式的性質(zhì)得到的，推理過程如下：（1） 基本性

3、質(zhì):如果-，那么ad bc（兩邊同乘bd，Q bd 0）b d在abcd0的情況下，還有以下幾種變形b d a、b、c da c cda b（2） 合比性質(zhì):如果-，那么a bc db dbd例 2 填空:如果a2，則a=2b: :- 、2_3= =、a b 5-= =、a b1b33ab3_b3練習(xí)二：a3ab1、已知一求-b5ababcm a 2b3c2、若一則-=J、zlI234a3、已知mxny，則下列各式中不正確的是（）mxmny mx yAB CD -nyyxx nn m4、已知5x7y0,則-=y5、已知xyzx y，求z345x yz（3） 等比性質(zhì)：如果旦 -b d| LL-

4、b dnf L L n 0,a c e L Lmab d f L Lnb那么A a=3 b=6 c=2 d=4B a=1 b= 一2c=3d=、_6C a=4 b=6 c=5 d=10D a=、,2b=、3c=2 d=、611第 2 講平行線分線段成比例【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解掌握平行線分線段成比例定理，會用符號“S”表示相似三角形，如厶 ABCsABC;2. 知道相似多邊形的主要特征3. 會根據(jù)相似多邊形的特征識別兩個多邊形是否相似，并會運(yùn)用其性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的計算?！緦W(xué)習(xí)重點】理解掌握平行線分線段成比例定理及應(yīng)用相似多邊形的主要特征與識別。【學(xué)習(xí)難點】掌握平行線分線段成比例定理應(yīng)用.運(yùn)用相似多邊

5、形的特征進(jìn)行相關(guān)的計算。【學(xué)習(xí)過程】知識點三：平行線分三角形兩邊成比例線段(1)如圖 27.2-1),任意畫兩條直線11,12,再畫三條與l1,12相交的平行線丨丨3丨丨4,丨丨5.分別 量度13,14,15.在11上截得的兩條線段 AB, BC 和在12上截得的兩條線段 DE, EF 的長度，AB:BC 與 DE：EF 相等嗎？任意平移I5,再量度 AB, BC, DE, EF 的長度,AB : BC 與 DE：EF 相等嗎?(2)問題，AB：AC=DE (), BC：AC=( ) :DF.強(qiáng)調(diào)“對應(yīng)線段的比是否相等”(3)歸納總結(jié)：平行線分線段成比例定理三條_截兩條直線，所得的_ 線段的比

6、_。應(yīng)重點關(guān)注：平行線分線段成比例定理中相比線段同線；EK4）例 1 如圖、若 AB=3cm BC=5cm EK=4cm 寫出活動 2平行線分線段成比例定理推論KFABAC。 求 FK 的長？思考：1、如果把圖 27.2-1 中11,12兩條直線相交，交點 A 剛落到13上，如圖 27.2-2 (1), 所得的對應(yīng)線段的比會相等嗎？依據(jù)是什么?2、如果把圖 27.2-1 中l(wèi)i,12兩條直線相交，交點 A 剛落到丨丨4上，如圖 27.2-2 （2）,所得的對應(yīng)線段的比會相等嗎？依據(jù)是什么？3、任意平移15,再量度 AB, BC, DE, EF 的平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊 的延長

7、線）所截得的對應(yīng)線段成比例3、歸納總結(jié)：平行線分線段成比例定理推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊延長線），所得的_一對應(yīng)_ 線段_成比例_BC, BD 3cm, DC 2cm, BE 5cm求 EA 的長例 1:如圖在ABC中，C 90 ,DE解：Q C90 DEBCAC/DEBDBEDCEAQ BD3cm, DC2cm, BE5cmBDBE 3510- EA= DCEA 2EA3例 2 如圖，在 ABC 中，DE/ BCAD=EC DB=1cm AE=4cm BC=5cm 求 DE 的長.分析：由 DE/ BC 可得 AD3AABC 再由相似三角AD AE形的性質(zhì)，有AD,又由 A

8、D=EC 可求出 AD 的長，再AB AC根據(jù)匹AD求出 DE 的長.BC AB解：鞏固練習(xí)1.如圖,在厶 ABC 中,DE/ BC AC=4 , AB=3 EC=1.求 AD 和 BD.2如圖，在口ABCD 中, EF/ AB, DE:EA=2:3 , EF=4,求 CD 的長.能力提升1 如圖， AB3AAED,其中 DE/BC 找出對應(yīng)角并寫出對應(yīng)邊的比例式.2.如圖， AB3AAED 其中/ ADENB,找出對應(yīng)角并寫出對應(yīng)邊的比例式.歸納判定三角形相似的（預(yù)備）定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所成的三角形與原來三角形相似。這個定理揭示了有三角形一邊的平行線，必構(gòu)成相似三角

9、形，因此在三角形相似的解題中， 常作平行線構(gòu)造三角形與已知三角形相似.練習(xí) 2:1 如圖，在 RtABC中，C 90, DE 丄 AC 交 AB 于 D，交 AC 于 E,如果 DE=5, AE=12 ,AC=28.求 AB 的長1題圖2、在ABC中，DE/BC,交 AB 于 D，交 AC 于 E, F 為 BC 上一點，DE 交 AF 于 G,已AG知 AD=2BD, AE=5，求(1); (2) AC 的長AF43、如圖：在ABC中，點 D、E 分別在 AB、AC 上，已知 AD=3, AB=5, AE=2, EC=,3由此判斷 DE 與 BC 的關(guān)系是 _,理由是_4、如圖：AM : M

10、B=AN : NC=1 : 3,貝 U MN : BC=_5、如圖：在ABC中,C 90，四邊形 EDFC 為內(nèi)接正方形,DF 的比值。AC=5 , BC=3，求：AE:6、在ABC中，D、E 分別在 AB、AC 上，且 DE/BC，如果及 EC 的長。AD-，且 AC= 10, 求 AE7.如圖，DE/ BC, (1)如果 AD=2 DB=3 求 DE:BC 的值;(2) 如果 AD=8 DB=12 AC=15 DE=7 求 AE 和 BC 的長.8、如圖，小明在打網(wǎng)球時，使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng) 的高度 h.（設(shè)網(wǎng)球是直線運(yùn)動）5 米的位置上，求球拍擊球第 3 講 相似多邊形【學(xué)習(xí)目

11、標(biāo)】i 知道相似多邊形的主要特征，即：相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等。2會根據(jù)相似多邊形的特征識別兩個多邊形是否相似，并會運(yùn)用其性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的計算?！緦W(xué)習(xí)重點】相似多邊形的主要特征與識別?！緦W(xué)習(xí)難點】運(yùn)用相似多邊形的特征進(jìn)行相關(guān)的計算?！緦W(xué)習(xí)過程】探究研討活動 1觀察，圖 27.1-4(1)中的 ABC 是由正 ABC 放大后得到的，觀察這兩個圖形，它們 的對應(yīng)角有什么關(guān)系？對應(yīng)邊又有什么關(guān)系呢？1、 相似形定義：具有相同形狀 的圖形稱為相似形2、 相似多邊形：對應(yīng)角 相等，對應(yīng)邊成比例的多邊形叫相似多邊形3、 相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等反過來，如果兩個多

12、邊形滿足對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個多邊形相似。3 【結(jié)論】：(1)相似多邊形的特征：相似多邊形的對應(yīng)角 _ ，對應(yīng)邊的比 _ 反之，如果兩個多邊形的對應(yīng)角 _，對應(yīng)邊的比 _，那么這兩個多邊形幾何語言:在ABC 和A1B1C 中若AA；BB1；CC1ABBCACA1B1B1C1A1C1則ABC 和A1B1C1相似(2)相似比：相似多邊形 _ 的比稱為相似比.問題：相似比為 1 時，相似的兩個圖形有什么關(guān)系？結(jié)論：相似比為 1 時，相似的兩個圖形 _ ，因此_形是一種特殊的相似形.例題例 1、（選擇題）下列說法正確的是（A.所有的平行四邊形都相似B所有的矩形都相似C.所有的菱形都相似

13、D所有的正方形都相似分析：A 中平行四邊形各角不一定對應(yīng)相等，因此所有的平行四邊形不一定都相似，故A錯；B 中矩形雖然各角都相等，但是各對應(yīng)邊的比不一定相等，因此所有的矩形不一定都相 似，故 B錯；C 中菱形雖然各對應(yīng)邊的比相等，但是各角不一定對應(yīng)相等，因此所有的菱形 不一定都相似，故 C也錯；D 中任兩個正方形的各角都相等，且各邊都對應(yīng)成比例，因此所 有的正方形都相似，故 D 說法正確，因此此題應(yīng)選 D.例 2、如圖：已知，四邊形 ABCD 與四邊形ABC D相似，求BC,C D長和D大小鞏固練習(xí) 11.在比例尺為 1 : 10 000 000 的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是的實際距離.2

14、如圖所示的兩個直角三角形相似嗎？為什么？10 103如圖所示的兩個五邊形相似，求未知邊a、b、c、d的長度.6ThTib2罷734 如圖，四邊形ABC刖EFG湘似，求角 禾口 的大小和EH的長度X.解：Q四邊形 ABCD:四邊形ABCDA A 150D 360150607575BCA BC DBC5即BCABCD8425BC10C D430 cm，求兩地27.1-6在 RtADE中，AD=5、DE=4練習(xí) 2:3、在ABC中，BC= 15cm, AC = 45cm,AB= 54cm，另一個與它相似的三角形最短邊是5cm,則最長一邊是4、用一個放大鏡看一個四邊形ABCD，若該四邊形的邊長放大 1

15、0 倍后，下列說法正確的是（）長及周長。6正五邊形 ABCDEs正五邊形ABCD E，且A B相似多邊形對應(yīng)邊，周長的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方例 5:如圖：在等腰梯形 ABCD 中，上底為 5,下底為 13,腰長為 5，等腰梯形ABCD與3它相似，相似比為3，求等腰梯形ABCD的周長及面積。2解：由已知得 AB = 5、AD = BC= 5、 DC = 12等腰梯形 ABCD 的周長為 5+5+5+12 = 28Q等腰梯形 ABCDs等腰梯形ABCD設(shè)等腰梯形ABCD周長為 I，則有l(wèi)3,81_ l 27 22貝UEF = AB = 51 下列說法正確的是（）A 任意兩

16、個菱形一定相似C 有一個角是30的兩個等腰三角形相似2、已知AOB 26，在放大鏡里看到的B 任意兩個矩形一定相似D 任意兩個等腰直角三角形一定相似AOB的度數(shù)是_AA是原來的 10 倍B 周長是原來的 10 倍C 每個內(nèi)角都發(fā)生了變化D 以上說法都不對5四邊形 ABCD 與四邊形ABCD相似圖形，且A 與A、B 與B、C 與C是對應(yīng)點，已知 AB=10、BC=8、CD=8、 AD=6、AB 30，求四邊形ABCD的其余三邊的邊ABAB 2，若C D 6，貝 U CD =即 等腰梯形ABCD的周長為 422）過 A、B 分別作AEDC、BF DC1DE = CF =_13 52AE=31等腰梯

17、形 ABCD 的面積為5 133272Q等腰梯形 ABCDs等腰梯形ABCD設(shè)等腰梯形ABCD面積為 S,則有3即等腰梯形ABCD的面積為60-42S 3272S=60 4練習(xí) 3:A 與多邊形 B 相似，且多邊形 A 與多邊形 B 的周長比為 1 : 3，則SB：SA=2、 已知兩個相似多邊形的相似比為5: 7,若較小的一個多邊形的周長為35,則較大的一個多邊形的周長為_ ，若較大的一個多邊形的面積是4，則較小的一個多邊形的面積是_3、 兩個相似多邊形的最長邊分別是70 和 28,它們的周長和為 280，則它們的周長分別為34、 如果把一個 12cm21cm的矩形按相似比為進(jìn)行變換，得到的新

18、矩形的周長為_4面積為_25、 兩個相似多邊形一組對應(yīng)邊的長分別是3cm 和 4cm,它們的面積相差 28cm,求這兩個多邊形的面積分別是多少？知識點五：相似三角形1、相似三角形的定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例的兩個三角形叫做相似三角形。2、相似三角形的判定方法：(1) 判定方法一：定義判定(2) 判定方法二：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊反向延長線)所構(gòu)成的三 角形與原三角形相似 例題 6：如圖：DE/BC，交 AB 于 D、交 AC 于 E,若 AD:DB=2:3,BC=15,求 DE的長解：QDE/BC ADE ABCQAD:DB=2：3DE : BC = 2 : 5QBC

19、= 15DE = 6練習(xí)題 4:1、如圖：DE/BC，則圖中_s1、已知多邊形_,理由是_2、 如圖：AB/EF/DC，則圖中相似三角形有 _ 對，它們分別是 _3、如圖：在ABC中，DE/BC, AD = EC、BD = 1cm, AE= 4cm、BC = 5cm,求 DE 的長A _ B、/0；/ / / CJ D4、如圖：AB/CD, OA: OD= 1: 2, AB = 4cm,貝 U CD 的長為 （）A 2 cmB 6cmC 8 cmD 10 cm5、 如圖：AB/CD，則圖中有 _ 對相似三角形X /CFD朿名直國第 4 課時相似二角形的判定【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.初步掌握“三組對應(yīng)邊的

20、比相等的兩個三角形相似”“兩組對應(yīng)邊的比相等且它們的夾角相等的兩個三角形相似”兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似的判定方法的判定方法，2 能夠運(yùn)用三角形相似的條件解決簡單的問題.【學(xué)習(xí)重點】掌握 3 種判定方法，會運(yùn)用 3 種判定方法判定兩個三角形相似。【學(xué)習(xí)難點】(1 )三角形相似的條件歸納、證明；(2)會準(zhǔn)確的運(yùn)用兩個三角形相似的條件來判定三角形是否相似.【學(xué)習(xí)過程】知識回顧(1) 兩個三角形全等有哪些判定方法？(2) 我們學(xué)習(xí)過哪些判定三角形相似的方法？(3) 相似三角形與全等三角形有怎樣的關(guān)系？探究研討 1活動 11、 如圖，如果要判定 ABCMA B C相似，是不是一定需要一一驗證所有的對

21、應(yīng)角和 對應(yīng)邊的關(guān)系？2、 可否用類似于判定三角形全等的SSS 方法，能否通過一個三角形的三條邊與另一個三角 形的三條邊對應(yīng)的比相等，來判定兩個三角形相似呢？活動 2任意畫一個三角形，再畫一個三角形，使它的各邊長都是原來三角形各邊長的 k 倍, 度量這兩個三角形的對應(yīng)角， 它們相等嗎？這兩個三角形相似嗎？與同學(xué)交流一下，看看是否有同樣的結(jié)論。(1)問題：怎樣證明這個命題是正確的呢？(2 )探求證明方法.(已知、求證、證明)如圖 27.2-4，在 ABCAA B C中，ABBCCA- - - AA BB CC A 求證 ABCAA B C證明：分析：由已知一對對應(yīng)角相等及四條邊長，猜想應(yīng)用“兩組

22、對應(yīng)邊的比相等且它們的夾AB CD角相等”來證明計算得出 ，結(jié)合/ B=ZACD 證明 AB3ADCA 再利用相似CD ACCDAC三角形的定義得出關(guān)于AD 的比例式ACAD，從而求出AD的長.解:例題 2:如圖:BC 平分ABD,AB = 4、證明：QBC 平分ABDAB = 4、BD = 10、BD = 10、BC =2.10，求證： ABC CBDBC =2 10【歸納】三角形相似的判定方法 1判定方法 2:如果一個三角形的兩條邊與另外一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且這兩條邊的夾角相等，那么這兩個三角形相似，簡單說成：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角 形相似。1例 1 已知：如圖，在四

23、邊形 ABCD 中，/ B=ZACD AB=6, BC=4, AC=5, CD=7 求 AD 的2長.如果兩個三角那么這兩個三角形相似.AB ACA.1BC9AB4710BC尿BC 2：105、BD105 ABC CBD三角形相似的判定方法 3:如果一個三角形的兩個角與另一個三角形兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似. 簡單說成：“兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似”直角三角形相似判定方法：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，這兩個直角三角形相似。簡單說成：斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例，則兩直角三角形相似。（分析：要求的是線段 DF 的長，觀察圖形，我們發(fā)現(xiàn)

24、 AB AD AE 和 DF 這四條線段分別 在厶 ABEAAFC 中,因此只要證明這兩個三角形相似，再由相似三角形的性質(zhì)可以得到這四條線段對應(yīng)成比例， 從而求得 DF 的長.由于這兩個三角形都是直角三角形，故有一對直角相等，再找出另一對角對應(yīng)相等，即可用“兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似”的判定方法來證明這兩個三角形相似.）若A A，BB貝U ABCA BC卄ACAB右：則ABCA CAB例 3.已知：如圖，矩形 ABCDh E 為 BCh點,ABCDF 丄 AE 于 F,若 AB=4, AD=5 AE=6 求 DF 勺長.CC 如圖 4，已知點 E 在 ACh,若點 D 在 AB，則滿足條件_

25、 ，就可以使 ADE 與原厶 ABCf 似。鞏固練習(xí)1 、(1)填一填如圖 3，點 D 在 AB，當(dāng)/ACDAABC=z時,2。判斷AAABC與100100ABC是否相似并說明理由。AB = 5cmAC=15 cmA B 4cmA C 12cm3.下列說法是否正確，并說明理由.(1) 有一個銳角相等的兩直角三角形是相似三角形;(2) 有一個角相等的兩等腰三角形是相似三角形.4在ABC和DEF中， 時厶 ABC DEA 30、AB = 8cm、AC=10cm、DE=4cm、DF=5cm 當(dāng)5 如圖：正方形 ABCD 中,6如果在厶 ABC 中/ B=30cm,A C =8cm,這兩個三角形一定相

26、似嗎？試著畫一畫、看一看?7.如圖， ABC 中，點 D、E、F 分別是 AB BC CA 的中點，求證： AB3ADEF(2)8.(1)如圖， ABC 中，點 D 在 AB 上，如果AC=AD?AB 那么 AC與 ABC 似嗎？說說你的理由.(2)如圖， ABC 中，點 D 在 A 吐，如果/ ACD2B,那么 ACDf AB 似嗎?能力提升1.如圖，AB?AC=AD?AE 且/ 仁/ 2,求證： AB3AAED2.已知：如圖,P ABC中線2 _BD=PCPAD3、在 AB（和 A B C中，如果/ A= 80,/ C= 60,/ A= 80,/ B= 40那么這兩個三角形是否相似？為什么

27、?AF4、已知：如圖， ABC 的高 AD BE 交于點 F.求證：BFEFFD.5.已知：如圖，/ 仁/ 2=73,求證： ABCAADE5、如圖：在梯形 ABCD 中，AD/BC, AC 與 BD 相交于 O,若AOD與COB的周長之比為 1: 4，且 BD = 12cm,貝 U BO 的長為_ cm相似三角形的性質(zhì)（2）:相似三角形的面積比等于相似比的平方例題 2：兩個相似三角形一組對應(yīng)邊的長分別是3cm 和 4.5cm，若它們的面積和是 78cm2,則較大的三角形的面積是（）2 2 2 2A 42cmB 52cmC 54cmD 56cm第 5 講相似三角形的性質(zhì)知識點六：相似三角形的性

28、質(zhì)：相似三角形的性質(zhì)（1）相似三角形的周長比等于相似比例題 1:ABC與ADE相似，CE = 15、AE= 30、DE= 40、AD = 20、DE/BC,求ABC的周長解:QDE/BCADEABCAEAEQCE =15、AE= 30QAE =30、DE= 40、AD =20ADE的周長為20+40+30=90設(shè)ABC周長為I則有1= 135 即ABC的周長為 135l 3練習(xí) 1：1、兩個相似三角形的相似比為3: 5,則周長比為2、兩個相似三角形的相似比的平方等于3、兩個相似三角形一對對應(yīng)邊的長分別為三角形的周長分別是_12,周長之比為k則=k 135cm 和 15cm,它們的周長差為 60

29、cm,則這兩個4、如圖：在ABC中，D、E、F 分別是邊 AB、BC、AC 的中點，若ABC的周長為 20cm,則DEF的周長為 （）A 5 cmB 10cm C 12cmAD 15cm練習(xí) 2:1、相似三角形的周長比等于_面積比等于_2、已知兩個相似三角形的對應(yīng)邊的比為1 : 2 則它們的周長比為_面積比為_3、已知 ABCABC，它們的周長分別為 56cm、72 cm,則它們的面積比為 _4、在比例尺為 1: 1000 的地圖上有一塊周長為6cm,面積為 1.2 cm 的區(qū)域，這塊區(qū)域的實際周長為_ 面積為_5、如圖：在ABC中，DE/FG/BC、且 AD = DF = FB ,則SVAD

30、E: S四邊形DEGF: S四邊形FGCB=_相似三角形的性質(zhì)（3）:相似三角形對應(yīng)邊上的高、對應(yīng)邊上的中線對應(yīng)邊上的角平分線的比等于相似比例題 3:如圖：在邊長為 2 的正方形 ABCD 中，E 為 AB 的中點，BMCE、MN BE,求BM : MN解：Q四邊形 ABCD 正方形，邊長為 2, E 是 AB 的中點BE= 1在Rt BCE中，BC = 2、BE = 1CE = . 5過點 M 作 MN BEQEBC EMB E ERt BCEsRt MBECEBM.；5BEMN1練習(xí) 3:1、 兩個相似三角形的對應(yīng)高的比為2: 3,則對應(yīng)角平分線的比為 _ ,對應(yīng)中線的比為_,面積比為_2

31、、 已知兩個相似三角形對應(yīng)角平分線的比為4: 5,周長和為 18cm,那么這兩個三角形的周長分別是_3、 若厶 ABC ABC，它們對應(yīng)中線之比為m,則對應(yīng)周長比為 _,對應(yīng)面積比為4、如圖：在Rt ABC中，DE 垂直且平分 AC、AE/DF,則 DF : BE=_5、如圖：在ABC中，DE/BC、ABC與ADE的相似比為 5: 4,AM BC交 DE 于M、已知 MN = 2,求 AN 的長。第 6 課時相似三角形應(yīng)用舉例（一）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 進(jìn)一步鞏固相似三角形的知識.2. 能夠運(yùn)用三角形相似的知識，解決不能直接測量物體的長度和高度（如測量金字塔高度 問題、測量河寬問題、盲區(qū)問題）等的

32、一些實際問題.3通過把實際問題轉(zhuǎn)化成有關(guān)相似三角形的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)建模的思想，培養(yǎng)分 析問題、解決問題的能力.【學(xué)習(xí)重點】運(yùn)用三角形相似的知識計算不能直接測量物體的長度和高度.【學(xué)習(xí)難點】靈活運(yùn)用三角形相似的知識解決實際問題【學(xué)習(xí)過程】知識回顧1、判斷兩三角形相似有哪些方法？2、 相似三角形有什么性質(zhì)？探究研討 1U *1、問題 1:x S學(xué)校操場上的國旗旗桿的高度是多少？你有什么辦法測量？例 3 :據(jù)史料記載，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾經(jīng)利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成的兩個相似三角形來測量金字塔的高度.如圖，如果木桿 EF 長 2 m，它的

33、影長 FD 為 3 m，測得 OA 為 201 m,求金字塔的高度BO.（思考如何測出 0A 的長？）分析：根據(jù)太陽光的光線是互相平行的特點，可知在同一時刻的陽光下， 豎直的兩個物體的影子互相平行，從而構(gòu)造相似三角形， 再利用相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)已知條件，求出金字塔的高度.解：鞏固練習(xí)在某一時刻，有人測得一高為1.8 米的竹竿的影長為 3 米，某一高樓的影長為 90 米，那么高樓的高度是多少米？（在同一時刻物體的高度 與它的影長成正比例.）AB=13.44m即教學(xué)大樓的高度 AB 是 13.44m探究研討 2已知左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB = 8 m 和 CD = 12 m ,

34、兩樹根部的距離 BD = 5m. 個身高 1.6 m 的人沿著正對這兩棵樹的一條水平直路I 從左向右前進(jìn)，當(dāng)他與左邊較低的樹的距離小于多少時，就不能看到右邊較高的樹的頂端點C?左邊較低的樹的距離小于多少時，就不能看到右邊較高的樹的頂端點C?解:注意：認(rèn)真體會這一生活實際中常見的場景，借助圖形把這一實際中常見的場景，抽象成數(shù)學(xué)圖形，利用相似的性質(zhì)解決這一實際問題，圖形可以滯后給出，先經(jīng)歷這一抽象的過程如果你們對于如何用數(shù)學(xué)語言表述有一定的困難，應(yīng)與老師一起認(rèn)真板書解答過程.經(jīng)典例題例題 1:小強(qiáng)用以下方法來測量教學(xué)樓AB 的高度，如圖所示：在水平地面上放一面平面鏡與教學(xué)樓的距離 EA=21m，當(dāng)

35、他與鏡子的距離 CE=2.5m 時，他剛好能從鏡子中看到教學(xué)大 樓的頂端B,已知他眼睛距地面的高度DC=1.6m，請你幫助小強(qiáng)計算出教學(xué)樓的高度AB為多少米？解：由題意可知BEFDEF、AEFCEFBEADECQ AB ACCDACBAEDCE90 FBEA:DCE；AE CEAB DC/QEA=21m、 CE=2.5m、DC=1.6m解:例題 3:小強(qiáng)用以下方法來測量教學(xué)樓AB 的高度， 如圖所示：在水平地面上放一面平面鏡與教學(xué)樓的距離 EA=21m，當(dāng)他與鏡子的距離 CE=2.5m 時，他剛好能從鏡子中看到教學(xué)大樓的頂端 B,已知他眼睛距地面的高度DC=1.6m，請你幫助小強(qiáng)計算出教學(xué)樓的

36、高度AB為多少米？ 解：由題意可知BEF DEF、AEF CEFBEA DECQ AB AC CD ACBAE DCE 90BEA: DCEAE CE_AB DCQEA=21m、CE=2.5m、DC=1.6mAB=13.44m即教學(xué)大樓的高度 AB 是 13.44m練習(xí)：例題 2:如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標(biāo)P,在近岸取點 Q和 S,使點 P、Q、S 共線且直線 PS 與河垂直，接 著在過點 S 且與 PS 垂直的直線 a 上選擇適當(dāng)?shù)狞cT,確定 PT 與過點 Q 且垂直 PS 的直線 b 的交點R.如果測得 QS = 45 m , ST = 90 m , QR = 6

37、0 m , 求河的寬度 PQ.分析：設(shè)河寬 PQ 長為 x m，由于此種測量方法構(gòu)造了三角形中的平行截線，故可得到相似三角形，因此有PQ QRPS STxx 45再解 x 的方程可求出河寬.901、已知如圖：AB 為樹、AC 是它的影長,AD 是一段樹干,AE=2m、AD=1.5m,求樹高 AB 的長AD2如圖，測得 BD=120 m , DC=60 m , EC=50 m，求河寬 AB。能力提高1為了測量一池塘的寬 AB,在岸邊找到了一點 C,使 AC 丄 AB，在 AC 上找到一點 D，在 BC 上找到一點 E,使 DE 丄 AC，測出 AD=35m , DC=35m , DE =30m,

38、那么你能算出池塘的寬2、如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸邊每隔5 米有一棵樹，在北岸邊每隔50 米有一根電線桿小麗站在離南岸邊15 米的點處看北岸，發(fā)現(xiàn)北岸相鄰的兩根電線桿恰好被南岸的兩棵樹遮住，并且在這兩棵樹之間還有三棵樹，則河寬為_ 米.AB嗎？CB第1題圖第2題圖3、馬戲團(tuán)讓獅子和公雞表演蹺蹺板節(jié)目，如圖：蹺蹺板支柱AB 的高度為 1.2 米,(1) 若吊環(huán)高度為 2 米，支點 A 為 PQ 中點獅子能否將公雞送到吊環(huán)上？為什么？-主壘豐薩*第3題圖(2) 若吊環(huán)高度為 3.6 米，在不改變其他條件的前提下，移動支柱，當(dāng)支點 什么位置時，獅子剛好能將公雞送到吊環(huán)上？4某社區(qū)擬

39、籌資金 2000 元，計劃在一塊上、下底分別為10m、20m 的梯形空地上種植花木，如圖：他們想在AMD和BMC地帶種植價格為 10 元/m2的太陽花，當(dāng)AMD地帶種滿花后已經(jīng)花了 500 元，請預(yù)算一下，若繼續(xù)在BMC地帶種植同樣的太陽花，資金地否夠用？并說明理由。5、李樂同學(xué)要在校園里測量一棵大樹的高度，他發(fā)現(xiàn)樹旁有一根高 2.5m 的電線桿，當(dāng)他與大樹和電線桿站在同一條直線上時，其前后距離，恰好使他的頭頂、樹頂、電線桿的頂點也都在一條直線上，他又用皮尺量得他和電線桿之間的水平距離為3m,電線桿與樹間的水平距離為 10m，同時他借助他 1.7m 的身高，確定了樹的高度，你能分析他是如何計算

40、出來的 嗎？6、小明想利用樹影測量樹高，他在某一時刻測得長為1m 的竹竿影長 0.9m，但當(dāng)他馬上測量樹影時，因樹靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墻上，如圖，他先 測得留在墻上的影高 1.2m，又測得地面部分的影長2.7m，他求得的樹高是多少？A 移到 PQ 的第 8 課時位似（一）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、了解位似圖形及其有關(guān)概念，了解位似與相似的聯(lián)系和區(qū)別，掌握位似圖形的性質(zhì).2、掌握位似圖形的畫法，能夠利用作位似圖形的方法將一個圖形放大或縮小.【學(xué)習(xí)重點】位似圖形的有關(guān)概念、性質(zhì)與作圖.【學(xué)習(xí)難點】利用位似將一個圖形放大或縮小.【學(xué)習(xí)過程】探究研討活動 1提出問題：生活中我們經(jīng)常

41、把自己好看的照片放大或縮小，由于沒有改變圖形的形狀，我們得到的照片是真實的.觀察圖 27.3-2 圖中有多邊形相似嗎？如果有，那么這種相似什么共同的特征?圖 27.3-2通過觀察了解到有一類相似圖形，除具備相似的所有性質(zhì)外，還有其特性，學(xué)生自己歸納出位似圖形的概念：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且是每組對應(yīng)點連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形 這個點叫做位似中心這時的相似比又稱為 相似比.（位似中心可在形上、形外、形內(nèi) .）知識點八：位似1、位似的定義：兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線交于一點，對應(yīng)邊互相平行的兩個圖形叫做位似圖形。交點叫做位似中心。每對位似對

42、應(yīng)點與位似中心共線；不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行2、位似的性質(zhì)：位似圖形對應(yīng)點和位似中心在同一條直線上，它們到位似中心的比等于相似比3、利用位似，可以將一個圖形放大或縮小4、位似變換與坐標(biāo)的關(guān)系在平面直角坐標(biāo)系中， 如果位似變換是以原點為中心，相似比為k,那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或k例題 1：已知EFH和MNK是位似圖形，請找出位似中心 A1縮小到原來的丄丄2(4) 順次連接 A B 、B C 、C D 、D A,得到 所要畫的四邊形 A B C D,如圖 2.問：此題目還可以如何畫出圖形？作法二：(1)在四邊形 ABCD 外任取 一點O;(2)過點 O 分別作射線 OA , OB

43、,OC, OD ;(3)分別在射線 OA ,OB , OC , OD的反向延長線上取點使得OA OB OC1,也就是使新圖形上各頂點到位似中心的距離與原圖形2各對應(yīng)頂點到位似中心的距離之比為1:2 .作法一：(1 )在四邊形 ABCD 外任取一點 O;(2) 過點 O 分別作射線 OA, OB , OC , OD ;(3) 分別在射線分析：把原圖形縮小到原來的OA，OB，OC, OD 上取點A 、B 、C 、D,OA OB使得OA OBOC OD 1；OC OD 2ODODA、B、C、D,例 2:把圖 1 中的四邊形 ABCDOA OB OC(4 )順次連接 AB、BC、作法三：(1)在四邊形

44、 ABCD 內(nèi)任取一點 O;(2)CD、DA；得到所要畫的四邊形 ABCD；如圖 3.過點 O 分別作射線 OA , OB , OC, OD ;分別在射線 OA , OB , OC, OD 上取點 A 、B 、C、D ,OA OB OC OD 1；;OAOB OC OD 2(4)順次連接 A B 、B C 、C D 、D A ,得到所要畫的四邊形 A B C D ,如圖 4.(當(dāng)點 O 在四邊形 ABCD 的一條邊上或在四邊形 ABCD 的一個頂點上時，作法略(3)使得Dx32x矩形ABCD的長為x 2 dm，寬為1 dm3、運(yùn)用位似圖形的有關(guān)概念解決具體問題例題 5:印刷一張矩形的張貼廣告，

45、如圖所示,兩邊各空白 0.5dm，設(shè)印刷部分從上到下的長是xdm，四周空白處的面積為 Sdm2(1 )求 S 和 x 的關(guān)系式;(2)當(dāng)要求四周空白處的面積為 18dm2,求用來印刷這張廣告的紙張的長和寬各是多少?(3)在(2)的條件下，內(nèi)外兩個矩形的位似圖形嗎？說明理由。解：(1)Q印刷部分是矩形AB C D，長為x，面積為 32dm2寬為32dm可以讓學(xué)生自己完成)例題 3:如圖：五邊形 ABCDE 與五邊形ABCD E是位似圖形，0 為位似中心、0D =-OD,2A B則為（D ）ABA 2:3B 3:2C 1:2D 2:1/ %/vn A例題 4：ABC三個頂點坐標(biāo)分別為A 6,6、B

46、 8,2、C 4,0、畫出它的以原點為位似中心, 相似比為解：Q相似比為1丄的位似圖形。2-點 A 的對應(yīng)點A的坐標(biāo)為61,63,3類似的可以確定其他頂點的坐標(biāo)B 8 -,2 -即4,1C2 22Q相似比為21-1 J-y弋-6 -4-2O電/-2-V4點 A 的對應(yīng)點A的坐標(biāo)為即3, 3類似的可以確定其他頂點的坐標(biāo)B 4,C 2,0它的印刷面積是32dm,上下各空白 1dm，解得x1x28,32x 210,15x即用來印刷這張廣告的紙張長為10dm，寬為 5dm(3)內(nèi)外兩個矩形是位似圖形，因為兩矩形相似，且對應(yīng)頂點的連線都經(jīng)過矩形中心, 如圖所示鞏固練習(xí) 1能力提升1.已知：如圖， ABC，畫 A B ,C 使厶 A B ABC，且使相似比為 1.5，要求(1) 位似中心在 ABC 的外部；(2) 位似中心在 ABC 的內(nèi)部；(3) 位似中心在 ABC 的一條邊上；(4) 以點 C 為位似中心.練習(xí) 2:1、如圖： ADE ABC ,ABC與ADE(2)c 32 ,cc 64cSx 2 g132x 2xx當(dāng) S=18 時，則1864_ 位似圖形(填“是”或“不是”)1 畫出所給圖中的位似中心.2、利用位似圖形 可以將一個圖形 _或